《高等数学》电子课件（同济第六版）：第四章 第3节 分部积法

1、2问题问题 ?dxxex解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数, ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu.duvuvudv 分部积分公式分部积分公式一、基本内容3例例1 1 求积分求积分.cos xdxx解（一）解（一） xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu ,解（二）解（二） xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx )(cos221xdxxdxxxcoscos22224

2、例例2 2 求积分求积分.2 dxexx解解 dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx 总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 , 使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)uxdex2xxxdeex225一般地：一般地：xdxxP sin)(xdxxP cos)(dxexPx )(dxaxPx )(3例例dxxx532 )(xdx53251)(ln )()(ln32553251xdxxx)(lndxxxx5253251Cxxxln

3、)(ln5512532516例例4 4 求积分求积分.arctan xdxx解解 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx )(arctan221xdx7例例5 5 求积分求积分.ln3 xdxx解解 xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx )(ln441xxd6例例dxxx2lnxxd1lnlndxxxxx111Cxxx11ln8一般地：一般地：xdxxQarcsin)(xdxxQarctan)(xd

4、xxQarccos)(xdxxQln)(7例例dxxxarcsin221dxxarcsinarcsindxxxxx222121arcsindxxxxx22211121Cxxxxxxarcsinarcsinarcsin21121212121229例例8 8 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 10例例9 9 求

5、积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式1110例例xdx3secxdxx2secsecxxd tansecxdxxxxxtansectantansecxdxxxxsec)(sectansec12xdxxdxxxsecsectansec3)tanln(secsectansecxxxdxxx3Cxxxxxdx)tanln(

6、sectansecsec21312例例1111 求积分求积分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 13dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecCtt )tanln(secCxx )1ln(2 dxxxx21arctanxx arctan12 .)1ln(2Cxx 14例例 1212 已知已知)(xf的一个原函数是的一个原函数是2xe , 求求 dxxfx)(. 解解 dxxf

7、x)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 Cedxxfx ),()(xfdxxf 两边同时对两边同时对 求导求导, 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 1513例例dxxxxexsinsincos2dxxedxxxexxsinsincos22dxxexdexxsinsin222dxxedxxexexxxsinsinsin2222Cxexsin2216合理选择合理选择 ，正确使用分部积，正确使用分部积分公式分公式vu ,dxvuuvdxvu 二、小结1721234P习题双数双数18思考题思考题 在接连几次应用分部积分公式时，在

8、接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？应注意什么？19思考题解答思考题解答注意前后几次所选的注意前后几次所选的 应为同类型函数应为同类型函数.u例例 xdxexcos第一次时若选第一次时若选xucos1 xdxexcosdxxexexx sincos第二次时仍应选第二次时仍应选xusin2 20一、填空题：一、填空题：1 1、 xdxxsin_；2 2、 xdxarcsin_；3 3、计算、计算 xdxx ln2， u可设可设_ _ , , dv_；4 4、计算、计算 xdxexcos， u可设可设_ _ _ , , dv_；5 5、计算、计算 xdxx arctan2， u可设可设_ _

9、 , , dv_； 6 6、 计计算算 dxxex， u可可设设_ _ _ _ _ _ _, , dv_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二、二、 求下列不定积分：求下列不定积分：1 1、 dxxx2cos22； 2 2、 dxxx23)(ln；练练 习习 题题213、 nxdxeaxcos； 4、 dxex3；5、 dxx)cos(ln； 6、 dxxxex232arctan)1( .三三、 已已知知xxsin是是)(xf的的原原函函数数，求求 dxxxf)(. .四四、 设设 CxFdxxf)()(，)(xf可可微微，且且)(xf的的反反函函数数)(1xf 存存在在，则则 CxfFxxfdxxf )()()(111. .22一、一、1 1、Cxxx sincos； 2 2、Cxxx 21arcsin； 3 3、dxxx2,ln； 4 4、,xe xdxcos； 5 5、dxxx2,arctan； 6 6、dxexx ,. .二、二、1、Cxxxxxx sincossin21623； 2、Cxxxx 6ln6)(ln3)(