2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市高二上学期期末数学试题(解析版)

1、2019-2020 学年浙江省绍兴市诸暨市高二上学期期末数学试一、单选题1以点 2, 3 为圆心， 3 为半径的圆的标准方程为()2 2 2 2A (x2)2(y3)23B(x2)2(y3)29C (x2)2(y3)23D(x2)2(y3)29【答案】 B【解析】 由圆的标准方程定义，即得解 .【详解】由圆的标准方程可得答案为 (x 2)2 (y 3)2 9 故选： B【点睛】 本题考查了圆的标准方程定义，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题 . 2已知 x， y R，“x 0且 y 0”是“xy 0 ”的( )A 充分不必要B必要不充分C充要条件D 既不充分也不必要【答案】 A【解

2、析】 利用不等式的性质，由 x 0且 y 0，可证明 xy 0 ，反之若 xy 0 ，也可 以推出 x 0且y 0，即得解 .【详解】若 x 0 且 y 0 ，显然 xy 0 ，但是若 xy 0 ，也可以推出 x 0 且 y 0，故选： A【点睛】 本题考查了充分必要条件，考查了学生综合分析，逻辑推理的能力，属于基础题 . 3平行于直线 y 12x 且过 2,1 的直线方程为( )A2x y 3 0B 2x y 5 0C x 2y 0【答案】D【解析】两直线平行，若斜率存在，则斜率相同，根据点斜式方程可得解Dx 2y 4 0【详解】根据点斜式方程可得 y 11(x 2)，化简得 x 2y 42

3、两直线平行，若斜率存在，则斜率相同，故 k故选： D【点睛】本题考查了过定点与已知直线平行的直线方程， 考查了学生概念理解， 数学运算的能力， 属于基础题 .4已知直线 m， n，平面 ， m ， n ，则下列说法： m m n； m n m ；m/m/n； m/n m/ ；其中正确的个数 （ ）A 1 B 2 C 3 D 4【答案】 B【解析】 根据线面垂直的性质可判定 ，根据线面垂直的判定定理可判断 ，根据线面 平行的性质可判断 ，根据线面平行的判定可判断 .【详解】对于 根据线面垂直的性质可知正确；对于 根据线面垂直的判定必须是平面外一条直线与平面内两条相交直线垂直才能判 定线面垂直故错

4、；对于 根据线面平行的性质，线与面平行不能推出与任意一条直线平行故错；对于 根据线面平行的判定，可知 正确 .故选： B【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系， 考查了学生概念理解， 逻辑推理能力， 属于中档题 .x2y 205若实数 x ，y 满足约束条件xy2则zx 3y 的最小值（）y2A8B 4C2D 0【答案】 C1解析】 画出可行域，转化 z x 3y 为 y x z ，可知当直线与可行域相交，且截距最小时， z x 3 y取得最小值，联立求出 C 点坐标即得解【详解】 如图，画出可行域，转化 z x 3y 为 y1xz3z x 3y 取得最小值由图像可知，经过 C 点时，取得最小

5、值可知当直线与可行域相交，且截距最小时，联立 x 2y 2 0 C(2,0)xy2故 zmin 2 3 0 2故选： C【点睛】 本题考查了线性规划问题，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于基 础题 .26双曲线 y x2 1 ，则焦点到其中一条渐近线的距离为（）3A 1B 2 C 3D 2答案】 A解析】 由双曲线方程，得到焦点坐标，渐近线方程，由点到直线的距离公式即得解详解】2双曲线方程： y x2 1 ，3可得双曲线焦点坐标为 0,2 ，渐近线方程为 y 3x 0 ，由点到直线的距离公式可得 d 21 （ 3） 2故选： A【点睛】本题考查了双曲线的基本性质，考查了学生概念

6、理解，数学运算的能力，属于基础题7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（）A 3B 4C 83第 9 页 共 20 页答案】解析】 由三视图可知， 该几何体为三棱柱 ABCA1B1C1中割掉一个三棱锥 A A1DE得到的几何体，用割补法VABC A1B1C1 VA A1DE 可得解 .【详解】如下图所示，该几何体为三棱柱 ABCA1 B1C1中割掉一个三棱锥A A1DE 得到的几何体VABC A1B1C1VA A1DE1 2 2 2 1 1 112 3 211，3，故选： A【点睛】 本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题，考查了学生空间想象，转化划归，数学 运算能力，属于中档题 .8

