《新学案》2015年春高中数学苏教版必修4名师导学教案：第三章 三角恒等变换(共8课时)

1、第3章三角恒等变换第1课时两角和与差的余弦 教学过程一、 问题情境1在实数运算中,有公式a(b+c)=ab+ac;在向量运算中,有公式a·(b+c)=a·b+a·c;在三角运算中,有公式cos(-)=cos-cos吗?如果没有,式子一定不成立吗?二、 数学建构问题1在直角坐标系xOy中,以Ox为始边分别作角, (0),其终边分别与单位圆交于P1, P2,则向量, 的夹角是多少?·的值是多少?2(图1)由图1可得向量, 的夹角是-,=(cos, sin), =(cos, sin).一方面,由向量数量积的定义,有·=|·|cos(-)=c

2、os(-).另一方面,由向量数量积的坐标表示,有·=coscos+sinsin.从而cos(-)=coscos+sinsin, 0.问题2如果, R,上述公式还成立吗?3当-0, 时, -就是, 的夹角,所以cos(-)=coscos+sinsin.对于任意的, ,总可选适当的整数k,使-2k-, ).记1=+2k,则1与的终边相同,且-1-, ),从而|-1|, |-1|就是, 的夹角.因此cos(|-1|)=cos(-1)=cos(-2k)=cos(-)=coscos+sinsin.综上,cos(-)=coscos+sinsin,这就是两角差的余弦公式,记为C(-).问题3cos

3、(-)的展开式是什么?它与cos(-)展开式相等吗?为什么?cos(-)=coscos+sinsin,它们展开式相等.因为余弦函数是偶函数,所以cos(-)=cos(-).问题4能利用两角差的余弦公式求cos(+)吗?4在两角差的余弦公式中,用-代替,就可以得到cos(+)=coscos-sinsin,这就是两角和的余弦公式,记为C(+).思考“用-代替”的换元方法体现在图形上有什么几何意义?能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗?用“-代替”的几何意义就是作出角关于x轴的对称图形.(一) 公式理解 1. 结构特征:左边是两角差的余弦,右边是同名积的和;左边是两角和的余弦,右边是同名积的

4、差. 2. 公式中的, 可以是任意的角(或式子). 3. 当, 中有一个是90°的整数倍时,用诱导公式比较简便.(二) 巩固概念问题5(教材第104页例1(1)请利用两角和(差)的余弦公式证明cos=sin.5cos=coscos+sinsin=sin.三、 数学运用【例1】(教材第105页例2)利用两角和(差)的余弦公式,求cos75°, cos15°, sin15°, tan15°.6(见学生用书P61)处理建议引导学生将75°, 15°转化为两个特殊角的和或差,正弦需转化为余弦.规范板书解(1) 方法1:cos75&#

5、176;=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=.方法2:cos75°=cos(120°-45°)=cos120°cos45°+sin120°sin45°=.(2) 方法1:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=.方法2:cos15°=cos(60°-45°)=cos60&#

6、176;cos45°+sin60°sin45°=.(3) sin15°=cos(90°-75°)=cos75°=.(4) tan15°=2-.题后反思(1)两角差(和)的余弦公式也适用于形式上不是差(和)角,但可以拆分成两角差(和)的情形;(2)角的拆分可能有多种形式,要根据题目选择适当的拆分.变式化简cos+cos.规范板书解原式=coscos-sinsin+coscos+sinsin=cos.【例2】不查表,求下列式子的值:(1) cos120°cos15°-sin120°sin1

7、5° (2) cos58°sin77°+sin122°sin13°.(见学生用书P62)处理建议本例是逆用两角和(差)的余弦公式求值,要引导学生构造公式中的结构.规范板书解(1)原式=cos(120°+15°)=cos135°=-.(2) 原式=cos58°cos13°+sin58°sin13°=cos(58°-13°)=.变式不查表,求cos215°-sin215°的值.规范板书解cos215°-sin215°=c

8、os(15°+15°)=.题后反思 只有式子结构与公式结构完全相同时才能逆用公式,否则需对式子进行变形.【例3】(教材第105页例3)已知sin=, , cos=-,求cos(+)的值.(见学生用书P62)处理建议由公式C(+)可知,欲求cos(+),应先计算cos,sin的值.cos, sin是通过sin2x+cos2x=1(x为任意角)来求解的,要注意“±”的选取.规范板书解因为, sin=,所以cos=-=-=-.又因为cos=-, ,所以sin=-=-=-,所以cos(+)=coscos-sinsin=-×-×=.题后反思思考:在例3中

