《高等数学》电子课件（同济第六版）：第十二章 第3节 幂级数

1、2第三节第三节 幂级数幂级数一一. 函数项级数的概念函数项级数的概念设),2, 1()(nxun称121)()()()(nnnxuxuxuxu为定义在区间 I 上的函数项级数函数项级数 .对,I0 x若常数项级数10)(nnxu称 为函数0 x项级数的收敛点收敛点 , 所有收敛点的全体称为函数项级数的收敛域收敛域 ;若常数项级数10)(nnxu称 为函数项级数的0 x发散点发散点 ,为定义在区间 I 上的函数列, 收敛,发散 ,所有发散点的全体称为函数项级数的发散域发散域 .3在收敛域上 , 函数项级数的和是 x 的函数,)(xS称它为级数的和函数和函数 , 并写成)()(1xuxSnn若用)

2、(xSn)()(1xuxSnkkn令余项)()()(xSxSxrnn则在收敛域上有, )()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函数项级数前 n 项的和, 即4例如例如 , 等比级数它的收敛域是,)1,1(当 时 , 有和函数)1,1(x,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的发散域是或写作.1x又如又如 , 级数, )0(02xnxxnnn但当 时 ,10 x,)(limxunn级数发散 ;当 时 收敛 , 1x所以级数的收敛域仅为1x5二二. 幂级数及其收敛性质幂级数及其收敛性质形如00)(nnnxxannxxaxxaxxaa)()()(0202010的函数项级数称为

3、幂级数幂级数 , 其中数列), 1,0(nan称下面着重讨论 的情形 , 即00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如 , 幂级数1,110 xxxnn为幂级数的系数系数 .即是此种情形.6ox0 x收 敛发 散发 散收敛发散定理定理 1 ( Abel定理 )若幂级数0nnnxa）（ 00 xx则对满足不等式0 xx 的一切 x ,幂级数都绝对收敛 ;在时收敛 , 反之 , 若当0 xx 0 xx 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式证证: 设00nnnxa,0lim0nnnxa于是存,),2, 1(0nMxann收敛 ,在常数 M 0 , 使则必有n

4、nnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0当 时 , 0 xx 00nnxxM收敛 ,0nnnxa也收敛 ,故原幂级数绝对收敛 .7ox假设有一点1x01xx0 x反之 , 若当 时该幂级数发散 , 0 xx 这与所设矛盾,故 满足不等式0 xx 下面用反证法进行证明 .所以若当 时幂级数发散 , 则对一切0 xx 0 x收 敛发 散发 散由Abel 定理可以看出 , 0nnnxa中心的区间 . 用R 表示幂级数收敛与发散的分界点收敛发散的收敛域是以原点为满足且使级数收敛 ,前面的证明 ,根据级数在点也应收敛 ,假设不真 . 的 x , 原幂级数也发散 . 8R = 0 时 , 幂

5、级数0nnnxa仅在 x = 0 收敛 ;R = 时 , 幂级数0nnnxa在 收敛 ;),(,0 R幂级数0nnnxa在 收敛 ;),(RR在 外发散 ;,RR在 可能收敛也可能发散 .Rx),(RR称为收敛区间收敛区间 .称为收敛半径收敛半径 R收敛区间加上端点的收敛点称为收敛域。收敛区间加上端点的收敛点称为收敛域。9定理定理2. 若幂级数0nnnxa的系数满足nnnaa1lim则: 1) 当 时 , 0;1R2) 当 时 ,0;R3) 当 时 ,.0R证证: 对级数,0nnnxaxaaxaxannnnnnnn111limlim1) 若,0则根据比值审敛法可知当,1x即 时,1x原级数收敛

6、 ;当,1x即 时 ,1x原级数发散 .因此级数的收敛半径.1Rx102) 若, 0 xaaxaxannnnnnnn111limlimx则根据比值审敛法可知,;R数绝对收敛 ,3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级数都.0R发散 ,对任意 x 原级因此因此 定理定理20nnnxa1limnnnaaR的收敛半径为说明说明: : 据此定理11nxxxxnn 132) 1(32的收敛半径及收敛域 .解解:1limnnnaaR11nn11对端点 x = 1 , 级数为交错级数,1) 1(11nnn收敛 级数为,1x,11nn发散 1, 1(故收敛域为对端点 limn例例1.1.求幂级数12

