万有引力专题

1、物理万有引力专题（一）不同公式和问题中的 r含义不同万有引力定律公式 f =Gmi2 m2中的r指的是两个质点间的距离，在实际问题当中，只有当两物体间r的距离远大于物体本身的大小时，定律才适用，此时r指的是这两个物体间的距离；定律也可适用于两个飞船在椭圆轨道上运动的周期12 .(R Ro)38R3(R R。)38R3T ,故解得飞船由A运动到B点所需的时间为质量分布均匀的球体之间，此时r指的是这两个球心的距离。而向心力公式2m vF中的r，对于椭圆r轨道指的是曲率半径，对于圆轨道指的是圆半径,开普勒第三定律T2=k中的r指的是椭圆轨道的半长轴。可见，同一个r在不同公式中所具有的含义迥异。例1如

2、图所示，两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须各以一定速度绕某一中心转动才不至于因万有引力而吸引在一起，已知双星的质量分别（二）自转周期和公转周期的区别自转周期是天体绕自身某轴线转动一周的时间，公转周期是卫星绕某一中心做圆周运动一周的时间。这两个周期一般情况下并不相等，如地球自转周期为24小时，公转周期为365天。但也有特殊情况，如月球的自转周期等于公转周期，所以它总是以相同的一面朝向地球。例3已知光从太阳射到地球需时间t,地球同步卫星的高度为 h，地球的公转周期为 T,自转周期为 T。地球半径为R。试推导太阳和地球的质量的表达式。解析：设太阳质量为 M，地球质量为 M，地球同步卫星质量为

3、m，则为mi和m2，相距为I，万有引力常量为 G,求:（1）双星转动的中心位置；（2）转动周期。地球绕太阳做圆周运动，设轨道半径为GM 1M 22芝 2r，贝V12 2 二 M 2() r，而 r ：“ ct ( c为光速)rT所以M1GT24二 2(ct)3GT2地球同步卫星绕地球做圆周运动，则GM2m(R h)22= 2=m()2(R h)解析：（1 ）设双星转动的中心位置 0距离mi为r，与两恒星中心的距离 丨不同22emoF引二 F向 = m2 (I - r) 解得 r I叶+m2所以M2234二 2(R h)3GT 2（2）在求第二问时更应注意距离和半径的区别，对恒星mi，Gm1m2

4、=m/*)2（三）同步卫星和一般卫星的区别任何一颗地球卫星的轨道平面都必须通过地心，由万有引力提供向心力，其高度、速度、周期一一对 应。地球同步卫星相对于地面静止，和地球自转具有相同的周期，为24小时。它只能位于赤道上方43.6 10 km处，线速度为 3.08km/s。得转动周期为:G(m1 m2)一般卫星的轨道是任意的，周期、线速度可以比同步卫星的大，也可比同步卫星的小，线速度最大值 为v = 7.9km/s，最小周期大约 84min （近地卫星）。例2飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为 T,如果飞船要返回地面，可-,在轨道上某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点

5、的椭圆轨 _道运行，椭圆与地球表面在 B点相切，如图2所示，求飞船由A点运动到B点所需要密量） A的时间。（已知地球半径为 R0）.解析：本题用开普勒第三定律求解比较简单，即所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等，对于在圆周轨道上运行的行星其轨道的半长轴应该是圆半径，所以，当例4同步卫星离地心距离为r，运行速度为度为a2，第一宇宙速度为 V2，地球半径为A.a2a1rB.R2 a2 r2a1C.飞船在圆周上绕地球运动时，有A"，当飞船进入椭圆轨道运动时，有（菩）3=k，2T2解析:由两式联立得R,V1，加速度为则（a1 ,地球赤道上的物体随地球自转的向心加速R2 v

6、2r2V1D.V1同步卫星和赤道上的物体的角速度相等，据V22 a1a f： r 知a2r;第一宇宙速度是卫星贴近地R2面绕行时的速度，即近地卫星的速度，近地卫星和同步卫星都满足vGM，所以也-R。本题答案rV2ra卫星的轨道半径缓慢减小时，在较短时间内，可认为做稳定运动，由v二，GM知，r逐渐减小时vv r为 A、Db本例涉及三个物体：同步卫星、近地卫星、地球赤道上的物体。同步卫星与地球赤道上的物体的周期 都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期；近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球 半径，而不等于同步卫星的运动半径；三者的线速度各不相同。（四）稳定运行和变轨运动的区别逐渐增大