7、如图两正方形 ABCD ， CDFE 所在的平面垂直，将 EFC沿着直线 FC旋转一周， 则直线 EC 与 AC 所成角的取值范围是（ ）,5,7ABC ,D ,121212 1212 262【答案】C【解析】可证得 AFACCF ，故ACF ， ECF，当 EFC 沿着直线34FC 旋转一周， CEA ECF FCA ，且 CEF ACF ECF ，结合线线 角的取值范围即得解 .【详解】如下图所示，连接 AF ，因为正方形 ABCD和CDFE ，则AD CD，FD CD，AD DC DF 又因为面 ABCD 面CDFE ，面 ABCDI 面CDFE CD，则 AD 面 CDFE ，因此 A

8、D DF .因此 AF2 AD2 DF2， AC2 AD2 DC2，CF2 CD2DF2，则 AFACCF ，因此ACF3因为ECF4，则当EFC沿着直线 FC 旋转一周，CEAECFCEF ACFECF 12 ，FCA712当 CEF 为锐角或直角时，直线 EC 和 AC 所成角的等于 CEF 当 CEF 为钝角时，直线 EC 和 AC 所成的角等于 CEF 的补角 因此直线 EC和 AC所成的角的取值范围是 ,12 2故选： C.【点睛】 本题考查了空间中直线与直线的夹角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能 力，属于较难题 .9正方体 ABCD A1B1C1D1 中，在 A1B1D

9、1 内部（不含边界）存在点 P ，满足点 P 到 平面 ACC1 A1的距离等于点 P到棱 BB1的距离 .分别记二面角 P AD B为 ，P ACB为 ， PBCA 为 ，则下列说法正确的是（ ）ABCD 以上说法均不正确【答案】C【解析】如图连接 PE ，PF ，PG ，记 PEQ ， PGQ ，PFQ ，因此 tanPQ， tanPQPQ， tan ，比较长度关系即得解 .QEQGQF【详解】如图所示，作 PQ 面 ABCD 于 Q ，作 QEAD 于 E ， QF BC 于 F ， QG AC 于 G ，连PE， PF ，PG ，则 PEQ ， PGQ ， PFQ .因此 tanPQ

10、， tanQEPQ ， tanQGPQQFPG1即点P 到平面ACC1 A1的距离， PB1即点 P 到棱 BB1的距离，因此PB1PG1，因为QFPF1PB1PG1 QG ，因此tantan因为QGPG1PE1QE，因此tantanA1D1 于 E1 ， PF1 B1C1 于 F1 ， PG1 A1C1 于 G1 ，作 PE1综上有： tan tan tan ，即 ，故选 :C【点睛】本题考查了几何法研究二面角的大小，考查了学生空间想象，转化划归，逻辑推理，数 学运算的能力，属于较难题 .2210已知双曲线 ax2 by2 1 (a 0,b 0) ，过双曲线的左焦点F c,0 的直线满足 M

11、A MB ，则A 3 24B322C 6D3x 25 2y c交双曲线的渐近线与 A， B两点，若点 M 2c,0 双曲线的离心率 e答案】 A解析】 联立直线与两条渐近线，得到A，B 点坐标，再利用点M 在线段 AB 的中垂线上，可得 b2 1 ，即得解 . a2 8联立直线52 2y c与两渐近线方程 ybx. a联立方程5 2y2byxa2ac5b 2a2bc5b 2a联立方程52 2y2ac5b 2a2bc5b 2aPAD 45 ；第 13 页 共 20 页故 A， B的坐标为2bc5b 2a 5b 2a2ac 2bc5b 2a 5b 2a从而 AB 的中点为N2a2c , 5 2b2

12、c2 2 2 225b2 2a2 25b2 2a2由于点 M 在线段AB的中垂线上，从而直线 MN 的斜率为，即故 b2a21，从而8a2:b2 :c2 8:1:9 ，故双曲线的离心率为 3 3 22 2 45 2b2c 25b2 2a2 2a2c25b22 2c 2a2故选：点睛】 本题考查了直线与双曲线的位置关系，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能 力，属于中档题 .二、填空题11已知圆柱的轴截面是边长为2 的正方形，则圆柱的侧面积为 【答案】 4【解析】 试题分析：由已知圆柱的高为 2，底面半径为 1，所以圆柱的侧面积为2 2 4 【考点】 1圆柱的侧面积；12已知抛物线 C:x