9、,你能求出sin(+)的值吗?*【例4】若, 为锐角,且满足cos=, cos(+)=,求cos的值.处理建议先由学生自己分析解题思路,可能是“展开cos(+),与sin2+cos2=1联立,解方程组”.再引导学生观察发现, +, 三个角之间的关系为=(+)-,用两角差的余弦公式求解.最后由学生比较两种方法的简易度,让学生体会拆角方法的简捷和思路的合理性.规范板书解因为, 为锐角,所以0<<, 0<<, 0<+<.因为cos=, cos(+)=,所以sin=, sin(+)=,所以cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=×+

10、×=.题后反思 在“给式求值”问题中,要注意用已知角来表示所求角.如本题已知角为+和,所求角是,则=(+)-.变式已知cos(2-)=-, sin(-2)=,且<<, 0<<,求cos(+)的值.处理建议引导学生寻找已知角与所求角之间的关系,即(2-)-(-2)=+.由, 的取值范围,分别求出2-, -2的正弦值和余弦值,再利用公式即可求解.规范板书解 <<, 0<<, <2-<, -<-2<.由cos(2-)=-, sin(-2)=,得sin(2-)=, cos(-2)=, cos(+)=cos(2-)-(-2

11、)=cos(2-)·cos(-2)+sin(2-)·sin(-2)=×+×=.四、 课堂练习 1. 化简:cos(30°+)-cos(30°-)=-sin. 2. 化简:cos65°cos115°-cos25°sin115°=-1.提示原式=cos65°cos115°-sin65°sin115°=cos(65°+115°)=cos180°=-1. 3. 已知sin=, , cos=-,是第三象限角,则cos(-)=-.提示因为

12、, sin=,所以cos=-=-=-.又因为cos=-,是第三象限角,所以sin=-=-=-,所以cos(-)=coscos+sinsin=×+×=-. 4. 已知, cos=,则cos=.提示因为,所以-, 所以sin=-.因此,cos=cos=cos-sin=.五、 课堂小结 1. 运用向量数量积的定义及坐标运算公式推导两角差的余弦公式,在两角差的余弦公式上用赋值法得到两角和的余弦公式. 2. 两角和与差的余弦公式的结构特证. 3. 三角变换时,注意角与角的关系(用已知角表示所求角).第2课时两角和与差的正弦(1) 教学过程一、 问题情境1如何求sin15°的

13、值?二、 数学建构问题1上节课中,我们是如何求sin15°的值?我们是将sin15°变换成cos75°,再利用两角和的余弦公式来计算.而sin15°=sin(45°-30°),有没有两角和(差)的正弦公式?问题2能否用上述方法,将sin(+)转化成某个角的余弦?sin(+)=cos.问题3上述中涉及三个角和的余弦,如何展开才能使结果只含有, 的正弦和余弦?cos=cos=coscos+sinsin=sincos+cossin,即sin(+)=sincos+cossin,这就是两角和的正弦公式,记为S(+).问题4能得到两角差的正弦公式

14、吗?即sin(-)=.2 解法一在两角和的正弦公式中,用-代替,就可以得到sin(-)=sincos-cossin,这就是两角差的正弦公式,记为S(-).解法二sin(-)=cos-(-)=cos-+=cos-cos-sin-sin=sincos-cossin.问题5能用同角三角函数的关系,由C(±)推导出S(±)?这样做有什么困难?用同角三角函数的关系推导时,会遇到符号确定的困难.问题6sin(-)的展开式是什么?它与sin(-)的展开式相同吗?为什么?sin(-)=sincos-cossina,它与sin(-)的展开式互为相反数.因为正弦函数是奇函数,所以si

15、n(-)=-sin(-).公式理解 1. 结构特征:左边是两角和的正弦,右边是异名积的和;左边是两角差的余弦,右边是异名积的差. 2. 公式中的, 可以是任意的角(或式子). 3. 运用公式要注意角及函数的位置排列顺序. 4. 当, 中有一个是90°的整数倍时,用诱导公式比较简便.三、 数学运用【例1】已知sin=-, 是第四象限角,求sin的值.(见学生用书P63)处理建议由学生自己分析解题思路,教师引导学生注意cos的正负.规范板书解因为sin=-, 是第四象限角,所以cos=,所以sin-=sincos-cossin=×-×=.变式化简:sin+sin.规范

