2019届浙江省绍兴市诸暨中学高三第一次新高考模拟数学试题(解析版)

1、2019 届浙江省绍兴市诸暨中学高三第一次新高考模拟数学试、单选题1设集合 Mx1x x a ，若 M N M ，则 a 的取值范围是A,1B,1C 2,D2,第 7 页 共 23 页答案】解析】由MM 得出 MN ，利用集合的包含关系可得出实数a 的取值范围 .详解】QMx1M，N，a 2.因此，实数 a 的取值范围是 2,故选： C.点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题2已知复数 z 满足 i ?z 2+i，则 z 的共轭复数是（）A 1 2iB 1+2iC1 2iD 1+2i【答案】 D【解析】 两边同乘 -i，化简即可得出答案【详解】i ?z 2+i 两边同

2、乘 -i 得 z=1-2i ,共轭复数为 1+2i，选 D.【点睛】z a bi(a,b R) 的共轭复数为 z a biD正六边形3用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A 正三角形B正方形C 正五边形【答案】 C【解析】 试题分析：画出截面图形如图C显然 A 正三角形， B 正方形： D 正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选考点】 平面的基本性质及推论S64设等比数列 an 的前项和为 Sn，若 8a2019 a2016 0，则 的值为S33A21B27 C8D答案】 C解析】 求得等比数列 an 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得S6S3的值 .详解】设等比数列an的公

3、比为3 q， Q 8a2019 a2016 0 ， qa2019a20161，2因此， S6S36q631 q337q3 8故选： C.点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题 .5一袋中装有 5 个红球和3个黑球除颜色外无区别) ，任取 3球，记其中黑球数为 X ，为(9A8B1 C262D56答案】解析】由题意可知，随机变量 X的可能取值有 0 、1、 2 、 3 ，计算出随机变量 X 在不同取值下的概率，进而可求得随机变量 X 的数学期望值 .详解】由题意可知，随机变量 X 的可能取值有 0、1、 2、 3，则 P X 053， P

4、 X 1C83 56C33 1P X 333.C83 56因此，随机变量 X 的数学期望为 E X故选： A.【点睛】C52C31C8330，PX56C15C32C831556，103015190123565656568本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题 .r rrr r r r rr6已知非零向量 ra、br ，若b2 a 且 2a b3 b，则向量 br 在向量ar 方向上的投影为（ ）AB1 brC23brD解析】设非零向量 ar 与br 的夹角为答案】 D，在等式 2a b 3 b 两边平方， 求出 cos 的r r r 值，进而可求得向量 br 在向量 ar 方

5、向上的投影为 b cos ，即可得解 .由r2rr2a 2a2acos得r24a2rb0 ，解得 cos因此，向量 br 在向量 ar 方向上的投影为 b cos，整理得 2ar 2 2arr2 b0 ，12，1rb2故选： D.点睛】 本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力， 属于基础题 .7 f xAcos xA 0,0 的图象如图所示， g xAsin x若将 yf x 的图象向左平移 a a0 个单位长度后所得图象与y g x 的图象重合，则 a可取的值的是（）答案】 BC 71211D 12解析】 根据图象求得函数 yf x 的解析式， 即可得出函

6、数 y g x 的解析式， 然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于a 的等式，即可得出结果详解】由图象可得 A 1 ，函数 yx 的最小正周期为 T 4712 322，T77Qfcos 2cos1212则72kkZ，6fxcos 2x则gx6gxf x acos2x2a71，62kkZ ，取66sin2xcos 2x2，632，2a2k，可得6635a k k Z ，12当 k 0 时， a 5 .12故选： B.点睛】本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题 8P是正四面体 ABCD的面 ABC内一动点， E为棱 AD中点，记DP 与

