一级倒立摆的建模与控制分析

1、控制工程与仿真课程设计报告报告题目直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计组员1专业、班级14自动化1班姓名朱永远学号1405031009组员1专业、班级14自动化1班姓名王宪孺学号1405031011组员1专业、班级14自动化1班姓名孙金红学号1405031013报告评分标准评分项目权重评价内容评价结果项目得分内容70设计方案较合 理、正确，内容 较完整70-50 分设计方案基本合 理、正确，内容 基本完整50-30 分设计方案基本不 合理、正确，内 容不完整0-30 分语言组织15语言较流顺，标 点符号较正确10-15 分语言基本通顺， 标点符号基本正 确5-10 分语言不通顺，有 错别字，

2、标点符 号混乱5分以下格式15报告格式较正 确，排版较规范 美观10-15 分报告格式基本正 确，排版不规范5-10 分报告格式不正 确，排版混乱5分以下总分直线一级倒立摆的数学模型inFQ直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计状态空间模型的建立所示。图1.1直线一级倒立摆系统本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表FMX10PaFgeFhN图1.2是系统中小车的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂 直方向的分量。图1.2系统中小车的受力分析图图1.3是系统中摆杆的受力分析图。Fs是摆杆受到的水平方向的干扰力，F h是摆杆受 到的垂直方向的干扰力，合力是垂直

3、方向夹角为a的干扰力Fg。符号意义实际数值M小车质量L096kem摆杆质呈0.109kgf小车摩擦力0.1 N/in/sec1摆杆转动轴心到杆质心的氏度0.25mI摆杆愤量0.00223kg*m*m表丄直线一级倒立摆系统参数图1.3摆杆受力分析图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程:1 一1设摆杆受到与垂直方向夹角为a的干扰力Fg,可分解为水平方向、垂直方向的 干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力 FS、垂直干扰力Fh产生 的力矩。1-2对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：1-3d 2即:N - FS 二 m2 x l sin vdt22N = mx ml)c

4、os ： - mh sin v Ff sin 二 口 -4)对图1.3摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：d 2P mg Fh 二 m 2 l -l costdt21-5 -P mg FgCOS：二 ml)sin ： ml)cost1-6力矩平衡方程如下：Fgl sin ： cos ： Fgl cos sin) Pl sin ： Nl cos：- 0MX= F - "枝° N代入P和N,得到方程：1-82Fgls in: cob 2Fglcos s n I ml2cos2mgls in v-ml2，s in2 mXcos =0Fs 二 Fg sinFh 二 Fg

5、 cos设，二二，（ ©是摆杆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度），代入 上式。假设© <<1，则可进行近似处理：cos W書心0s2Fsin2 =由于：I = 1 ml23方程化为：42Fg si n、f ； cosmlg mg = mxg31一9令：Ff =Fg -si- 'cos，贝U 1-9 可化为：4 2Ff ml _ mg = mx31-10即是化简后的直线一级倒立摆系统微分方程。带入实际数据后，微分方程为：-.Ffv - 29.4二 3x-2m1-11当忽略了 Ff时，系统的微分方程如式（1-12）所示丁 - 29.4丁 3x1-12忽

6、略干扰力后，直线一级倒立摆系统是单输入二输出的四阶系统，考虑干扰力后，直线一级倒立摆系统是二输入二输出的四阶系统。其内部的4个状态量分别是小车的位移X、小车的速度x、摆杆的角度9、摆杆的角速度系统输出的观测量为小车的位移x、摆杆的角度9。其控制量为小车的加速度二将微分方程（1-12 ）化为关于加速度输入量和角度输出量的传递函数：二 s _3Rss2 - 29.41-131.2直线一级倒立摆系统的状态方程实验所使用的直线一级倒立摆系系统是加速度x作为系统的控制输入，所以根据式(1-12)建立系统的状态方程为：x = x-x41,3g4l整理后得到系统状态方程：x$10000003g4101103

7、g.41 一1x1y，00 x0,_01x11000y 二k? 0 0 01x+【01J0 0 1 0一*1x1-01001f0100001A =0001B =00029.40一1 13 一c000D，|l_0010|IO将实际参数代入得到一级倒立摆系统的状态空间方程为:xl 000卫运动分析、能控性及能观性分析2.1运动分析线性定常系统非齐次状态方程为:x(/) = Ax(O + Bu(Z)则其解为:系统的输出方程为:y(r) = Cx(r) + Du(f)y(0 = Ce“叫)x(g) + CeA(/_r)Bu(r)d t+ Du(/)运动分析可以借助计算机的 MATLAB进行。用MATL

8、AB仿真求线性非齐次状态方程的 解实例如例1所示。 01 1_0_X =x +-2-3：1已知系统状态方程为用以下MATLAB程序求系统方程的解。ilaplace()函数的作用是求取拉普拉斯逆变换，phi=subs(phiO,'x(0) =,u(t) = 1(/)其中,collect()函数的作用是合并同类项，而函数det()的作用是求方阵的行列式,语句t' ,(t-tao)表示将符号变量 phiO中的自变量t用(t-tao)代换就构成了符号变量 phi,而语 句x2=int(F,tao,0,t)表示符号变量 F对tao在0到t的积分区间上求积分，运算结果返回到x2。syms

