[管理学]复变函数ppt课件

1、1.1.球极射影球极射影在点坐标是(x,y,u)的三维空间中， 把 xOy 面看作是z平面 。思索球面S：A取定球面上一点N(0,0,1)称为球极。作衔接N与XOY平面上恣意点A(x,y,0)的直线,与球面的交点为那么A称为A在球面上的球极射影。 ), , ( uyxA三、复球面与无穷大三、复球面与无穷大, 1222uyxiyxz , 1222uyx由于A(x,y,0), A (x,y,u) ,N(0,0,1)三点共线，所以有x-0:(y-0):(0-1)=( x-0):( y-0):( u-1)从而有综合可得：所以对应 ，建立一个复平面C与单位球面S-N之间的一个1-1对应 。球极射影： u

2、iyxiyxz1,|12zzzx1122|zzu) , , ()0 ,( , uyxyxAA,|12zzzx22221) () () (|uyxzzz又) () (uuuu1111221122|zzu,1|2zizzy,1|2zizzy球极射影：球极射影： A (x,y,u) A (x,y,u) ,|12zzzx1122|zzu,1|2zizzy假设假设z z的模越大，那么它的球极射影越接近的模越大，那么它的球极射影越接近 于于N (0,0,1)N (0,0,1)。因此球面上的球极因此球面上的球极 N 就是复数就是复数的几何表示的几何表示.2. 2. 扩展复平面的定义扩展复平面的定义我们规定我

3、们规定: : 球极球极N N与一个模为无与一个模为无穷大的假想的穷大的假想的点对应点对应这个假想的这个假想的点称为点称为“复数复数无穷远点无穷远点 记作记作. .复平面加上复平面加上后称为扩展复平面，记作后称为扩展复平面，记作C C包括无穷远点在内的复平面称为扩展复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩展复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, , 或简称复平面或简称复平面. .对于复数对于复数来说来说, 实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无意辐角等概念均无意义义, 它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大.复球面的优越处复球面的优越处:能将扩展复平

4、面的无穷远点明显地表示出来能将扩展复平面的无穷远点明显地表示出来. : 的四则运算规定如下的四则运算规定如下关于关于 )(, : )1( 加加法法)(, : )2( 减法减法)0(, : )3( 乘法乘法)0( ,0),( , 0 : )4( 除除法法留意：为了用球面上的点来表示复数，引入了留意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应无穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应, 所谓无穷大是指模为正无穷大辐角无意义所谓无穷大是指模为正无穷大辐角无意义的独一的一个复数，不要与实数中的无穷大或的独一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈正、负无穷大混为

5、一谈2 2 复平面的拓扑复平面的拓扑1 .复平面点集的几个根本概念复平面点集的几个根本概念2. 区域与约当区域与约当(Jordan)曲线曲线 4 4、初步概念、初步概念 平面上以平面上以z0z0为中心为中心,(,(恣意的正数恣意的正数) )为半为半径的径的圆圆:|z- z0|:|z- z0|内部的点的集合称为内部的点的集合称为z0z0的邻域的邻域, ,记为记为(z0,);(z0,);而称由不等式而称由不等式0|z- z0|0|z- z0|0r0，使得，使得 那么称那么称a a为为E E的孤立点是边境点但不是聚点的孤立点是边境点但不是聚点. .6 6有界点集，无界点集：假设点有界点集，无界点集：

6、假设点 集集E E 以被包含在一个以原点以被包含在一个以原点 为中心的圆里面为中心的圆里面, , 即存在正即存在正 数数M, M, 使点集使点集E E的每个点的每个点z z都都 满足满足|z|M,|z|M,那么称那么称E E为有界区为有界区 域域, , 否那么称为无界的。否那么称为无界的。.EE部分,E.EEE),(aEraU0zz7 7有关例题：有关例题：例1、圆盘U(a,r)是有界开集；闭圆盘是有界闭集；例2、集合z|z-a|=r是以a为心，r为半径的圆周，它是圆 盘U(a,r)和闭圆盘的边境。例3、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。例4、集合E=z|0|z-a|r是去掉圆心的

7、圆盘。圆心a边境 点，它是E边境的孤立点，同时也是集合E的聚点。2. 2. 区域和曲线：区域和曲线： 区域的边境能够是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.区域D与它的边境一同构成闭区域或闭域, 记作 D满足不等式r1|z-z0|r2的一切点构成一个区域, 而且是有界的, 区域的边境由两个圆周|z-z0|=r1和|z-z0|=r2构成,称为圆环域. 假设在圆环域内去掉一个(或几个)点, 它依然构成区域, 只是区域的边界由两个圆周和一个(或几个)孤立的点所构成(1) 圆环域圆环域:;201rzzr 0z 2r1r课堂练习课堂练习判别以下区域能否有界判别以下区域能否有界?(2) 上半平面上半平面:;