7、平面 BCE成角为定值 ，若点 P 的轨迹为一段抛物线，则 tan （ ）2C 2D 2 2答案】 B解析】 设正四面体的棱长为 2 ，建立空间直角坐标系， 求出各点的坐标， 求出面 BCE的法向量，设 P 的坐标，求出向量 DP ，求出线面所成角的正弦值，再由角 的范围0, ，结合 为定值，得出 sin 为定值，且 P 的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标2的关系，进而求出正切值【详解】由题意设四面体 ABCD的棱长为 2，设 O为 BC的中点，以 O为坐标原点，以 OA为 x轴，以 OB 为 y轴，过 O垂直于面 ABC的直线为 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz ，3则可得 OB

8、 OC 1， OA3，取 OA的三等分点 G、 F 如图，则OG 1OA3， AG OF 2OA 2 3，DG AD2 AG2 2 6 ，3 3 3 3 316EF DG ，23所以 B 0,1,0 、C 0, 1,0 、 A 3,0,0 、 D 3,0, 2 6 、 E 2 3,0, 63 3 3 3uuur由题意设 P x,y,0 ， DPy,263QV ABD和VACD都是等边三角形， E为 AD的中点，BE AD ， CE AD ，uuurQ BEI CE E ， AD 平面 BCE ， AD2 3 2 62 3,0, 2 6 为平面 BCE 的一33个法向量，因为 DP 与平面 BC

9、E 所成角为定值 ，0,2 ，由题意可得sincosuuur uuur AD,DPuuuruuurADDPuuur uuur AD DP23x3x2623332262x3x333x 1 3y2 83x2 3y2 2 3x 9x2 2 3x 3 ，3x2 3y2 2 3x 9因为 P 的轨迹为一段抛物线且 tan 为定值，则 sin也为定值，2 3x3y2 2 3xx23x232，可得 3y2 8 3x ，此时9sin 3 ，则3cos6，3，sin tancos故选： B.点睛】考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题9F22c,0 为双曲线 E: x2 y2 1的左焦点，过

10、点 F 的直线与圆 a2 b2y2 3c2交4点，若B 两点，（ A 在 F 、 B 之间）与双曲线 E 在第一象限的交点为P，O为坐标原uuurFAuBuPur ，且OuuAuruuurOB3c100，则双曲线 E 的离心率为（BC 52D5详解】第 # 页 共 23 页答案】 D解析】 过点 O 作 OMPF ，可得出点uuur uuurM 为 AB 的中点，由 OA OB3 c2 可100uuur uuur FA BP 可求得 cos AOB 的值，可计算出 cos AOB 的值，进而可得出 OM ，结合 2知点 M 为 PF 的中点，可得出 PF ，利用勾股定理求得 PF （ F 为双

11、曲线的右焦点） ， 再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值如下图所示，过点 O作OM PF ，设该双曲线的右焦点为 F ，连接 PF .uuur uuur33OA OB3c 322 c cos AOB3 c2 ， cos AOB100125AOBcos21 cos AOB2 3 ，5，OMOA cosAOB23c，5，uuurQ FAuuurBP，M 为 PF 的中点，PF /OM， FPF90o ，PF2 OM6c，5PF22cPF8c由双曲线的定义得 PFPF2a，即 25c2a ，因此，该双曲线的离心率为c5a故选： D.点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分分析图形的形状

12、， 考查推理能力与计算能力，属于中等题 .10已知，则下列是等式 sin sin2 成立的必要不充分条件的是(A sinsinB sinsinC coscosD coscos答案】解析】构造函数 hsinxx sinx 2x ，利用导数分析出这两个函数第 15 页 共 23 页在区间 2, 2 上均为减函数， 由sin sin 2 得出 sinsin 2 ，分 0、 0、 0 三种情况讨论，利用放缩法结合函数 y h x 的22单调性推导出 0或 0 ，再利用余弦函数的单调性可得出结 22论.【详解】构造函数 h x sinx x ， f x sinx 2x ，则 h x cosx 1 0 ，