16、板书解原式=sincos-cossin+=2sincos=cos.【例2】已知, sin=,求sin的值.(见学生用书P64)处理建议先由学生自己分析解题思路,可能是“展开sin,与sin2+cos2=1联立,解方程组”.再引导学生观察分析, +之间的关系,根据两角差的正弦公式求解.规范板书解因为, 所以+, .又因为sin=,所以 cos+=,所以sin=sin+-=sin+cos-cos+sin=×-×=-.题后反思(1)三角变换中要注意角与角的关系,如=-, =+等等.(2)利用平方关系确定cos时,一定要注意+的范围.变式已知, sin=,求sin的值.规范板书解因

17、为, 所以+.又因为sin(+)=,所以 cos+=±.(1) 当cos=-时, cos<cos,所以+>,即>(舍去).(2) 当cos=时,sin=sin=sincos-cossin=×-×=-.【例3】(教材第108页例2)已知cos(+)=, cos=, , 均为锐角,求sin的值.(见学生用书P64)处理建议先由学生自己分析解题思路,可能是“展开cos(+),与sin2+cos2=1联立,解方程组”.再引导学生思考:在学习两角和差的余弦公式时,有类似的题目吗?是如何解决的?(将看成是+与的差,即=(+)-,再用两角差的正弦公式求解)规范

18、板书解因为, 均为锐角,所以+(0, ).又因为cos(+)=, cos=,所以sin(+)=, sin=,所以sin=sin=sin(+)cos-cos(+)sin=×-×=.题后反思 (1)在“给式求值”问题中,要注意用已知角来表示所求角.如本题已知角为+和,所求角是,则=(+)-.(2)在解三角函数问题时,常通过条件缩小角的范围,避免讨论.如将本题的范围改为(0, ),则如何求解呢?(由cos=, (0, ),得)变式已知<<, 0<<, cos=, sin=,试求sin(+)的值.处理建议引导学生思考:(1) 本题中的已知角是什么?所求角是什

19、么?两者间有什么关系?(已知角是+, -,所求角是+,两者间的关系是-=+(+)(2) 已知角的和是+(+),不是+,如何求sin(+)?(先求cos)规范板书解因为<<, 0<<,所以-, +.又因为cos=, sin=,所以sin=-, cos=-.所以cos=cos+-=cos+cos-+sin+sin-=-×+×-=-.又因为cos=-sin(+),所以sin(+)=.*【例4】cos33°cos12°-cos57°cos78°=. 处理建议引导学生从公式结构出发,构造与公式相同的结构,逆用公

20、式.规范板书解法一(用两角和的余弦公式)原式=cos33°cos12°-sin33°sin12°=cos(33°+12°)=.解法二(用两角差的正弦公式)原式=sin57°cos12°-cos57°sin12°=sin(57°-12°)=.题后反思逆用公式要注意公式的结构与条件结构是否相同.变式1(教材第109页例3)求函数y=sinx+cosx的最大值.处理建议引导学生思考:(1) 正弦函数、余弦函数分别在何时取最大值?(正弦函数当x=2k+,kZ时取最大值,余弦函数当x=

21、2k,kZ时取最大值)(2) 题中函数的最值是在x=2k+,kZ,或x=2k,kZ时取得吗?(3) 本题如何求最大值?规范板书解y=sinxcos+cosxsin=sin.当x+=2k+,kZ,即x=+2k,kZ时,函数y取得最大值1.题后反思本题还有其他解法吗?(y=sinxsin+cosxcos=cos.当x-=2k,kZ,即x=+2k,kZ时,函数y取得最大值1)变式2(教材第112页习题3.1(2)第5(3)题)求函数y=sinx+cosx的最大值.处理建议引导学生发现变式1与变式2之间的关系.规范板书解y=2sinx+cosx=2sinxsin+cosxcos=2cosx-.当x-=

