[数学]函数的极限ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种方式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :函数的极限 目录 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1. 0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义引例引例. 丈量正方形面积丈量正方形面积.面积为A )边长为(真值:;0 x边长面积2x直接观测值间接观测值任给精度 ,要求 Ax2确定直接观测值精

2、度 :0 xx0 xAx目录 上页 下页 返回 结束 )(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.000的过程表示xxxx;)()(任意小表示AxfAxf定义定义1 . 设函数设函数)(xf在点的某去心邻域内有定义 ,0 x假设在0 xx 确定的数值A，的过程中对应的函数值)(xf无限接近于那么就说A是函数)(xf当0 xx 时的极限.目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1 . 设函数设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,0,0当00 xx时, 有 Axf)(那么称常数 A 为函数)(xf当0 xx 时的极限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf当即,0,0当),(0 x

3、Ux时, 有假设记作 Axf)(Axfxx)(lim0极限存在函数部分有界(P36定理2) 这阐明: AA几何解释几何解释:OAx0 xy)(xfy 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明证明)(lim0为常数CCCxx证证:Axf)(CC 0故,0对恣意的,0当00 xx时 , 0CC因此CCxx0lim总有目录 上页 下页 返回 结束 例例2.lim00 xxxx 证证明明证证,)(0 xxAxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习. 证明证明1)12(lim1xx证证:Axf)(1

4、) 12(x12x欲使,0取,2那么当10 x时, 必有1) 12()(xAxf因此,)( Axf只需,21x1)12(lim1xx目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明证明211lim21xxx证证:Axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时, 必有2112xx因此211lim21xxx1 x目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 证明证明: 当当00 x证证:Axf)(0 xx 001xxx欲使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因此,)( Axf只需,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取,min00 xx那么当00 xx时,00 xxx

5、保证 .必有Ox0 xx目录 上页 下页 返回 结束 例例7 7).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故3.单侧极限单侧极限:目录 上页 下页 返回 结束 2. 左极限与右极限左极限与右极限左极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf右极限 :)(0 xfAxfxx)

6、(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf定理定理 3 .Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00( P39 题*11 )目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 给定函数给定函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限能否存在 . 解解: 利用定理利用定理 3 .由于)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .xyO11 xy11 xy目录 上页 下页 返回 结束 .lim0是否存在xxxyx11 oxxxxxx00liml

7、im左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx练习练习证证1) 1(lim0 xxxxxxxlimlim011lim0 x目录 上页 下页 返回 结束 .sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限目录 上页 下页 返回 结束 ;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的的过过程程表表示示 xXx. 0sin)(,无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当xxxfx 经过上面演示实验的察看经过上面演示实验的察看:问题问题: 如何用数学言语刻划函数如何用数学言语刻划函数“无

8、限接近无限接近.目录 上页 下页 返回 结束 XXAAOxy)(xfy A定义定义2 . 设函数设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,假设,0X,)(,AxfXx有时当那么称常数时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或几何解释几何解释:AxfA)(XxXx或记作直线 y = A 为曲线)(xfy 的程度渐近线 .,0 xxf当)(A 为函数二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 证明证明. 01limxx证证:01xx1取,1X,时当Xx 01x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x只需,1x.10的水平渐近线为

9、xyyOxyxy1目录 上页 下页 返回 结束 定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim.)(,)(lim:的的图图形形的的水水平平渐渐近近线线是是函函数数则则直直线线如如果果定定义义xfycycxfx 目录 上页 下页 返回 结束 Oxyx1x11xxgxxf11)(,1)(直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :Axfx)(lim,0,0X当Xx 时, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当Xx时, 有 Axf)(几何意义几何意义 :例如，都有程度渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有

10、程度渐近线. 1y又如，Oxyx21x21目录 上页 下页 返回 结束 三、函数极限的性质2.函数极限的部分有界性函数极限的部分有界性1.函数极限的独一性函数极限的独一性MxfxxMAxfxx)(,0, 00)(lim 200有时使得当和，那么存在常数如果定理目录 上页 下页 返回 结束 3. 函数极限的部分保号性函数极限的部分保号性定理定理3 . 假设假设,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0时使当xUx. 0)(xf)0)(xf证证: 知知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0 xU当时, 有.)(AxfA当 A 0 时, 取正数,A那么在对应的邻域上. 0)(xf( 0)(A

11、那么存在( A 0 ),(0 xU),(0 xUx),(0 xU(P37定理3)0(AA0 x0 xAx0 xy)(xfy O目录 上页 下页 返回 结束 AxfA)(:0A:0A假设取,2A那么在对应的邻域上 假设,0)(lim0Axfxx那么存在使当时, 有.2)(Axf定理定理 :23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 xU, ),(0 xU),(0 xUx(P37定理3)分析分析:AA0 x0 xAx0 xy)(xfy O3目录 上页 下页 返回 结束 推论推论 . 假设在假设在0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx那么. 0A)0(A证证:

12、用反证法用反证法.那么由定理 1,0 x的某去心邻域 , 使在该邻域内,0)(xf与知所以假设不真, .0A(同样可证0)(xf的情形)思索: 假设推论 中的条件改为, 0)(xf能否必有?0A不能不能! 0lim20 xx存在如 假设 A 0 , 条件矛盾,故时,当0)(xf目录 上页 下页 返回 结束 4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系) .)(lim)( )( )(,)(lim000AxfxfNnxxxxfxAxfnnnnnxx必收敛，且数列那么函数值的数列，且满足：于的定义域内任意收敛为函数若定理定理目录 上页 下页 返回 结束 证证.)(,0,

13、 0, 00 Axfxx恒恒有有时时使使当当Axfxx )(lim0.0, 0, 00 xxNnNn恒恒有有时时使使当当对对上上述述,)( Axfn从而有从而有.)(limAxfnn 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在的极限都存在, ,且相等且相等. .目录 上页 下页 返回 结束 xy1

14、sin 例例7.1sinlim0不不存存在在证证明明xx证证 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,221nxn取, 0lim nnx; 0 nx且且目录 上页 下页 返回 结束 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 )22sin(lim1sinlimnxnnn而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 目录 上页 下页 返回 结束 思索与练习思索与练习1. 假设极限)(lim0 xfxx存在,)()(lim00 xfxfxx2. 设函数)(xf且)(lim1xfx存在, 那么. a3能否一定有第四节 1, 121,2xxxx

15、a？目录 上页 下页 返回 结束 四、小结函数极限的一致定义函数极限的一致定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)目录 上页 下页 返回 结束 过过 程程时时 刻刻从此时辰以后从此时辰以后 n x x xNNn Xx Xx Xx)(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时辰以后从此时辰以后 )(xf Axf)(0

16、X目录 上页 下页 返回 结束 思索题思索题试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限是是否否存存在在？目录 上页 下页 返回 结束 思索题解答思索题解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右极限存在右极限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.目录 上页 下页 返回 结束 .01. 01_131222 yzxzxxyx，必有，必有时，只要时，只要取取，问当，问当时，时，、当、当.001. 0420_4212 yxxyx，必必有有只只要要时时，取取，问问当当时时，、当当 证明：证明：二、用函数极限的定义二、用函数极限的定义一、填空题一、填空题:0sinlim221241lim1221 xx