《高等数学》电子课件（自编教材）：第四章 第4节 分部积法

1、1第四节 分部积分一、分部积分公式一、分部积分公式二、分部积分举例二、分部积分举例三、总结三、总结2 2 由上节可知，基础上得到的，积函数是由两个不同类型函数的乘积时，如：xdxxxdxxdxxexdxxxlnarctansin等，换元积分法就不一定有效了。本节中，我们将利用两个函数乘积的微分或导数公式推得另一个求积分的基本方法分部积分法分部积分法换元积分法是在复合函数求导公式的是一种应用广泛的积分法则。但是当被3 3由微分公式dvuvduduv两边同时积分得:vuduvuvdxvuuvxvudduvvuvudd1) v 容易求得 ;vuvdud)2比容易计算 .:)(的原则或及选取vdvu分

2、部积分公式分部积分公式设函数)()(xvvxuu具有连续导数分部积分法分部积分法4,dxvuuvdxvu.duvuvudv 分部积分公式分部积分公式问题问题 ?dxxexdxxexxxdedxexexxcexexxcxex) 1(5例例1 1 求积分求积分.cos xdxx解（一）解（一） xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu ,解（二）解（二） xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx )(cos221xdxxdxxxcoscos22226例例2 2 求积分求积分.2 dxexx解解

3、 dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx 总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 , 使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)uxdex2xxxdeex227一般地：一般地：xdxxP sin)(xdxxP cos)(dxexPx )(dxaxPx )(3例例dxxx532 )(xdx53251)(ln )()(ln32553251xdxxx)(lndxxxx5253251Cxxxln)(ln5512532518例例4 4 求积

4、分求积分.arctan xdxx解解 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx )(arctan221xdx9例例5 5 求积分求积分.ln3 xdxx解解 xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx )(ln441xxd6例例dxxx2lnxxd1lnlndxxxxx111Cxxx11ln10一般地：一般地：xdxxQarcsin)(xdxxQarctan)(xdxxQarccos)(xdxxQln)(7

5、例例dxxxarcsin221dxxarcsinarcsindxxxxx222121arcsindxxxxx22211121Cxxxxxxarcsinarcsinarcsin211212121212211例例8 8 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 12例例9 9 求积分求积分.sin xdxex解解 xd

6、xexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式1310例例xdx3secxdxx2secsecxxd tansecxdxxxxxtansectantansecxdxxxxsec)(sectansec12xdxxdxxxsecsectansec3)tanln(secsectansecxxxdxxx3Cxxxxxdx)tanln(sectansecsec21314例例1

7、111 求积分求积分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 15dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecCtt )tanln(secCxx )1ln(2 dxxxx21arctanxx arctan12 .)1ln(2Cxx 16例例 1212 已知已知)(xf的一个原函数是的一个原函数是2xe , 求求 dxxfx)(. 解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxf

8、xxf,)(2 Cedxxfx ),()(xfdxxf 两边同时对两边同时对 求导求导, 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 1713例例dxxxxexsinsincos2dxxedxxxexxsinsincos22dxxexdexxsinsin222dxxedxxexexxxsinsinsin2222Cxexsin2218合理选择合理选择 ，正确使用分部积，正确使用分部积分公式分公式vu ,dxvuuvdxvu 二、小结19习题与思考题习题与思考题 1 、在接连几次应用分部积分公式时，、在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？应注意

9、什么？解答解答注意前后几次所选的注意前后几次所选的 应为同类型函数应为同类型函数.u例例 xdxexcos第一次时若选第一次时若选xucos1 xdxexcosdxxexexx sincos第二次时仍应选第二次时仍应选xusin2 202、求.dcoscosln2xxx解解:原式 =xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd) 1(sec2xxcoslntan Cxx tandxxx2cos1coslnxdxtancosln21213、求.d xI23)1 (2x解法解法1 先换元后分部令,arctanxt 即,tantx 则teIt3secttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsinttetdcostetcos故CettIt)cos(sin2121xearctantx121x21xx211xCex