13、 f x cosx 2 0 ，所以，函数 y f x 、 y h x 在区间 2, 2 上均为减函数，当 x 0 时，则 h x h 0 0， f x f 0 0 ；当 0 x 时，h x 0 ， f x 0.由 sin sin 2 得 sin sin 2 .若0 ，则0，则22h sinsin2sin此时，0，2由于函数 ycosx在区间,0 上单调递增2增，则 sinsin ， coscos ；若0，则 0，则22h sinsin2sin此时 02，由于函数 ycosx在区间0,上单调递减，2增，则 sinsin ， coscos .综上所述，cos cos .若 0，则 sin 2 0，

14、即 f 00，不合乎题意；故选： D.h， 函数 ysin x 在区间,0 上单调递2h，函数 ysin x 在区间0, 上单调递2【点睛】本题考查函数单调性的应用， 构造新函数是解本题的关键， 解题时要注意对 的取值范 围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题 .二、双空题，表面积为 答案】32312 24 8 311某几何体的三视图如图所示，则原几何体的体积为【解析】 由三视图可知， 此几何体是由左、 右两部分组成的， 左边是一个直立的半圆柱， 右边是一个三棱锥，然后利用几何体的表面积公式和体积公式可得解 .【详解】根据三视图还原后所得几何体如下图，此几何体是由左、右两部分组成的，左边是一

15、个直立的半圆柱，右边是一个三棱锥，所以，原几何体的体积为221143242323原几何体的表面积为2442 342212248 3.2232 ；3；1224本题考查利用三视图计算几何体的表面积和体积， 考查空间想象能力与计算能力， 属于 中档题12 若 x5a0a1 x 12a2 x 1 L5a5 x 1 ，则 a0 ，a1 a3a5【答案】116【解析】令x1可得 a0的值，然后分别令x 0 和 x2，将所得两式相减可得a1 a3a5的值【详解】令 x 1a01；令 x 2 ，a0a1 a2L a5 32 ，x 0， a0a1 a2 L a5 0 ，两式减得2a1a3 a532 ，所以， a

16、1a3 a5 16故答案为：1；16.【点睛】本题考查利用赋值法求解二项展开式中常数项和奇数项的系数和， 考查计算能力， 属于 中等题 .13抛物线 y2 4x的焦点 F 坐标为 ，过 F 的直线交抛物线 y2 4x于 A、B 两点，若 uAuFur2uFuBur ，则 A 点坐标为 答案】 1,0 2, 2 2解析】 由抛物线的方程可得出其焦点坐标，设直线AB 的方程为 x my 1，设点A x1,y1 、 B x2,y2 ，将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由 uuur uuurAF 2FB 得出 y1 2y2 ，求出 y1 的值，进而可得出 x1的值，由此可得出点 A

17、的坐 标.【详解】抛物线 y2 4x的焦点 F 的坐标为 1,0 ；设点 A x1, y1， B x2,y2，设直线 AB 的方程为x my 1 ，uuuvuuuvuuuruuurAF 1 x1,y1 ， FBx2 1,y2 ，由 AF2FB 得 y1 2y2 ， y1 2y2 ，x my 1 2联立 2 ，消去 x得 y2 4my 4 0 ， y1y2 4， y 4x2y12 2 ，4y1y24所以 1 2 ，解得 y12 2 ，y12y21【点睛】本题考查利用抛物线方程写出其焦点坐标，同时也考查了抛物线焦点弦的性质， 涉及韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题14已知在平面直角

18、坐标系中，不等式组xy0x y 4 0 ，表示的平面区域面积是 9 ， xa则常数 a 的值为2xyx 2 y 2的取值范围为答案】 136376,0因此，点 A 的坐标为 2, 2 2故答案为：1,0 ； 2, 2 2 .解析】 作出可行域，根据可行域的面积可求得 a的值，并设 k xy 22 ，可得出2x y 1k 1 2 ，利用数形结合思想求出 k 的取值范围， 结合双勾函数的单x 2 y 2 k调性可求得的取值范围2 xy x2y2详解】x作出不等式组 xy0y 4 0所表示的可行域如下图所示，xa由图可知，可行域VABC 是等腰直角三角形，点B 到直线 xa 的距离为 a2，且 AC