22、2k,kZ,即x=+2k,kZ时,函数y取得最大值2.题后反思解题过程中提出的系数2与原系数1, 有何关系?(2=)四、 课堂练习 1. 计算:sin69°cos99°-cos69°sin99°=-. 2. 在ABC中, A=, cosB=,则sinC=.提示 A=, cosA=sinA=.又cosB=,B(0, ), sinB=, sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=. 3. 函数y=sinx-cosx的最小值是-2.提示y=2=2sinx-.当x-=2k-,kZ,即x=2k-,kZ时,函数y取得最小值-2. 4. 已知co

23、s=, cos(+)=,且, 都为锐角,求sin的值.解由已知条件可得sin=, sin(+)=,所以sin=sin=sin(+)cos-cos(+)sin=×-×=.五、 课堂小结 1. 运用两角和与差的余弦公式及三角函数的诱导公式来推导两角和与差的正弦公式. 2. 两角和与差的正弦公式的结构特征. 3. 三角变换时,注意角与角的关系(用已知角表示所求角).第3课时两角和与差的正弦(2) 教学过程一、 问题情境化简:sin+cos.二、 数学建构活动解决问题情境中的问题.解原式=sin2xcos-cos2xsin+cos2xcos-sin2xsin=sin2x-cos2x

24、+cos2x-sin2x=0.问题1在“两角和与差的余弦”这一课中,我们曾发现在求解三角函数问题时,如果能注意到角与角的关系,可以减少运算量,那么这道题中涉及哪些角,它们有什么关系?从局部看,本题涉及2x, , ,它们没有明显关系.从整体来看,本题涉及2x-, 2x+,它们的关系为-=.问题2能否根据上述回答想到其他解决思路?原式=sin2x-+cos+2x-=sin2x-sin2x-=0.总结在求解三角函数问题时,要注意角与角之间的关系.三、 数学运用【例1】求的值.(见学生用书P65)处理建议引导学生寻找题中角的关系,将50°看成60°-10°,从而减少非特殊

25、角的个数(消元的思想).规范板书解原式=.题后反思(1) 通过寻找角与角间的关系,减少非特殊角的个数,这是三角变换的重要思路之一.(2) 思考:为什么不将10°改写成60°50°?【例2】已知sin(2+)+2sin=0, cos(+)cos0,求证:tan=3tan(+).(见学生用书P65)处理建议引导学生观察条件中的角与结论中的角之间的关系.规范板书证明sin(2+)+2sin=sin+2sin=sin(+)cos+cos(+)sin+2sin(+)cos-cos(+)sin=3sin(+)cos-cos(+)sin=0.又因为cos(+)cos0,所以=,

26、即tan=3tan(+).【例3】(教材第110页例6)已知sin(+)=, sin(-)=-,求的值.(见学生用书P66)处理建议引导学生思考:(1) 条件是关于角的正弦,结论是关于角的正切,这种既含有正弦、余弦,又含有正切的问题,我们一般先做什么?(化切为弦,即求)(2) 要求,就要求sincos, cossin,条件中有吗?(只需将sin(+), sin(-)展开即可)规范板书解由已知条件得所以从而=×=.题后反思(1)三角变换要会“执果索因”,如本例及例1中将所求角表示成已知角.(2)本例的解法体现了方程思想.(3)思考:从本例的解题过程可以看出,只要知道sin(+), si

27、n(-)的值,就可以求出sincos, cossin.据此你能用+, -的正弦与余弦表示sincos, cossin, coscos, sinsin吗?【例4】化简:sin(+)cos-sin(2+)-sin.(见学生用书P66)处理建议引导学生观察2+, , +, 四个角之间的关系,即2+=(+)+, =(+)-,从而可将原三角函数式化为关于角+和的三角函数式,再做适当整合、化简.规范板书解原式=sin(+)cos-=sin(+)cos-·2cos(+)sin=sin(+)cos-cos(+)sin=sin=sin.题后反思(1)正确逆用两角和与差的正、余弦公式,是化简三角函数式的

28、基本途径.(2)化简三角函数式要从分析角的关系入手,即找题中角与角的关系,这是化简三角函数式的一个切入点.四、 课堂练习 1. 求的值.解原式=. 2. 证明:=tan(+).证明左边=tan(+)=右边.五、 课堂小结 1. 三角变换时,要注意角与角的关系,会“执果索因”. 2. 灵活运用两角和(差)公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明.第4课时两角和与差的正切(1) 教学过程一、 问题情境回顾“两角和与差的余弦”例1中求tan15°的过程,我们是先分别求出sin15°, cos15°,再由同角三角函数关系求出tan15°,那么能否由tan45&