7、例例2. 求下列幂级数的收敛域 :nnnnxnxn00!)2(;!1) 1 (解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n! ) 1(1n) 1(limnn所以收敛域为. ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以级数仅在 x = 0 处收敛 .规定: 0 ! = 113例例3. 求幂级数12) 1(nnnnx的收敛域 .解解: 令 ,1 xt级数变为nnntn121 limlim1nnnnaaRnn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12当 t = 2 时, 级数成为,11nn此级数发散 ;当 t = 2 时, 级数成为,) 1(1nn

8、n此级数条件收敛 ;因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为,212x即.31x14解解 3523222xxx级数为级数为缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 级数收敛级数收敛, 1212 x当当,2时时即即 x例例4 求幂级数求幂级数 收敛域收敛域. .15, 1212 x当当,2时时即即 x级数发散级数发散,2时时当当 x,211 n级数为级数为,2时时当当 x,211 n级数为级数为级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛域为原级数的收敛域为).2, 2( 16例例5.

9、求幂级数nnxnn202) !(! )2(的收敛半径 .解解: 由于级数缺少奇次幂项 , 不能直接应用定理 2 .可直接根据比值审敛法求收敛半径 . 方法如下: lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x当142x时级数收敛当时级数发散 故收敛半径为 .21R即21x142x即21x) 1(2nxnx217例例 6 6 求求级级数数nnnxn)11()1(1 的的收收敛敛域域. 解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx, 111)1( x当当,20时时或或即即

10、 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛., 11 x18, 111)2( x当当, 11 x,02时时即即 x原级数发散原级数发散.,0时时当当 x 1)1(nnn级数级数收敛收敛;,2时时当当 x 11nn级数级数发散发散;)., 0)2,( 故级数的收敛域为故级数的收敛域为, 1|1|)3( x当当, 20 xx或或19三三. 幂级数的运算幂级数的运算定理定理3 设幂级数nnnxa0nnnxb0及的收敛半径分别为,21RR令nnnxa0(0nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx nnnnnnxbxa00,0nnnxcRx 其中knnkknbac

11、0以上结论可用部分和的极限证明 .为常数 ) ,则有 :20定理定理4 若幂级数nnnxa0的收敛半径,0R则其)(xS(证明略)nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxdxaxdxSnxnnx000)(,110nnnxna),(RRx和函数在收敛区间上收敛区间上连续连续 , 且在收敛区间内收敛区间内可逐逐项求导项求导与逐项求积分逐项求积分:说明说明.,则上等式仍成立则上等式仍成立处收敛处收敛或或若在若在数数经求导或积分后的新级经求导或积分后的新级RxRx21.:的和函数的和函数利用幂级数可求幂级数利用幂级数可求幂级数说明说明记住等比级数的和函数记住等比级数的和函数内内在收敛域在收

12、敛域),(11xxnn110 xxnnn1110)(xxxnn11xxxnnn111)(20211xxnn22例例7. 求级数1nnxn的和函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 故当)1,1(x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx.)(xS时11nnxnx1nnxx)1,1(x23例例 8 8 求求级级数数 11)1(nnnnx的的和和函函数数. 解解,)()(111nnnnxxs令令, 0)0( s显显然然两边积分得两边积分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x,(11易知收敛区间为易知收敛区间为时时当当),(11x24,1时时又又

13、 x.1)1(11收敛收敛 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即25例例9. 求级数222) 1(1nnn的和 .解：解：设,1)(22nnnxxS则, )1, 1(x2112nnnxx21121nnnxx)0(x)2(212xxx1)212(nnnxxx12nnnxxnnxnnxS111121)(2321nnnxx26例例9 求级数222) 1(1nnn的和.1nnnx101nxnxdx而xdxxnn 011xxxd01)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS故222) 1(1nnn)0(x1)212()(nnnxxxxS)2(212xxx21S2ln4385)0(x27例例10. 幂级数0!nnnx在),(解解: 设0!)(nnnxxS)(x则11! ) 1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(x故0)(xSexxCexS)(由1)0(S得,)(xexS即有xnnenx0!收敛 , 试求其和 .0)()(xSxS28内容小结内容小结1. 求幂级数收敛区间的方法求幂级数收敛区间的方法1) 对标准型幂级数