13、2 4y，点P 3,m 在抛物线上，则该抛物线的焦点 F的坐标为 ；点 P 到准线的距离为 .答案】 (0,1)134解析】 由抛物线 C:x24y 可得 F 点坐标，代入 P 坐标可解得 m 9 ，运算即可得4解点 P 到准线的距离【详解】 焦点 F 的坐标为 0,1 ，9 点 P 3,m 在抛物线上，则 m ，49 13 从而点 P 到准线的距离为 14413 故答案为： (0,1) ， 134【点睛】本题考查了抛物线的方程和基本性质，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基 础题 .13 中国古代数学名著九章算术·商攻中，阐述： “斜解立方，得两堵 .其一为阳马，一为鳖臑 .

14、阳马居二，鳖臑居一 ”若.称为 “阳马 ”的某四棱锥如图所示， ABCD为矩形， PD 面ABCD ， PD AD 3， AB 4，则 PA与BC所成的角 PB 与平面 PDC 所成角的正弦值 .答案】 453 3434解析】 PA与BC所成的角等于 PA与 AD所成的角，根据题设条件即得解，因为 BC平面PDC ，则PB与平面 PDC所成角为 BPC ，根据长度关系即得解 .详解】PA与 BC所成的角等于 PA与 AD所成的角，即因为 BC 平面PDC ，则PB与平面 PDC所成角为 BPC ，所以BC 3 3 34 sin BPC .PB 34 34 故答案为： 45，3 34 .34【点

15、睛】本题考查了空间中的线线角，线面角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能 力，属于中档题 .14过原点 O有一条直线 l ，它夹在两条直线 l1:2x y 2 0与l2 :x y 3 0之间的线段恰好被点 O平分，则直线 l的方程为 4 【答案】 y 4 x5解析】 设两交点分别为 A(a,2a 2) ，B(b, 3 b) ，利用中点为原点求解a,b，得到A 点坐标，即得解 .【详解】设两交点分别为 A(a,2a 2)， B(b, 3 b)，a b 0则2a 5 b 053 5 43 故点 A ,53 33所以直线 l 的方程为 y4x.5故答案为：点睛】 本题考查了直线与直线的位置关

16、系，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档 题.15已知直线 l :(3k 1)x (1 k)y 4k 4 0，圆 C的方程为：22x2 y2 6x 8y 0，则直线 l恒过定点 ；若直线与圆相较于 A，B 两点，则弦 AB 长度的最小值 ；【答案】 2,2 4 5【解析】 转化直线为 (3x y 4)k x y 4 0 ，恒过定点，因此 3x y 4 0且 x y 4 0 联立即得定点坐标，当直线与 CM 垂直时，弦 AB 最短，利用勾股定理 即得解 .【详解】Q (3k 1)x (1 k)y 4k 4 0 ，(3x y 4)k x y 4 0 ，3x y 4 0 x 2则x y 4

17、0 y 2所以直线 l 恒过定点 M 2,2 .2 2 2 2Q x2 y2 6x 8y 0 (x 3)2 (y 4)2 25 C (3,4), r 5当直线与 CM 垂直时，弦 AB 最短， AB 最小值 2 r 2 CM 2 2 25 5 4 5 故答案为： 2,2 ， 4 5.【点睛】 本题考查了直线和圆的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力， 属于中档题 .16如图，正三棱柱 ABC A1B1C1 中，各棱长均等于 2，M 为线段 BB1 上的动点，则平面 ABC 与平面 AMC1所成的锐二面角余弦值的最大值为 【答案】 22【解析】 如图建立空间坐标系，求解平面 A

18、BC 与平面 AMC 1的法向量，利用二面角的 向量公式即得解 .详解】第 25 页 共 20 页如图建立空间坐标系，则 A( 3,0,0) ， M (0,1, t) ， C1(0, 1,2)，uuuur uuuurAC13, 1,2 ， C1M (0,2,t 2) ，设平面 AMC 1的法向量为 nr1 (x,y,z) ， uuuuv rAC1 n1 0 3x y 2z 0 uuuuv rC1M n1 0 2y (t 2)z 0ur 取 n13 ,2t,2平面 ABC 的法向量为 nr2 (0,0,1) ，cos2(t 32) (2 t)2 432(t 1)2 6 2故答案为： 22【点睛】