29、#176;和tan30°直接求出tan15°呢?1二、 数学建构问题1对于一般的角, ,当, , +的正切值存在时,能由tan, tan直接表示tan(+)吗?tan(+)=.问题2上述公式对于任意角, 都成立吗?当, , +均不等于k+,kZ时,式子才成立,这就是两角和的正切公式,记为T(+).问题3如何由tan, tan直接表示tan(-)?解法一tan(-)=.解法二用-代换,就可以得到tan(-)=.公式理解 1. 结构特征:公式右边分子上的符号与左边的符号一致,而分母的符号与分子的符号相反;分子是两角正切值的和与差,分母含有两角正切值的积. 2. 公式中的, ,

30、+, -的正切值都存在时,公式才能成立.三、 数学运用【例1】(1) 已知tan=, tan=,则tan(+)=; (2) (根据教材第115页练习第1(1)题改编)已知tan=3,则tan=.(见学生用书P67) 答案(1) 1;(2) -.处理建议本题是公式的直接运用,可让学生自己求解.变式1已知, 均为锐角,且tan=, tan=,则+=. 处理建议引导学生思考:(1) 要求角的大小,先要求什么?(角的某个三角函数值和角的范围)(2) 本题中用哪个三角函数?为什么?(本题中用正切.一是因为题中涉及角的正切;二是因为+(0, ),且在此范围内一个正切值对应一个

31、角)规范板书解tan(+)=1.又因为, 均为锐角,所以+(0, ),所以+=.题后反思求角的大小,先求角的某一三角函数值和角的范围.变式2(教材第115页例3)如图,三个相同的正方形相接,求证:+=.(变式2)处理建议引导学生选择适当的三角函数求解.规范板书解法一由题可知tan=, tan=,所以tan(+)=1.又因为, 均为锐角,所以+(0, ),所以+=.解法二由题可知cos=, sin=, cos=, sin=,所以cos(+)=coscos-sinsin=×-×=.又因为, 均为锐角,所以+(0, ),所以+=.【例2】已知=4+,求tan的值.(见学生用书P6

32、8)处理建议先由学生自己分析解题思路,可能会有两种:一是由已知求出tan的值,然后由两角差的正切公式求出tan;二是由=tan直接得到答案.引导学生观察条件和结论之间的关系,学会用整体思想去分析问题.规范板书解法一由=4+,解出tan=-,所以tan=4+.解法二tan=4+.变式1求值:.规范板书解原式=tan(45°-15°)=.变式2求值:.规范板书解原式=tan(60°-15°)=1.【例3】已知tan与tan是方程x2-3x-3=0的两个根,求tan(+)的值.(见学生用书P68)处理建议本题可以先直接求出tan, tan,然后利用公式求tan

33、(+);也可以用韦达定理先求tan+tan, tantan,然后利用公式求tan(+).再让学生比较这两种方法的繁易程度.规范板书解法一因为方程x2-3x-3=0的两个根为,所以tan+tan=3, tantan=-3,所以tan(+)=.解法二由题可知=(-3)2-4×(-3)=12>0,所以tan+tan=3, tantan=-3,所以tan(+)=.变式已知tan与tan是方程x2-3x-3=0的两个根,求sin2(+)-3sin(+)cos(+)-3cos2(+)的值.规范板书解由题可知=(-3)2-4×(-3)=12>0,所以tan+tan=3, ta

34、ntan=-3,所以tan(+)=.故sin2(+)-3sin(+)cos(+)-3cos2(+)=-3.(例4)*【例4】如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角, ,它们的终边分别与单位圆相交于A, B两点,已知A, B的横坐标分别为, .(1) 求tan(+)的值;(2) 求+2的值.处理建议引导学生根据三角函数的定义,求出tan, tan,从而求出tan(+)和tan(+2),并通过+2的范围确定+2的大小.规范板书解由题意知cos=, cos=,又, 为锐角,sin=, sin=.因此tan=7, tan=.(1) tan(+)=-3.(2) tan(+2)=tan=

