圆锥曲线中的定点问题探究

1、    圆锥曲线中的定点问题探究    杨晓沐 胡丰立摘 要 课程标准将数学内容分为四块，分别是数与代数、图形与几何、概率与统计与综合与实践，圆锥曲线分属图形与几何，是高中数学中解析几何模块中重要的一部分内容，而求解与求证圆锥曲线中的有关定点问题是圆锥曲线中的重难点。又因此类问题计算量大、解题难度较高且对于考察学生是否掌握了知识间的联系与综合有明显效果，成为高考数学卷中的“常客”，突破这一难点对于学生寻找数学规律、提高解题能力有重要的作用。关键词 圆锥曲线;定点问题;类型;解法：df04，o241.7    

2、60;                                    ：a              

3、                                    ：1002-7661（2019）12-0179-01圆锥曲线是数学人教版选修1-1   中的内容，圆锥曲线的定点问题实质上涉及到了图形的变与不变的性质、直线方

4、程、参数方程等，化解这一问题需要引进变量参数，包括表示直线方程的参数、表示数量积的参数、表示比例的参数等。笔者将从圆锥曲线的常见定点模型开始论述，并结合案例呈现出一般的解题方案，希望对更多的学生有所帮助。一、圆锥曲线定点问题的四种模型（一）切点弦恒过定点问题模型切点弦是指在一条曲线外的一点引两条切线得到两个切点，再将切点相连就是切点弦。切点弦有一个特殊的性质，即对于曲线        ，设引切线的定点为q（m，0）（），切点为a，b，则直线ab恒过定点q。在圆锥曲线考题中常常会给出切线方程或切点坐标求证切点弦恒过定点或给出定

5、点求切点弦方程，我们将这一类问题总结为切点弦恒过定点问题。（二）相交弦过定点问题模型相交弦是指圆内相交的两条弦，相交弦性质是切点弦性质的拓展，因此切点弦过定点问题的结论在相交弦过定点问题中同样适用。不过，相较于切点弦过定点问题，相交弦过定点为题涉及的坐标更多，计算量也较之更大，解题时必须注意细节。那么什么是相交弦过定点问题呢？我们通常将涉及两条相交弦的求证过定点或给出定点和一条弦方程求取另一条弦方程的问题总結为相交弦过定点问题。（三）动圆过定点问题模型动圆是指圆心改变半径不变的圆，由概念可知此类圆方程一定含有未知数，动圆过定点的实质是“先对定点张直角”的另一种应用，也可以说是垂直向量的相关问题

6、。一般来讲，此类问题除了圆锥曲线方程必定会涉及到圆的相关组成因素，如半径、直径、圆心等等。（四）“手电筒”问题模型“手电筒”问题是指涉及到圆锥曲线上任意一点p与过p点相互垂直的两条线交圆锥曲线的a点与b点组成的线段ap与bp，再加上ab线段共三条线段的过定点问题，取名“手电筒”是因这三条线段整体呈现的图形与手电筒相似。二、圆锥曲线过定点问题的一般解法（一）应用“参数法”求解圆锥曲线过定点问题往往会与动直线或动点相联系，而动点与动直线因为其的不确定性使用参数来表示，也就是将参数引入来解决问题。在求取圆锥曲线问题设参数可以分为设参数表示点的坐标与用参数表示直线的斜率两种情况。不过，不管是哪种情况，

7、解题步骤都是一样的。第一步，设参数来表示点坐标、直线的斜率或用引入参数的点的坐标直线的夹角等;第二步，根据题目中的已知条件列出对应的曲线方程与动态直线方程;第三步，求直线过定点。如果是动直线，将动直线方程转变为，当kr时直线恒过定点;如果是动曲线，设动曲线方程为，当r时曲线恒过与的交点。举例来讲，在2016年的泰州期末卷中有一道题目为在平面直角坐标系xoy中有椭圆c，它的标准方程为         ，它的左顶点为a，有一条过原点的不与坐标轴重合的直线与椭圆c相较于p点与q点，直线pa，qa分别与纵坐标轴y轴相交于m

8、，n点。求证以mn为直径的圆是否经过定点（即与直线pq的斜率无关）。这道题属于动圆过定点问题模型，我们解这道题时需要将动圆的方程列出，这时候我们需要求点m，n的坐标，但m，n点是由pa与qa派生出来的，所以这道题关键是求点p与q。首先，我们可以分设参数k表示直线的斜率和设参数表示p点或q点的坐标，我将示范设点坐标的方法。第一步，设动点p的坐标，即设p（），则q点可用坐标q（）表示，。第二步，求解未知量，列出动圆方程。因为p点在椭圆上，所以椭圆方程为，故定点坐标a（-2，0），所以pa方程可表示，可知pa與y轴交点为m（0，）;qa方程可用，同理可得交点n（0，。以mn为直径的圆的方程为，结合，可将圆方程化简为。第三步，求定点。由直线过原点知，解得，故以mn为直径的圆过定点（）和（）。（二）应用“由特殊法到一般法”求解在解决圆锥曲线定点问题且题目中没有给出这个定点时，可以从一些特殊的情况出发先寻找到这个定点，再推理证明在一般情况下也成立，这就是又特殊到一般法。运用这种方法解题的步骤为，首先从问题的特殊情况入手，例如，直线的斜率不存在或直线过原点等求出所要求取的定点;其次，探究一般情况;最后，总结特殊与一般，下结论。综上所述，圆锥曲线过定点问题可以分为“手电筒”问题模型、切点弦恒过定点问题模型、相交弦过定点问题模型与动圆过定点问题模型四种模