19、217 已知曲线 C : x y2 1 (mm本题考查了向量法求解二面角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属 于中档题 .0)，A 0,1，B 0, 1 ，P是曲线C上的动点 .当P与 A ， B重合时， PA ， PB的斜率之积为 ；若| PB| 2恒成立，则 m的取值范围是 .1 【答案】 0 m 2m【解析】 设P(x,y) ，用点坐标表示 kPA kPB ，利用椭圆方程化简即得解； 转化|PB| 2为 x2 (y 1)22 ，用椭圆方程替换 x，可得2y1，结合 y （ 1,1） 即得解.详解】所以(1 y)22yy3y12y1在 y （ 1,1） 上恒成立，2y 1 m

20、in2，2 x设 P(x,y) 则kPAkPBy1yx1 x2y2x1 1 ； m； 2 xm| PB|2 (y1)2m12 y(y1)2 2 在 y1,1上恒成立，所以 m 12 y(1y)2 4 在y1,1上恒成立，显然当y1时成立，所以 m 12 y(1y)2 4 在y(1,1） 上恒成立，故答案为：1， 0 m 2 m故02m点睛】本题考查了椭圆中的定值和取值范围问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算 能力，属于中档题 .三、解答题18已知原命题是 “若 x2 x 6 0 则 x2 2x 8 0”.（ 1）试写出原命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断所写命题的真假；（ 2）若“

21、（ x a）（x 2） 0 ”是“x2 x 6 0 ”的必要不充分条件，求实数 a 的取值范 围.【答案】（ 1）逆命题： “若 x2 2x 8 0则 x2 x 6 0 ”，假命题；否命题： “若x2 x 6 0 则 x2 2x 8 0 ”，假命题；逆否命题： “若 x2 2x 8 0 则x2 x 6 0 ”，真命题；（ 2） a 3【解析】（1）根据逆命题， 否命题， 逆否命题的定义，可得逆命题， 否命题，逆否命题， 求解对应不等式的范围， 以及原命题， 逆否命题同真假， 逆命题否命题同真假， 可得解；(2)若 “(xa)(x2)0 ”是 “x2 x 6 0 ”的必要不充分条件，则不等2 x

22、x60 的解2x 3构成的集合为 (x a)(x 2) 0的解集的真子集 .分a2，a2，a2 三种情况讨论即得解 .详解】1)根据逆命题，否命题，逆否命题的定义，逆命题： “若 x2 2x 80则 x2 x60 ”；否命题： “若2xx60则 x2 2x80”；逆否命题： “2 若x2x80则 x2 x60”.2x x 60 即：2x3；2x2 2x 80即：2x4可得：原命题2 “若 xx60则 x22x8 0 ”是真命题，逆命题 “若 x2 2x80则x2 x 60”是假命题，根据原命题，逆否命题同真假，逆命题否命题同真假，可得：逆否命题为真，否命题为 假.( 2)若“( x a)(x

23、2) 0”是“x2 x 6 0 ”的必要不充分条件，则不等式x2 x 6 0 的解 2 x 3构成的集合为 (x a)(x 2) 0的解集的真子集 .(x a)(x 2) 0 对应方程的根为 x1 a,x2 2若 a 2 ，不等式的解为 x 2, 不成立；若 a 2 ，不等式的解为 a x 2 ，不成立；若 a 2 ，不等式的解为 2 x a ，若 2 x 3构成的集合是 2 x a 构成的 集合的真子集，则 a 3.综上：实数 a 的取值范围是 a 3.【点睛】 本题考查了命题的四种形式以及充分必要条件，考查了学生综合分析，逻辑推理，转化 划归，分类讨论的能力，属于中档题 .19如图，空间几