9、s t xO x tao phi phiO:% 声明符号娈jftA-0 1 ;-2 -3 : I*l 0;0 10; B= 0; 1;E-s*I_A :， C=det CE ) ; D=collec t (i nv EE);phiO=il aplace GJ) ; x0= 1 ; 0 ; xl=pKi0*x0 :phiunb宫(phiO t Ct- tao): F=pKi*B*l ; x2=iixt (F# tao 0 t); x=collect(3e1+x2)程序执行结果为x -l/2*exp C-2*t J + exp (-1J+1/2-exp (t J + exp (2*1)这表示x(t

10、) =(X5 +-05e»-e_/ + e_2/2.2系统能控性分析系统的可控性可根据秩判据进行可控性判断。线性定常连续系统完全可控的充 分必要条件是：rank(B ABAnB)二n ,其中n为系统矩阵A的阶次,M =(B ABAnB)为系统的可控性矩阵。matlab程序及运行结果如下：>> A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;>> B=0;1;0;3;>> T=ctrb(A,B);>> ran k(T)ans =由于rank (Ic ) =4,可见该系统是完全可控的2.3系统能观测性分析系统的可控

11、性可根据秩判据进行可控性判断。线性定常连续系统完全可控的充 分必要条件是：-CCArank N =rank |=门或旧门k(CT ArCT (Ar)2C- (AT)n_1CT) = nCA：其中n为系数矩阵A的阶次。matlab程序及运行结果如下：>> A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;>> C=1 0 0 0;0 0 1 0;>> TO=obsv(A,C);ran k(T0)ans =由于rank ( T0)=4，故该系统是可观测的4三状态反馈与状态观测器设计3.1状态反馈原理设n维线性定常系统：x = Ax Bu,

12、 y = Cx其中x,u,y分别是n维、p维、q维向量；A B C分别是n*n维，n*p维，n*q维实数矩阵。状态反馈系统的控制量u取为状态x的线性函数：u = v _ Kx其中，v为p参考输入向量，K为p*n维实反馈增益矩阵。加入状态反馈后系统的结构图如图3.1所示：图3.1系统的全状态反馈结构图 则系统状态反馈的动态方程为：x= A - BK x Bv, y = Cx3.2状态反馈观测器和simulink仿真状态反馈的的实现是利用状态反馈使系统的闭环极点位于所希望的极点位置。 而状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。直线一级倒立摆系 统是可控的。设系统期望极点为；'

13、1'2'3'4-2-3 -4 3i -4-3i丨，则系统期望特征多项式为:a S = S 九1S 九2S 3 s -，4列写状态反馈系统的特征多项式:det SI - A BK令两个特征多项式各项系数对应相等，则可解出K阵。由matlab求出状态反馈矩阵K,编程如下：A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;>> B=0;1;0;3;>> K=acker(A,B,-2 -3 -4+3i -4-3i)K =-5.1020 -5.8844 35.1673 6.2948系统加入0.1m/s2的阶跃输入，在构成的状态反馈调

14、节器控制下，MATLA中进行 系统的阶跃响应仿真，编程如下：A=0 1000 0 0 00 0 0 10 0 29.4 0;B仁0103;C=1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1;D1=0 0 0 0'dt=0.005;ieof=801;for i=1:ieof;U(:,i)=0.1;T(i)=i*dt;end;%离散化op=-2% 期望极点-3-4+3i-4-3i;K=place(A,B1,op)AkO=(A-B1*K);Bk0=B1;CkO=C;DkO=D1;lqrop=eig(AkO);x=0 0 0 0'dt=0.005;% 离散时dA,dB=c2d

15、(Ak0,Bk0,dt);%经离散化得到离散状态方程Ak1=(A-B1*K);Bk1=B1;Ck1=C;Dk1=D1;sys=ss(Ak1,Bk1,Ck1,Dk1);Y,X=lsim(sys,U,T);plot(T,-Y),grid;lege nd('Cart','VCart','s in gle','Vs');图3.2极点配置为-2 -3 -4+3i -4-3i时的全状态反馈仿真图横轴时间单位秒，从图中可以看出，系统稳定。四总结通过对一级倒立摆的分析可知，在开环情况下，倒立摆的平衡系统是不稳定的 的；通过秩判据可知，其系统是可控

16、可观测的；以上都是利用MATLAB寸其进行分析 和设计，对其系统进行了稳定性、可控性、可观测性分析，以及极点配置和最优控 制设计，从中我们可以看出，MATLAB为一种交互式计算分析软件，其强大的运算 分析功能，集科学计算、程序设计和可视化于一体的高度集成化软件环境，为控制 系统的分析设计，特别是高阶系统综合设计，提供了一种方便可靠的途径。参考文献1李国勇，控制系统数字仿真与 CADM，北京：电子工业出版社，2003, 92王丹力，MATLAB控制系统设计仿真应用M，北京：中国电力出版社，2007,93薛定宇，控制系统仿真与计算机辅助设计M，北京：机械工业出版社，2005,14金以慧，过程控制M，北京：清华大学出版社，2003, 6 刘金琨.先进PID控制及其MATLAB仿真M.北京：电子工