7、，故D正确。（五）赤道上的物体和近地卫星的区别赤道上的物体在地球自转时受到两个力作用：地球对它的万有引力和支持力。这两个力的合力提供物体做圆周运动的向心力，即GMm 匚有N2= R，这里 FN 二 mg卫星绕天体稳定运行时，由万有引力提供向心力GMm2mvGM，得v，由此可知，轨道半径r. r此时物体的向心加速度 a = 2R ：、0.034m/s2,远远小于地面上的重力加速度g= 9.8m/s2 ,在近似计算中可忽略自转的影响，认为地面上物体的重力等于万有引力。r越大，卫星的速度v越小。绕天体运行的卫星只受万有引力作用，处于完全失重状态，故F二mg 二ma。卫星的向心加速度 a等当卫星由于某

8、种原因使速度mv2v突然改变时，-r，运行轨道发生变化。若 v突然变大,于卫星所在处的重力加速度 g'。对近地卫星，有 a = g = 9.8m/s2。2GMm mv，卫星做离心运动;rr若v突然变小，肆r2mv，卫星做近心运动。r例6地球赤道上的重力加速度为 起来，则地球的转速应为原来的（,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为）a，要使赤道上的物体“飘”注意不能通过v二.GM判断卫星如何变轨，因为变轨过程中卫星的速度改变，但是待卫星再次达到 rA. 9 倍 B. g a 倍aaC.ga倍aD.解析：赤道上的物体随地球自转时,稳定状态时，仍有v = 9也 成立。I r例5如图3, a、

9、b、c是三颗在圆轨道上运行的卫星，则（）A. b、c的线速度大小相等，且大于 a的线速度B. b、c的向心加速度大小相等，且大于 a的向心加速度C. c加速可追上同一轨道上的b , b减速可等侯同一轨道上的 cD. a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，则其线速度将变大解析：b、c在同一轨道上运行，线速度大小、加速度大小均相等，又b、p'GMc轨道半径大于a轨道半径，由v知，vb = vc = va，故A错。V r由加速度a2知，ab = ac : aa，故B错。r2当c加速时，它受到的万有引力Fc :-，它将偏离原轨道，做离心运动；当b减速时，它受到的万rc有引力为Fb2mvb一-，

10、它将偏离原轨道，做近心运动。所以C错。厶 GMm有R2Fn2=R= ma，其中Fn = mg要使赤道上的物体“飘”起来，即变为近地卫星，则v 蛍' ，g + a所以一二g a，选项B正确。vafn = 0，于口 GMm是2R2（六）卫星运行中受力和轨道问题人造卫星在绕地球运行时，只考虑地球对卫星的万有引力，不考虑其他天体（如太阳、 的万有引力。火星等）对它人造卫星绕地球运行时的轨道圆心必须与地心重合，而且卫星在轨道上做圆周运动时地球对卫星的万 有引力刚好等于卫星的向心力。例7可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道（）A. 与地球表面上某一纬度（非赤道）是共面同心圆B. 与地球表面上

11、某一经度线所决定的圆是共面同心圆C. 与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的D. 与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是运动的解析：人造地球卫星做圆周运动的向心力是由地球对卫星的万有引力来提供，这个引力的方向是指向 地心的，所以卫星运动的圆周的圆心一定要在地心上，因此其圆轨道与地球表面上某一纬度（非赤道）是 共面同心圆是不可能的，故 A选项错误，D选项正确；由于地球表面的经度是随着地球的自转而运动的， 而卫星的运动轨道是固定的，所以B选项也是错误的；C选项描述的是地球同步卫星，轨道半径是确定值,4相对地球是静止的，故本题正确的答案是CD点评：在天体运行中，

12、无论是近地卫星还是同步卫星，做圆周运动的向心力都是由地球对它的万有引 力来提供的，这一点必须明确。（七）卫星的绕行速度、角速度、卫星绕地球稳定运行时， 万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，由2 'GMm mv /口 GM，得 v =.,r. r周期与半径r的关系由此可知，轨道半径r越大，卫星的线速度 v越小，当卫星由于某种原因速度v发生改变时，受到的万有引由GMm由 2r2 mv_ , r故r越大，v越小；,GMm由二m 2r ,r故r越大，-越小；,GMm4二 2由2二m 2rT故r越大，T越大。1.2.3.得Vr，得 T 二GM2力§鸟巴和需要的向心力 业 不再相等，卫

