2019全国I卷理科数学高考真题-新

1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 M2x 4 x 2，N x x2 x 6 0 ，则 M I N=Ax 4 x 3Bx 4 x 2Cx 2 x 2Dx 2 x 3

2、2设复数 z 满足i =1 ， z 在复平面内对应的点为 （x， y） ，则A(x+1)2 y2B(x 1)2 y2 1 C x2 (y 1)2Dx2( y+1)23已知 a log20.2，b 20.2，c 0.20.3 ，则AabcB a c bC c a bDca4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5 1(25120.618 ，称为黄金分割比例 ） ，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽 喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 1 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为2105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是C

3、 185 cmD 190 cmA 165 cmB 175 cm5函数 f(x)= sinx x2 在 , 的图像大致为 cosx x2AB6我国古代典籍周易 用“卦” 爻分为阳爻“”和阴爻“ 卦恰有 3 个阳爻的概率是描述万物的变化”，如图就是6 个爻组成， 重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重A7A8A9A5B 1116 32 已知非零向量 a，b满足 |a| 2|b|，且 (a b)DB 332b，则 a与 b 的夹角为 C 231116D5如图是求1的程序框图，图中空白框中应填入112A= 12A 记 Sn 为等差数列1A=2A an 的前 n 项和已知 S4BC A= 11 2 A 0

4、，a5 5 ，则DA=112Aan 2n 5B a n 3n 102C Sn 2n 28nDSn12 n2 2n10已知椭圆 C的焦点为 F1( 1,0) ，F2( 1,0) ，过F2的直线与 C交于 A，B两点若| AF2 | 2|F2B|，|AB| |BF1 |，则 C 的方程为A2xB32y2 122xC4D x225411关于函数 f (x) sin|x| |sin x |有下述四个结论：f(x) 是偶函数f(x)在 , 有 4个零点 其中所有正确结论的编号是 ABf ( x)在区间( ，)单调递增2f ( x)的最大值为 2CDE，A 8 6B 4 6D 6二、填空题：本题共4 小题

5、，每小题 5 分，共 20 分。213曲线 y 3（x2x)ex在点 (0，0) 处的切线方程为14记 Sn 为等比数列an的前 n 项和若 a1， a4 a6 ，则 S5=315甲、乙两队进行篮球决赛， 采取七场四胜制当一队赢得四场胜利时， 该队获胜， 决赛结束)根据前期比赛成绩， 甲队的主客场安排依次为主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6 ，客场取胜的概率为 0.5 ，且各场比赛结果相互独立， 则甲队以 41 获胜的概率是2216已知双曲线 C： x2 y2 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为a2 b2uuur uuur uuur uuuur渐近线分别交于 A，B两点若 F1

6、A AB， F1B F2B 0，则 C的离心率为 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第F1，F2，过 F1 的直线与 C的两条1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。一)必考题：共60 分。17（12 分 ）ABC 的内角 A，2B， C的对边分别为 a， b， c，设 (sin B sinC)22sin A sin BsinC 1)求 A；2）若 2a b2c ，求 sin C12已知三棱锥 P- ABC的四个顶点在球 O的球面上， PA=PB=PC，ABC是边长为 2 的正三角形，F 分别是 PA， AB的

7、中点， CEF=90°，则球 O的体积为18(12 分)，E，M，N 分别是 BC，BB1，如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形， AA1=4，AB=2，BAD=60A1D的中点( 1)证明： MN平面 C1DE；(2)求二面角 A- MA1- N的正弦值19(12 分)已知抛物线 C：y2=3x的焦点为 F，斜率为 3的直线 l 与C的交点为 A，B，与 x轴的交点为 P2(1)若 | AF|+| BF|=4 ，求 l 的方程；uuur uuur(2)若 AP 3PB，求 | AB| 20( 12 分)已知函数 f(x) sinx ln(1 x)， f (x)为

8、f ( x)的导数证明：(1) f (x)在区间 ( 1, ) 存在唯一极大值点；2(2) f ( x)有且仅有 2 个零点21( 12 分) 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方 案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只 施以乙药 一轮的治疗结果得出后， 再安排下一轮试验 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈 的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每 轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 1 分；若施以乙 药的白鼠治

9、愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 1分；若都治愈或都未治愈则两种 药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为 X( 1)求 X 的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， pi(i 0,1,L ,8) 表示“甲药的累计得分为 i时，最 终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0 0 ， p8 1 ， pi api 1 bpi cpi 1 (i 1,2,L ,7) ， 其中 a P(X1)，b P(X 0)， c P(X 1)假设0.5，0.8(i) 证明： pi 1 pi (i 0,1,2,L ,7) 为等比数列；(ii) 求 p4

10、，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。22选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）21 t2在直角坐标系 xOy 中，曲线 C的参数方程为21 t2t 为参数）以坐标原点 O为极点，x轴4t1 t2的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 11 0 （ 1）求 C和 l 的直角坐标方程；（ 2）求 C上的点到 l 距离的最小值23选修 45：不等式选讲 （10分）已知 a，b， c 为正数，且满足abc=1证明1 1 1 2 2 2 ( 1) a2

11、 b2 c2abc33( 2) (a b)3 (b c)3 (ca)3242019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 ?参考答案一、选择题1C 2C 3B 4B 5D 6 A 7B 8A 9A 10B 11C 12D二、填空题12113y=3x14150.1816 23三、解答题bc22 22 2 217解：(1)由已知得 sin2 Bsin2Csin2 Asin B sin C ，故由正弦定理得b2c2a2由余弦定理得 cosAb2c2 a22bc因为 0 A 180 ，所以 A 60 2）由（ 1）知 B 120C ，由题设及正弦定理得 2sinA sin 120 C2sinC ，即