19、2a，则 VABC 的面积为SVABC2a解得 a 1.2 xy x2y22x 2 y 2 y2x2x2y2y 22 2 ，设y 2 ，x2则 k 的几何意义为点P 2,2 与可行域内的动点x,y 连线的斜率 .x1联立 ，解得xy40x 1 ，即点 A 1,5 y5当点 Q 与点 A重合时， k 取最小值，即 kmin51 22 7；当点 Q 在线段 BC上运动时，k取最大值，即max1.所以， 7 k 1.由于双勾函数 f x7 x 1 时，1xx362 在区间x 0.7,1 上单调递增，2因此， x yx2y2的取值范围是36376,0 .故答案为： 1； 36,0 .72，2第 21

20、页 共 23 页点睛】 本题考查利用可行域的面积求参数，同时也考查了分式型目标函数的取值范围的求解， 考查数形结合思想的应用，属于中等题 .三、填空题15用数字 0、1、 2、3、 4 、 5组成无重复数字的 6位自然数，其中相邻两个数字奇 偶性不同的有 个 .【答案】 60【解析】 对首位数的奇偶进行分类讨论， 利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可 得出结果 .【详解】若首位为奇数， 则第一、 三、五个数位上的数都是奇数， 其余三个数位上的数为偶数， 此时，符号条件的 6位自然数个数为 A33A33 36 个； 若首位数为偶数，则首位数不能为0， 0可排在第三或第五个数位上，第二、四、六

21、个数位上的数为奇数，此时，符合条件的 6位自然数个数为 C12 A22 A33 24 个.综上所述，符合条件的 6位自然数个数为 36 24 60 个. 故答案为： 60.考查分步乘法计数和分类加法计【点睛】 本题考查数的排列问题， 要注意首位数字的分类讨论，数原理的应用，考查计算能力，属于中等题rr16设平面向量 a与b 的夹角为，且 a b 1， a b3 ，则 的取值范围为答案】轾犏臌犏23解析】 根据已知条件计算出 av 2bv2 2，结合 av bv 1得出 ra br1 ，利用基2本不等式可得出 av bv 的取值范围，利用平面向量的数量积公式可求得 cos 的取值范围，进而可得出

22、 的取值范围详解】v v 2abavv2 bav bv1得 ra22a br2b 1 ，ab1，2，由基本不等式可得v2av2b2 avvb，av1，Q 1 cos1，avcos1av b1，1, 12 ，Q0，因此，的取值范围为故答案为：点睛】 本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围，考查计算能力，属于中等题1217若 x 2 且 x 0 时，不等式 ax2 x a 2 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为答案】 , 2 U 2,解析】 将不等式两边同时平方进行变形，然后得到对应不等式组，对a 的取值进行分类，将问题转化为二次函数在区间1,00,1 上恒正、恒负时求参数范围，列出22

23、对应不等式组，即可求解出 a 的取值范围详解】2因为 ax x a2 x ，所以 ax22xa2 2 2 22 x ，所以 ax2 x a 2x所以 ax2x a 2x ax2 x a 2x0 ，所以 ax2 3x a 0或ax x a 02ax2 3x a 02ax x a 01当 a 0时， x 2 x 对 x 2且 x 0不成立，1当 a 0时，取 x 12 ，ax 3x a 02 显然不满足，所以ax2 x a 02ax2 3x a 02ax x a 0所以当a所以综上可得故答案为：点睛】1342134211421142，取x1342134211421142aaaaaaaaaaaaaa

24、aa0 时，12a 的取值范围是：, 2 U 2,，解得 a2ax2ax3x，解得 a,22；a 0 显然不满足，所以a02，U 2,本题考查根据不等式恒成立求解参数范围，难度较难2ax2ax3x a 0 ，a0.根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方法： （1）分类讨论法：分析参数的临界值，对参数分类讨论；2）参变分离法：将参数单独分离出来，再以函数的最值与参数的大小关系求解出参数范围四、解答题18已知 f x3sin x cosx cos2 x12，xR.1）求函数 f x 的单调递增区间；2）VABC 的三个内角 A、B 、C所对边分别为a 、b 、 c ，若 f A3 且 a 2 ，