24、何体 ABCDEF 中，四边形 ABCD， CDEF 是全等的矩形，平面CDEF 平面 ABCD ，且BC 2，AB 1，M ， N分别为线段 AE，AD的中点.（ 1）求证： MN / / 平面 BCF ；（ 2）求证： FM BN【答案】（ 1）证明见解析； （2）证明见解析【解析】（ 1）可证得 MN / /ED，又 ED / /FC ，由传递性得到 MN / /FC即得证； （ 2）由平面 CDEF 平面ABCD ，可证得 FC 面ABCD ，MN / /FC ，所以 MN 面 ABCD ，可得 MN BN ，勾股定理可证明 BN CN ，故 BN 平面 MNCF ， 即得证 .【详解

25、】（1）由 M ，N 分别为线段AE ， AD 的中点，MN / /ED，又 ED /FC ， 所以 MN / /FC ，FC 平面 BCF ，且 MN面 BCF ，MN / / 平面 BCF（ 2）证明： Q 平面 CDEF平面 ABCD ，平面 CDEF I 平面 ABCDCD，FC CD， FC 面 CDEF ，FC 面 ABCD ，MN / /FC ，所以 MN 面 ABCD， BN面 ABCDMN BN在 BCN 中， BN CN 2 ， BC 2 ， 所以 BN CN ， MN CN N 从而 BN 平面 MNCF ， FM 平面 MNCFFM BN .点睛】 本题考查了空间中的平

26、行垂直关系， 考查了学生空间想象， 逻辑推理， 转化划归的能力， 属于中档题 .2 2 220已知抛物线 y2 4x，与圆F:（x 1）2 y2 1，直线MN :x my 4与抛物线相 交于 M ， N 两点 .（ 1）求证： OM ON .（ 2）若直线 MN与圆 F相切，求 OMN的面积 S.【答案】（ 1）证明见解析； （2）16 322【解析】（ 1）直线与抛物线联立，可得 y1y216 ， x1x2 y1 y2 16 ，可证得44uuuur uuurOM ON x1x2 y1y2 0 ，故得证；（ 2）由直线 MN与圆 F相切，可求得 m,利用弦长公式，点到直线距离公式，可求得 MN

27、,dO MN ，即得解 .【详解】（1）设 M x1,y1 ，N x2, y2x联立 2y2my 44x2y2 4my 16 0 ，22y1y216Q x1x2y1y216，44uuuuruuurOMON x1x2y1y20，即 OMON .（2）Q直线 MN与圆相切，d|3|21m8，1m1 m 3y21 m2 (y1 y2)2 4y1y2 24 3 ，1 4 24 3 16 3.2344 原点到直线 MN 的距离 ，MN 1 m2 y11S MN dO MN2 O MN【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能 力，属于中档题 .21如图，斜三棱柱

28、 ABC A1B1C1中， ABC 为边长为 2 的正三角形，点 A1在底面ABC上的射影为 BC的中点 O，G在线段 AO上， AG 2GO ， H为OC1与B1C的交点，若 BB1 与平面 ABC 所成角为 .（ 2）求直线 GH 与平面 ABC所成角的正弦值 .【答案】（ 1） 2 ；（ 2） 3 44【解析】（ 1）以OC ，OA，OA1为 x，y，z轴建立空间坐标系， 分别求解平面 B1OC1 ，平面 A1OC 1的法向量，利用二面角的向量公式即得解.（ 2）求解平面 ABC 的法向量，利用线面角的向量公式即得解.【详解】（ 1）由于点 A1在底面 ABC上的射影为 BC 的中点 O

29、， ABC为边长为 2的正三角形，故OC ， OA， OA1两两垂直。以 OC，OA，OA1为x， y ， z轴建立空间坐标系，可得 A(0, 3,0) ， A1(0,0, 3) ， C1(1, 3, 3)， B1( 1, 3, 3)， uuuur uuur uuurOC1 (1, 3, 3)， OB1 ( 1, 3, 3) ， OA1 (0,0, 3)x 3y 3z 0x 3y 3z 0取 f (0,1,1) ；设平面 A1OC 1的法向量 n(x,y,z) ，则r uuuvn OC1 0 r uuuvn OA1 0x 3y 3z 0取 nr ( 3,1,0) ；OC1122由图象知二面角为锐角，面角 B1A1的余弦值为2)易知 G0, 33,03，H3333uuurGH1, 2 3 , 33, 3 , 3设平面 B1OC1的法向量 f (x,y,z) ，则 r uuuuv f OC1 0 r uuuv f OB1 0设平面 ABC的法向量为 vr ，易知 vr (0,0,1