35、-1. , 为锐角, 0<+2<, +2=.(变式)变式如图, A, B是单位圆O上的点,且A点坐标为, B在第二象限, C是圆O与x轴正半轴的交点,AOB为正三角形,求tanBOC的值.规范板书解由题可知tanAOC=, tanBOC=tan(AOC+60°)=-.四、 课堂练习 1. 已知tan=-2, tan=5,则tan(-)=. 2. 计算:=-.提示原式=tan(45°+75°)=-. 3. 已知为锐角, cos=,则tan=-3.提示由cos=, 为锐角,得sin=,则tan=2,所以tan=-3. 4. 已知0<<, 0&l

36、t;<,且tan, tan是方程3x2+4x-1=0的两根,求+的值.解因为方程3x2+4x-1=0的两根为,所以tan+tan=-, tan·tan=-,则tan(+)=-1.又0<<, 0<<,所以+(0, ), 故+=.五、 课堂小结 1. 运用两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式. 2. 两角和与差的正切公式的结构特征和角的限制. 3. 求角的步骤:先求出某个三角函数值,再根据角的范围求解.第5课时两角和与差的正切(2) 教学过程一、 问题情境已知tan=2,则tan=. 二、 数学建构活动解决问题情境中的问题.解tan=

37、2,解得tan=.问题1本题条件中的角与结论中的角分别是什么?条件中的角是+,结论中的角是.问题2在即时体验2中,我们是如何求cos的?先用条件中的角表示结论中的角,即=-,再用两角差的余弦公式求解.问题3本题还有其他解法吗?tan=tan+-=.三、 数学运用【例1】已知tan=2, tan=3,求tan(+)的值.(见学生用书P69)处理建议先由学生自己分析解题思路,可能的思路有两个:一是由tan=2求出tan,由tan=3求出tan,然后再求tan(+);二是由-=+,先求出tan,而后再求tan(+).再引导学生比较两种方法的繁简程度.规范板书解 tan+=tan+-=, tan(+)

38、=tan=.题后反思在三角函数“给式求值”问题中,要注意已知角与所求角之间的关系.【例2】证明:tanx-tan=.(见学生用书P69)处理建议用问题:“本题中涉及几个角?它们有什么关系?”引导学生寻找角与角之间的关系.规范板书证明右边=tan-tan=左边.变式已知sin(2+)=5sin,求证:3tan=2tan(+).规范板书证明由题可知sin(+)+=5sin,则sin(+)cos+cos(+)sin=5,化简得4sin(+)cos=6cos(+)sin,两边同除以cos cos(+)得3tan=2tan(+).【例3】求tan23°+tan37°+tan23

39、76;tan37°的值.(见学生用书P70)处理建议引导学生由式中含有两角正切值的和与积,联想到两角和差的正切公式.规范板书解原式=tan(23°+37°)(1-tan23°tan37°)+tan23°tan37°=.题后反思 当题中出现两角正切值的和(差)与积时,要联想到两角和(差)的正切公式的变形:tan+tan=tan(+)(1-tantan), tan-tan=tan(-)(1+tantan).变式(教材第116页例4)在斜三角形ABC中,求证:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.处理建议引导学生

40、分析式子的结构,发现式子中含正切值的和与积.规范板书证明在斜三角形ABC中,有A+B+C=,即A+B=-C,且A, B, A+B,所以左边=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(-C)(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC=右边.题后反思一般地,当角A, B, C满足什么条件时,能使等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立?(一般地,当A+B+C=k, kZ时,此结论成立)【例4】(教材第116页例5)如图(1),两座建筑物AB, CD的高度分别为9m和15m,从建筑物 AB的顶部A看建筑物 CD的张角CAD=45°,

41、求建筑物AB与CD的底部之间的距离BD.(见学生用书P70)(例4(1)(例4(2)处理建议引导学生通过作 CD的垂线 AE,将中涉及到的量转移到两个直角三角形中.规范板书解如图(2),作AECD于E.因为ABCD, AB=9, CD=15,所以DE=9, EC=6.设AE=x, CAE=.因为CAD=45°,所以DAE=45°-.在RtAEC和RtAED中,有tan=,tan(45°-)=.因为tan(45°-)=,所以=,解得x=18, x=-3(舍去).答:建筑物 AB与 CD的底部之间的距离 BD为18m.四、 课堂练习 1. 已知tan(-)=