25、2求 VABC 面积的取值范围 .答案】（1） 6 k ,3 k k Z；（2）0,33解析】（ 1）利用三角恒等变换思想化简函数f x 的解析式为第 37 页 共 23 页x sin 2x1，然后解不等式2k 2x 2k k Z ，可6 2 6 2求得函数 y f x 的单调递增区间；2）由 f A 3 求得 A223 ，利用余弦定理结合基本不等式求出3bc的取值范围，再结合三角形的面积公式可求得VABC 面积的取值范围 .详解】1)23sin2x1 cos2x 1231sin2x cos2x 2sin2x 6 1，解不等式2k2x 2k62Z ，解得因此，函数的单调递增区间为2)由题意 f

26、sin 2A3，2则 sin 2A1，2Q0A，2A1162A7，解得66由余弦定理得 422bc cos A b2c2 bc 3bc ，又 Q bc 0 ，0 bc 4 ，3当且仅当 b c 时取等号，所以， VABC 的面积 S1bcsin A23bcbc40,33【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解， 同时也考查了三角形面积取值范围的计算， 涉及 余弦定理和基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题 .19如图，平面四边形 ABCD为直角梯形， AD /BC ， ADC 90o，AB AD 2BC 2，将 ABD绕着 AD 翻折到 PAD .uuuurPMuMuuCur ，当 PA/

27、 平面 DMB 时，求实数 的值；2）当平面 PAD与平面 PBC所成的锐二面角大小为 30o时，求 PC与平面 ABCD所成角的正弦 .答案】（ 1）2；（2） 3 1020解析】（ 1）连接 AC交 BD于点 N，连接 MN ，利用线面平行的性质定理可推导出的值；PA/MN ，然后利用平行线分线段成比例定理可求得2）取 AD中点 O ，连接OP 、OB ，过点 P作l/AD ，则l/BC ，作PH OB于 H，连接 CH ，推导出 OPl ， OB l ，可得出BPO为平面 PAD与平面 PBC 所成的锐二面角，由此计算出PH 、 PC ，并证明出PH 平面 ABCD ，可得出直线 PC

28、与平面 ABCD 所成的角为PCH ，进而可求得PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值 .详解】1）连接 AC 交 BD 于点N ，连接 MN ，Q PA/ 平面 BDM ， PA平面 PAC ，平面PACI 平面 BDM MN ， PA/MN ，在梯形 ABCD中， QBC/AD，则 VADN :VCBN ，CN BC 1NA AD 2 ，Q PA/MN ，PM AN 2 ，所以，MC CN2；2）取 AD中点 O ，连接OP 、OB ，过点P作l/AD ，则l/BC ，作PH OB于 H，连接 CH .AB2 OA23，同理 OP 3 ，Q AD OP ， ADOB ， OPIOB O ，

29、AD 平面 POB ，Q l/AD ， l OP，l OP ，BPO为面PAD与面PBC 所成的锐二面角，Q OPOB 3 ，BPO 30o ，OBP 30o ，则 BOPQ PHOB ， PHOP sin 60o 32Q AD平面 POB ，PH 平面 POB， AD PH ，Q PHOB， ADOB O ， PH面 ABCD ，BPO 30o ，PCH 为 PC 与底面 ABCD所成的角，120o，Q BH OB OP cos60oCHBC2 BH 2312PCPH2 CH 210.在 RtPCH 中， sinPCHPHPC32 3 1010 20OD/BC 且 OD BC ，Q O为 A