8、0Im z(3) 角形域角形域:;arg0 z(4) 带形域带形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界.xyo2) 延续曲线延续曲线:. , )( ),( , )( , )( )( 称称为为连连续续曲曲线线表表一一条条平平面面曲曲线线代代那那末末方方程程组组是是两两个个连连续续的的实实变变函函数数和和如如果果 ttyytxxtytx平面曲线平面曲线C的复数表示的复数表示:)().()()( ttiytxtzzC的实参数方程的实参数方程C的复参数方程的复参数方程起点起点z()C终点终点z()zxyCC的正向：起点的正向：起点终点终点o. )( , )()( ,

9、 , 121212121的重点的重点称为曲线称为曲线点点时时而有而有当当与与的的对于满足对于满足Ctztztztttttt 没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为称为简单曲线简单曲线(或假设尔当曲线或假设尔当曲线).重点重点重点重点重点重点. , , 为为简简单单闭闭曲曲线线那那末末称称即即点点和和终终点点重重合合的的起起如如果果简简单单曲曲线线CzzC)()(换句话说换句话说, 简单曲线本身不相交简单曲线本身不相交. 课堂练习课堂练习 判别以下曲线能否为简单曲线判别以下曲线能否为简单曲线?答答案案简简单单闭闭简简单单不不简简单单闭闭不不简简单单不不闭闭 )(az)(bz )(az)(bz )

10、(az)(bz )(az)(bz 简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质约当定理约当定理 恣意一条简单闭曲线C 把整个复平面独一地分成三个互不相交的点集, 其中除去C 外, 一个是有界区域, 称为C 的内部, 另一个是无界区域, 称为C 的外部, C 为它们的公共边境. 简单闭曲线的这一性质, 其几何直观意义是很清楚的.3)光滑曲线、分段光滑曲线光滑曲线、分段光滑曲线 假设令这就是平面曲线的复数表示式. 假设在区间 atb 上 x (t) 和 y (t) 都是延续的,且对于t 的每一个值,有x (t)2 + y (t)2 0这曲线称为光滑的，由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线,称为按段光滑曲线。)

11、().()()( ttiytxtzz4)单连通域、多连通域单连通域、多连通域复平面上的一个区域D, 假设在其中任作一条简单闭曲线C, 而曲线C的内部总属于D, 那么称区域D为单连通域，一个区域假设不是单连通域, 就称为多连通域。在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞点洞和缝隙的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙的区域，它可以是由曲线C所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而构成的区域如图. 三、典型例题例例1 1 指明以下不等式所确定的区域指明以下不等式所确定的区域, 是有界的还是有界的还是无界的是无界的,单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的. 111)5(; 411)4(; 31

12、)3(;3arg)2(; 1)Re()1(2 zzzzzzz解解 , )1(时时当当iyxz ,)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).3arg)2( z,3arg33arg zz是角形域是角形域, 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).31)3( z,3131 zz, 31 ,的的圆圆的的外外部部半半径径为为是是以以原原点点为为中中心心无界的多连通域无界的多连通域. 411)4( zz表示到表示到1, 1的间隔之的间隔之和为定值和为定值4的点的轨迹的点的轨迹, 是椭圆是椭圆,411 zz ,411表示该椭圆内部表示该椭圆内部 zz有界

13、的单连通域有界的单连通域.111)5( zz,sincos irrz 令令 111 zz边边界界1sin)1cos(sin)1cos(222222 rrrr1)1cos2)(1cos2(22 rrrr1)cos(4)1(222 rr ,2cos2 02 rr或或 , )( 2cos22也也称称双双纽纽线线是是双双叶叶玫玫瑰瑰线线 r ,111是其内部是其内部 zz有界的单连通域有界的单连通域.例例2 2解解 满足以下条件的点集是什么满足以下条件的点集是什么, 假设是区域假设是区域, 指出是单连通域还是多连通域指出是单连通域还是多连通域?, 3Im)1( z是一条平行于实轴的直线是一条平行于实轴

14、的直线, -3-2-1123x123456y不是区域不是区域., 2Re)2( z), 2Re ( 2Re zz不包括直线不包括直线为左界的半平面为左界的半平面以以单连通域单连通域., 210)3( iz, 2 , )1( 的的去去心心圆圆盘盘为为半半径径为为圆圆心心以以i 是多连通域是多连通域.,4)arg()4( iz), ( 1 , ii不包括端点不包括端点的半射线的半射线斜率为斜率为为端点为端点以以不是区域不是区域.,4arg0)5( iziz , 时时当当iyxz iziz ,)1(2)1(1222222 yxxiyxyx 4arg0 知知由由 iziz0,)1(12222 yxyx0,)1(222 yxx, 0)1( 22 yx因因为为 , 12, 01, 02 2222yxxyxx于于是是 . 2)1(, 1, 0 2222yxyxx, 2)1( 22集集部部且且属属于于左左半半平平面面的的点点的的外外表表示示在在圆圆 yx单连通域单连通域.例3 在扩展复平面上，集合 为单连通的无界区域，其边境为 而集合 为多连通的无界区域，其边境分别为：