42、, tan=, 则tan=.提示tan+=tan(-)+=. 2. 计算:=.提示原式=.(第3题) 3. 如图,在矩形ABCD中,AB=a, BC=2a,在BC上取一点P,使得AB+BP=PD,求tanAPD的值.解由AB+BP=PD,得a+BP=,解得BP=a,故CP=a.设APB=, DPC=,则tan=, tan=,所以tan(+)=-18,所以tanAPD=tan(-)=-tan(+)=18.五、 课堂小结 1. 三角变换时,要注意角与角的关系,学会“执果索因”. 2. 当条件中出现两角正切值的和(差)时,会用两角和(差)的正切公式的变形解题.第6课时二倍角的三角函数(1) 教学过程

43、一、 问题情境问题我们已经知道函数y=sin2x与y=sinx的图象关系,也知道+的正弦、余弦和正切可用, 的正弦、余弦和正切来表示,那么角的三角函数和角2的三角函数之间有怎样的数量关系?1在S(+), C(+), T(+)公式中,令=,就可以得到结果:sin2=2sincos(S2);cos2=cos2-sin2(C2);tan2=(T2).二、 数学建构问题1二倍角公式中,角有限制吗?二倍角的正弦、余弦公式中的角是任意角,但二倍角的正切公式中,2+k, +k,kZ.问题2二倍角的余弦公式中,同时出现了sin2, cos2,能否只保留一个?能.cos2=2cos2-1, cos2=1-2si

44、n2.三、 数学运用【例1】(教材第119页例1)已知sin=, ,求sin2, cos2, tan2的值.2(见学生用书P71)处理建议引导学生先求出cos的值,然后正确运用二倍角公式计算.规范板书解因为sin=, ,所以cos=-.于是,sin2=2sincos=2××=-,cos2=1-2sin2=1-2×=-,tan2=×=.题后反思 (1)还有其他方法求tan2吗?(tan=-, tan2=)(2)已知sin,求cos2时,用公式cos2=1-2sin2可以避免讨论.若用sin22+cos22=1求解,则cos2=±.哪种是错误答案,

45、如何修正?(cos2=±是错的.因为sin=, ,所以, 2,所以cos2=-)(3)已知角的某个三角函数值及范围,可以缩小角的范围.变式(教材第120页练习第2题)已知sin=0.8, ,求sin2, cos2的值.规范板书解因为sin=0.8, ,所以cos=0.6, 所以sin2=2sincos=0.96, cos2=1-2sin2=-0.28.【例2】化简:(1) coscos;(2) cos4-sin4;(3) .(见学生用书P71)处理建议引导学生从公式的结构出发,构造与公式相同的结构,逆用公式.规范板书解(1)原式=cossin=sin=.(2) 原式=cos2-sin

46、2cos2+sin2=cos2-sin2=cos.(3) 原式=·=tan45°=.题后反思 (1)公式变形:sincos=sin2;(2)倍角公式中的倍角是相对的,如4是2的倍角,是的倍角等.变式(1) 计算:-=4;(2) (教材第122页练习第1(5)题)化简:-=tan2.规范板书解(1)原式=4.(2) 原式=tan2.【例3】(根据教材第120页例2改编)求证:= .(见学生用书P72)处理建议引导学生思考:(1) 式子左右两边有什么差异?(从角的差异来看,左边角是右边角的二倍;从名称的差异来看,题中涉及正弦、余弦和正切)(2) 三角变换时,从哪个差异入手比较简

47、单?(从角的差异入手)规范板书证明左边=tan2=右边. 原式得证.题后反思 (1)三角变换时,首先要找到角与角之间的关系,如倍角关系、 =(+)-等.(2)当题中出现1+cos, 1-cos时,要想到用倍角公式消1.变式若270°<<360°,则=-cos.处理建议引导学生对结构“1+cos2”进行变形,同时要注意开方后“±”的选取.规范板书解因为270°<<360°,所以135°<<180°, cos>0, cos<0.原式=-cos.四、 课堂练习 1. 计算:(1) (

