初中代数等差数列的研究与应用

1、    初中代数等差数列的研究与应用    张志敏德国著名数学家高斯9岁时，老师在算数课上出了一道难题：“把1到100的整数写下来，然后把它们加起来！”还不到几秒钟，高斯已经把石板放在讲桌上了，其他的学生把数字一个个加起来，额头都出了汗水。他的同学无不为之惊奇，小高斯得出的结果被确定是正确的。原来小高斯在认真审题的基础上，根据题的特点，发现了这样的有趣现象：1+100=101，2+99=101，3+98=101，50+51=101一共有多少个101呢？100个数，每两个数是一对，共有50对，即共有50个101，所以1+2+3+100=10150=5050

2、我们再换一种思路，用数形结合的思想来分析一下这道题。图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层。将图1倒置后与原图拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为：1+2+3+n=；在数学上，人们把1100这些数中的每一个数都叫做一个项，并把这样的一串数称作数列。“高斯算法”其实就是数列的求和问题。有了它，好多数学题和生活中的问题解答起来就方便多了。例如：在解决找规律的问题时，我们会经常遇到等差数列。来看看下面的例子。如图是用小棒摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去：a、当每边摆10（即n=10）时，则共有多少

3、个最小的三角形。b、当第n个图案时，则共有多少个最小的三角形（用s表示）当n=1时，s=1；当n=2时，s=4=1+3；当n=3时，s=9=1+3+5；所以，a、当n=10时，s=1+3+5+7=+19=102=100b、当n=n时，s=1+3+5+7=+（2n-1）=n2进一步思考：a中需要的小棒总数为多少根？b中需要的小棒总数s与n的关系式又是什么？当n=1时，s=3；当n=2时，s=9；当n=3时，s=18；这就是一个数列：3、9、18、30。此数列是3的倍数，即3×1，3×3，3×6，3×10这样第n项的数据也就清楚了。也有人说：受原题的影响，小

4、棒与数三角形个数有密切关系：当n=1时，相当于1个；当n=2时 相当于（1+2）个；当n=3时，相当于（1+2+3）个；當n=n时，相当于（1+2+3+n）个所以，s=（1+2+3+n）×3=×3= 。等差数列的知识没有在初中课本上讲解，但是实际问题当中已经有很多的应用，例如握手问题。某中学举办毕业聚会，参加聚会人数有60人时，每两人都要握一次手相互告别，那么握手次数为多少次呢？ 若有600人参加聚会， 总握手次数又是多少次呢？解析：当人数有60人时，握手次数为：59+58+57+.+1=当人数有600人时，握手次数为：599+598+597+.+1=当人数有x时，握手次数

5、为：x-1+x-2+.+1=再来看看变式练习：1+2+3-4+5+6+7-8+9+25+26+27-28=题目分析：仔细观察这个算式，发现他很有规律地出现着一些“减数”。因此，计算时应特别细心。在此介绍三种解法。解法一：变减为加，整体推算。（其中减数为4的倍数，共284=7（个）（1+28）282-（4+28）722=406-224=182解法二：分组累计，从头算起每四个数为1组，分别计算每组数的得数为：2、10、1850。其和为：（2+50）72=182解法三：加数、减数分别统计。减数全部拿出以后，剩下的加数是：1+2+3+5+6+7+9+25+26+27把这些加数每3个一组，并求出每组之和：（1+2+3）+（5+6+7）+（25+26+27）=6+18+78=（6+78）72=294七个减数的和为：（4+28）72=112，原式的得数为：294-112=182总之，高斯的方法非常巧妙