12、 26 23 cosC2sinC2sinC ，可得 cos C 60由于 0C 120 ，所以 sinC6022，故sinCsin C 60 60sinC 60 cos60 cosC60sin 6062418解：（ 1）连结 B1C，ME因为M， E分别为 BB1，BC的中点，1 所以 MEB1C，且 ME= B1C21 又因为 N为 A1D的中点，所以 ND= A1D2 由题设知 A1B1 P DC，可得 B1C P A1D，故MEP ND， 因此四边形 MND为E 平行四边形， MN ED 又MN 平面EDC1，所以MN平面 C1DE（2）由已知可得 DE DAuuur以D为坐标原点， D

13、A 的方向为 x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D- xyz，则uuur uuuurA(2,0,0) ， A1(2 ，0， 4) ， M (1, 3,2) ， N(1,0,2) ， A1A (0,0, 4) ， A1M ( 1, 3, 2)， uuuur uuuurA1N ( 1,0, 2) ， MN (0, 3,0) uuuurm A1M 0设m (x,y,z)为平面 A1MA的法向量，则uu1ur，m A1 A 0所以 x 3y 2z 0，可取 m ( 3,1,0) 4z 0uuuur n MN 0， 设 n (p,q,r) 为平面 A1MN的法向量，则uuuurn A1N 0所以3

14、q 0， p 2r可取0(2,0, 1) cos m,nmnn|m2 3 15 ，2 5 5所以二面角 AMA110N 的正弦值为 519解：设直线l:y32x t,A x1, y1 ,Bx2,y21)由题设得F 3,0 ，4故 |AF | |BF |x1 x2 3 ，由题设可得 x11 2 2 1x2由y3x23x，可得 9x212(t 1)x 4t 20，则 x1x212(t 1)12(t从而1) 5，得t92所以 l 的方程为 y 3x728uuuruuur( 2)由 AP3PB 可得y13y23t ，可得 yyx 由22 2y2t2y2 3x所以 y1 y22 从而3y2y202 ，故

15、 y22 y代入 C 的方程得 x1 3,x2 11 2 31,y13故|AB|4 13320解：1)设 g(x) f '(x) ，则 g(x) cosx11x， g'(x)sinx1x)2当x1, 时， g'(x)单调递减，而 g'(0) 0,g'( ) 0 ，可得22g'(x)在 1,2 有唯一零点，设为(1则当x ( 1, )时， g'(x) 0；当 x , 时， g'(x) 0.2所以 g(x) 在 ( 1, )单调递增，在 , 单调递减，故 g(x)在 1, 存在唯一极大值 22点，即 f'(x) 在 1, 存在

16、唯一极大值点 .2(2) f(x) 的定义域为 ( 1, ).(i)当x ( 1,0时，由(1)知，f ' (x)在( 1,0)单调递增，而 f'(0) 0，所以当 x ( 1,0) 时， f'(x) 0，故 f(x)在( 1,0)单调递减，又 f (0)=0，从而x 0是f(x)在( 1,0的 唯一零点.(ii )当x 0, 时，由(1)知，f'(x)在(0, )单调递增，在 , 单调递减，而 f '(0)=0 ， 2 2 ，f ' 2 0 ，所以存在 ,2 ，使得 f'( ) 0，且当 x (0, ) 时， f'(x) 0；当

17、x , 时， f'(x) 0.故 f(x)在(0, )单调递增，在 , 单调递减. 22又 f (0)=0 ， f 2 1 ln 1 2 0，所以当 x 0,2 时， f (x) 0.从而， f (x) 在0, 没有零点 .2(iii )当x , 时，f'(x) 0，所以 f(x)在 , 单调递减.而 f0，f( ) 0，2 2 2所以 f(x) 在 , 有唯一零点 .2(iv )当 x ( , )时， ln(x 1) 1，所以 f (x) <0，从而 f(x)在( , )没有零点 . 综上， f (x)有且仅有 2个零点.21解： X 的所有可能取值为 1,0,1.P(

18、X 1) (1 ) ，P(X 0) (1 )(1 )，P(X 1) (1 )， 所以 X 的分布列为77（2）（i ）由（ 1）得 a 0.4,b0.5,c0.1.因此 pi =0.4 pi 1+0.5 pi +0.1pi1，故 0.1pi 1pi0.4 pi pi 1 ，即pi 1 pi 4 pi pi 1 .又因为 p1 p0 p1 0 ，所以pi 1 pi(i0,1,2,L ,7） 为公比为 4，首项为（ ii ）由（ i ）可得p8 p8 p7 p7 p6 Lp1p0p0p8 p7 p7 p6 Lp1p0p1的等比数列48 13 p1由于p8=1 ，故p1348，所以1p4p4 p3p3 p2p2p1p144 1p0 3 p131257p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5 ，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为1p4 2570.0039 ，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理22解：（ 1）因为1 t21 t21，且 x21 t21 t24t2t2 21，所以 C的直角坐标方2 程为 x2 y41(x1).l 的直角坐标方程为2x110.2）由（ 1）可设 C的参数方程为x cosy 2sin为参数，).C上的点到 l 的距离为 |2cos 2