48、sin15°+cos15°)2=.(2) sin22°30'cos22°30'=.(3) -=.(4) sin2-cos2=-. 2. 求证:=tan(+x).证明=tan.五、 课堂小结 1. 运用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角公式. 2. 注意二倍角正切公式中角的限制. 3. 三角变换技巧:变名;变角;变结构.第7课时二倍角的三角函数(2) 教学过程一、 数学运用【例1】已知sin+cos=,求sin·cos, sin2, cos2, sin, cos的值.(见学生用书P73)处理建议先由学生自己分析解题思路,可能

49、是“联立方程sin+cos=与sin2+cos2=1求解”.再引导学生思考:(1)能否不通过sin, cos,直接求出sin cos,sin2, cos2?(2) 结论中的sin cos在条件中并没有出现,如何才能出现?(只需将sin+cos=平方即可)规范板书解法一由sin+cos=,得sin=-cos,将其代入恒等式sin2+cos2=1,得+cos2=1,化简得50cos2-10cos-24=0,解得cos=-或cos=.又因为,所以cos=-,则sin=-cos=,于是sin·cos=-, sin2=-, cos2=1-2sin2=1-2×=-.综上所述, sin&

50、#183;cos=-, sin2=-, cos2=-, sin=, cos=-.解法二由题意知(sin+cos)2=1+2sincos=,所以sincos=-, sin2=-.又因为,所以2, 故cos2=-.(cos-sin)2=1-2sincos=,又因为,所以cos-sin=-,与sin+cos=联立,解得sin=, cos=-.综上所述, sin·cos=-, sin2=-, cos2=-, sin=, cos=-.题后反思(1)三角变换时要会“执果索因”,即用已知条件构造结果中的结构.(2)sin+cos, sin·cos, sin-cos三者之间可以互相转化.变

51、式将例1中 “”改为“(0, )”.处理建议在解题过程中,引导学生根据结果适当缩小角的范围.规范板书解法一 由sin+cos=,得sin=-cos,将其代入恒等式sin2+cos2=1,得+cos2=1,化简得50cos2-10cos-24=0,解得cos=-或cos=,代入sin=-cos,所以或又因为(0, ),所以以下同例1的解法一.解法二由题可知(sin+cos)2=1+2sincos=,所以sincos=-, sin2=-.又因为(0, ),所以.又因为sin+cos=>0,所以,即2, 故cos2=-.以下同例1题的解法二.题后反思 三角函数问题常需根据条件缩小角的范围,以避

52、免讨论.【例2】已知sin=,0<<,求cos2, cos的值.(见学生用书P73)处理建议引导学生寻找条件中的角与结论中角的关系.关系有两种:一是将条件中的-转化成求解;二是条件中角的两倍与结论中的2的和是,即2+2=.规范板书解法一因为0<<,所以-.又因为sin=,所以cos=,所以sin=sin-=cos-sin-=, cos=.于是,cos2=1-2sin2=, cos=(cos-sin)=.解法二因为0<<,所以-.又因为sin=,所以cos-=,所以sin-2=2sin-cos-=2××=,即cos2=,cos+=cos-=

53、sin-=.题后反思三角变换时,要注意题中角与角的关系:如是否可以用一(两)个角表示其他角;±, ±2是否特殊角等.变式设sin=,则sin2=-.处理建议引导学生思考:题中的角+与结论中的角2之间有什么关系?2+-2=规范板书解cos=cos2+=1-2sin2+=,所以sin2=-cos=-.【例3】(教材第121页例3)化简:sin2-+sin2+-sin2.(见学生用书P74)处理建议引导学生分析式中角的关系与结构特征.规范板书解法一原式=+-sin2=sin2+cos2-sin2=.解法二由倍角公式cos2=1-2sin2,得sin2=,于是,原式=+-=-=-=

54、.题后反思(1)二倍角余弦公式的变形(降幂公式):sin2=, cos2=.(2) 三角变换也可从“变结构”入手,常见的结构有1+cos, 1-cos等.变式求证:cos8-sin8=cos2(1-sin22).处理建议引导学生思考:(1)式子的左右两边有什么差异?(结构上的差异:三角函数的次方不同;角上的差异:角与角2有倍角关系)(2)本题从什么差异入手比较简单?(从结构入手,将左边的次数降低)规范板书证明左边=(cos4-sin4)(cos4+sin4)=(cos2-sin2)(cos2+sin2)(cos4+sin4)=cos2·(cos2+sin2)2-2sin2cos2=cos2·