13、星将偏离原轨道运动。当rrGMm2r2mv时，卫星做近心运动,r得一.GM例8火星有两颗卫星，分别为火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆，已知火卫一的周期为 分，火卫二的周期为 30小时18分，则两颗卫星（）7小时39其轨道半径r减小，由于万有引力做功，因而速度v越来越大。反之,动，其轨道半径r增加，速度v越来越小。例9在半径为r的轨道上做匀速圆周运动的卫星，它所具有的机械能为GMm2- r:曲时，卫星做离心运rE,动能为Ek，由于一种原因使A. 火卫一距火星表面较近B. 火卫二的角速度较大C. 火卫一的运动速度较大D. 火卫二的向心加速度较大A. r增大，E增大，Ek增大B.r增大，E增大，E

14、k减小C.r减小，E增大，Ek减小D.r减小，E减小，Ek增大解析：v增大时，说明外界对其做正功，故它的机械能E增大，卫星将表现离心现象，轨道半径将增它的速度突然增大，则当它重新稳定下来做匀速圆周运动时，有（）B。大，万有引力做负功，动能减小，势能增大，故应选点评：卫星的运动分为稳定和不稳定运行，当其所受的万有引力不刚好提供向心力时，其速度和半径 就要发生变化，弓I力要做功，这为不稳定运行；而当所受的引力刚好提供向心力时，它运行的速度、轨道解析：由万有引力提供向心力得r3 ，. GMa =鑒。可见r越大,r半径确定不变而做匀速圆周运动，这种状态称为稳定运行。对于稳定运行，应从2GMm mv2入

15、手，应用rrV越小，越小，T越大，即转得越慢，因火卫二相对转得较慢，周期大，故线速度小、角速度小、向心 加速度小，所以选 A和C。点评：本题关键是从万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力入手，明确a、V、T与轨道半径r的关系，再由周期大小，判断该题的正确答案。（八）人造卫星中的环绕速度和发射速度的问题2 1丄GMm mv'GM由mg 2，得近地人造卫星的环绕速度 vgR = 7.9km/s。通常称为第一R R R匀速圆周运动知识分析；对于不稳定运行的卫星问题（变轨问题）应从做功、能量转化的角度去分析处理。 （十）同步卫星问题相对地面静止的卫星为地球同步卫星，又称通讯卫星。同步卫星的周期

16、为地球自转的周期，即3小时，其轨道一定在赤道平面内，高度h 一定，h 2V纲2同一轨道的不同位置上。宇宙速度，也是人造卫星的最小发射速度。GMm2 r，得不同高度处的人造卫星的环绕速度v =（如，其大小随半径的增大而减小。但:r是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在 地面上所需的发射速度就越大。（九）人造卫星的变轨问题'' GMT2-R- 3.6 104km。所以同步卫星都位于例11用m表示地球通讯卫星（同步卫星） 的质量，h表示它离地面的高度，Ro表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度， -'0表示地球自转

17、角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小为A.等于零B等于 mRg。(Ro h)2C. 等于 m3 Rig。：D.以上结果都不对6解析：通讯卫星所受万有引力的大小为GMm1、火星和地球都可视为球体， 火星的质量M火和地球质量M地之比M火/M地二p，火星半径R火和地球(R。h)2半径R地之比R火 / R= q，那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力加速度g地之比g火/ g地地球表面物体的重力可以认为等于万有引力，即mg0GM2m，故 goR0GMRo等于()2 2A.p / qB.pqC.p/ qD.pq由上两式解得mR2g0F亠J。显然B是正确的。（Ro h）2答案：A（点拨

18、：g = GM由*(Ro h)3 = mco2(R。+h)，即 R。+ h = lGMM可得F二黔*灯用0 '0，即C也正确。故本题正确的答案是BG点评：利用万有引力提供向心力和地球表面物体的重力约等于万有引力这两个基本思路，是解决天体 问题的关键。（十一）卫星中的超重和失重问题当卫星进入轨道前加速的过程中，卫星上的物体（包括卫星本身）处于超重状态，此情景与“升降机” 中物体的超重相同。当卫星进入轨道后正常运转时，卫星上的物体处于完全“失重”状态（因为重力刚好 提供向心力），因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能正常使用。例12某一物体在地球表面时，由弹簧测力计测得重160N,把此物体放在航天器中，若航天器以加速度a =9 （ g为地球表面的重力加速度）垂直地面上升，这时再用同一弹簧测力计测得物体的重力为90N,2忽略地球自转的影响，已知地球半径R,求此航天器距地面的高度。解析：物体在地球表面时，重力为 mg =160N根据万有引力定律，在地面附近有GMm mg 2R在距地面某一高度h时，由牛顿定