30、D的中点，且 BC/AD ， AD 2BC ， 所以，四边形 OBCD为平行四边形，由于 BCD 90o， OB AD ，Q PA AB ， OA OA， PAO BAO ， VPAO VBAO ，AOP AOB 90o ，Q O为 AD的中点，所以，BD AB 2， OB因此， PC 与平面 ABCD所成角的正弦值为 3 1020【点睛】本题考查利用线面平行的性质求参数， 同时也考查了线面角的计算， 涉及利用二面角求 线段长度，考查推理能力与计算能力，属于中等题20设数列an 满足 a1 3a2 32a3 L 3n 1an 3n ，n N* .1）求数列an 的通项公式；2）设 bnn, n

31、为奇数1 ,n为偶数 ，求数列 bn 的前 n 项和 Sn . ann2 2n 1答案】（ 1）an13n ；（2）Sn49 3n89 3n 1 1 ,n为奇数81 ,n为偶数解析】（ 1）1可求得a1的值，令2n 2 时，由 a1 3a2 3 a3 L 3n 1 n an n3可得出 a1 3a232a3 L3 an 13 ，两式相减可得 an的表达式， 然后对 a1是否满足 an 在 n2 时的表达式进行检验，由此可得出数列an 的通项公式；2）求出数列bn 的通项公式，对 n 分奇数和偶数两种情况讨论，利用奇偶分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式可求得结果详解】1)Q a13a23

32、2a3L3n 1 nn 1an 3 ，当 n 1 时，a1当 n 2 时，由 a13a232a3L3n1ana1 3a2 3 a3an 1n13，两式相减得 3n 1anan13na11满足 a313n因此，数列an的通项公式为13n ；2)Qbnn, n为奇数3n,n为偶数 .当 n为奇数时，Sn 1 32 3 34 L 3n1 n2n1n11222n19 1 9 2192n求出点 M 、 N 的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出 2n 1 9 n 1348当 n为偶数时，24Sn 1 32 3 34 Ln19192综上所述，Snn2 2n4n 9 3n483n191 ,n为奇数1

33、,n为偶数点睛】本题考查数列通项的求解，2 x221 已知椭圆 C:y2同时也考查了奇偶分组求和法，1，点 P x0,y0 为半圆考查计算能力， 属于中等题 .3 y 0 上一动点， 若过 P作椭圆 C 的两切线分别交x 轴于 M 、 N 两点 .1）求证：PM PN ；2）当x011,2 时，求 MN 的取值范围 .答案】1）见解析；（2） 2 3, 2 6 .解析】1）分两种情况讨论： 两切线 PM 、PN中有条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立； 两切线 PM 、 PN 的斜率都存在，可设切线的方程为 y y0 k x x0 ，将该直线的方程与椭圆的方程联立， 由 0可得出

34、关于 k 的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为1，进而可得出结论；2）MN2 4 x0 3 x02 x022，换元 t 2 x0 1,2 ，可得出MN详解】2 2 1t 43 21 ，利用二次函数的基本性质可求得MN 的取值范围 .81）由于点 P 在半圆x2 y2 3 y 0 上，则 x02 y02 3 当两切线 PM 、PN 中有一条切线斜率不存在时， 可求得两切线方程为 x 2 ， y 1或x2， y 1 ，此时 PM PN ； 当两切线 PM 、 PN 的斜率都存在时，设切线的方程为y y0 k x x0 ( PM 、y kxkx0y02222012k x2x2 2y2222

35、216k2y0kx041 2k2x02 2k22x0 y0ky02 1PN的斜率分别为 k1、 k2），4k y0 kx0x2y0kx0222022 y0 kx020，0 ， k1 k22y0221222x021，x02x02PM PN . 综上所述， PM PN ；2）根据题意得 M x0yk01,0、 N x0 0 ,0 k2MNy0y0k1k2k1 k2k1k22 2 2y0 4 x0 2 y0 1x02 2令t2 x021,2，则t2t1所以，当1t因此，MNMN2 6 ，当 1的取值范围是 2 3,2 6 .1时，MNmax1时，2时，21MN min3 2 1 ，48点睛】本题考查椭圆两切线垂直的证明， 同时也考查了弦长的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题 .x22 已知函数 f x ex12x.21）若x1 x2 ，且 f x1fx2 ，求证