(完整版)初一数学上册总复习讲义

1、i 初一总复习 、有理数 1.代数式： 用运算符号+ - X +连接数及字母的式子称为代数式（单独一 个数或一个字母也是代数式） 2. 几个重要的代数式：（m n 表示整数） （1） a 与 b 的平方差是：a 2-b2 ; a 与 b 差的平方是：（a-b） 2 ; （2） 若 a、b、c 是正整数，则两位整数是：10a+b，则三位整数是：100a+10b+c （3） 若 m n 是整数，则被 5 除商 m 余 n 的数是：5m+n _ ;偶数是：2n ，奇 数是：2n+1;三个连续整数是： n-1、n、n+1 ； 一、有理数 1. 有理数： （1）凡能写成q（P,q为整数且P 0）形式的数

2、，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数； P 正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0 即不是正数，也不是 负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； 不是有理数； （2） 有理数的分类： 正有理数 有理数零 正整数 正分数 有理数 正整数 整数零 负整数 负有理数 负整数 负分数 分数 正分数 负分数 (3) 注意：有理数中，1、0、-1 是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数 把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； -2 - (4) 自然数 0 和正整数；a0 a 是正数；av0 a 是负数； a0 a 是正数或 0 a 是非负数；a0;注意：|

3、a| |b|=|a b|, 县卫. b 5. 有理数比大小：(1)正数的绝对值越大，这个数越大；(2)正数永远比 0 大， 3 - 负数永远比 0 小；(3)正数大于一切负数；(4)两个负数比大小，绝对值大 的反而小；(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；(6)大数-小 数 0 ,小数-大数V 0. 6. 互为倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；注意：0 没有倒数；若 a 工 0,那么a 的倒数是-;倒数是本身的数是土 1;若 ab=1 a、b 互为倒数；若 ab=-1 a、 a b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： (1) 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； (2) 异

4、号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对 值； (3) 一个数与 0 相加，仍得这个数. &有理数加法的运算律： (1)加法的交换律:a+b=b+a ； (2)加法的结合律:(a+b) +c=a+(b+c). 9.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即 a-b=a+ (-b). 10 有理数乘法法则： (1) 两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； (2) 任何数同零相乘都得零； (3) 几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由 负因式的个数决定. -4 - 11 有理数乘法的运算律： (1) 交换律：ab=ba;(

5、2)结合律：(ab) c=a(bc);(3)分配律：a(b+c) =ab+ac. 12. 有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数， 即a无意义 0 13. 有理数乘方的法则： (1) 正数的任何次幕都是正数； (2) 负数的奇次幕是负数；负数的偶次幕是正数；注意：当 n 为正奇数时： (-a) n=-an 或(a -b) n=-(b-a) n ,当 n 为正偶数时：(-a) n =an 或 (a-b) n=(b-a) n . 14. 乘方的定义： (1) 求相同因式积的运算，叫做乘方； (2) 乘方中，相同的因式叫做底数， 相同因式的个数叫做指数， 乘方的结果叫 做

6、幕； (3) a2是重要的非负数，即 a20;若 a2+|b|=0 a=0,b=0 ； 15. 科学记数法：把一个大于 10 的数记成 ax 10n的形式，其中 a 是整数数位只 有一位的数，这种记数法叫科学记数法. 5 - 16. 近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确 到那一位. 17. 有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都 叫这个近似数的有效数字. 18. 混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准 确，是数学计算的最重要的原则. 19. 特殊值法：用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的方法，但

7、 不能用于证明. 【典型例题解析 11： 1、若abfO,则回 回 画 的值等于多少？ a b ab 2 .如果m是大于 1 的有理数，那么m定小于它的() A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、 已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，X的绝对值是 2，求 _ Il II a 0 b X2 (a b cd)x (a b)2006 ( cd )2007 的值。 4、 如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那么|a b| |a b|化 简的结果等于( A. 2a B. 2a C.0 D. 2b -6 - 5、 已知(a 3)2 |b 2| 0 ,求ab的值是( ) A.

8、2 B.3 C.9 D.6 6、 有 3 个有理数 a,b,c，两两不等，那么电空,丄_2,匚 中有几个负数？ b c c a a b 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为 1, a b,a的形式式，又可表示为 0, b，b 的形式，求 a2006 b2007。 a 8 三个有理数a,b,c的积为负数，和为正数，且X a b c |ab| |bc| |ac| 则 |a| |b| |c| ab bc ac 3 ax bx2 cx 1的值是多少？ 9、 9、 若 a,b,c为整数，且 |a b|2007 |c a|2007 1 ,试求 |c a| |a b| |b c|的值。 【典型例题解析

9、21： 1、 (1)若 2 a 0 ,化简 |a 2| |a 2| (2)若 xpO ,化简 |x| 2x| |x 3| |x| 2、设 a p 0，且 x ，试化简 |x 1| | x 2| |a|7 - 3、a、b是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件? (1)|a b| |a| |b|; (2)|ab| |a|b|; (3) |a b| |b a|; ( 4)若 |a| b 则 a b 3、 若|x 5| |x 2| 7，求x的取值范围。 4、 不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为 A、B、C ,如果 | a b| |b c| |a c|，那么B 点在 A、C 的什么位

10、置？ 5、 设 apbpcpd，求 |x a| |x b | |x c| |x d | 的最小值。 6、 abcde 是一个五位数，apbpcpdpe，求 | a b | |b c | | c d | | d e | 的最大值。 7、 设玄勺忌厶丄，a2oo6都是有理数，令M佝 a2 a3 L a2005) 9. (a2 a3 a4 L a2006) , N (ai a2 a3 L a2006 ) (a2 a3 a4 L a2005 ),试比较 M* N 的大 小。 2 2006 10 如果(a 1)2 |b 2| 0 ,求代数式C a)也霜厂的值。 2ab (a b) 11 若a、b互为相反

11、数，c、d互为倒数，m的绝对值为 2,求a2 b2丄(1 2m m2) cd(5)若 |a |p| b|，贝 a p b (6)若af b，则 |a|f |b| -8 - 的值 【备用练习题 3】: 1 已知ab 1，比较 M N 的大小 2、已知x2 x 1 0，求x3 2x 1的值 3、已知亠丄丄K，求 K 的值 y z x z x y 4、a 355,b 444,c 533，比较 a,b,c 的大小 5、已知 2a2 3a 5 0,求 4a4 12a3 9a2 10 的值 综合练习（一） 9 - 1、若 7 5，求 x y 2x 2y 竺旦的值 3x 3y -10 - 2、已知|x y

12、9|与(2x y 3)2互为相反数，求yx 3、已知|x 2| x 2 0，求x的范围。 4、判断代数式区凶I的正负 x 5、若型空 i，求回凹凹的值。 abcd a b c d 6 2 11 1 、若|ab 2| (b 1) 0，求 L ab (a 1)(b 1) (a 2)(b 2) (a 7、已知 2p xp3，化简 |x 2| |x 3| &已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值等于 1 2007)( b 2007) 2，P 是数轴上的表示原 11 点的数，求P1000 cd乞上m2的值。 abed 9、问中应填入什么数时，才能使|2006 W 2006 | 2006

13、 10、a,b,e在数轴上的位置如图所示， , _ . _ , h a o c i x 化 简 ： |a b| |b 1| |a e| |1 e| |2b 3| 11、若 a f 0,b p 0，求使 |x a | |x b| |a 2 4 8 16 (2 1)(2 1)(2 1)(2 1)(2 1) 32 2 1 9 9 14、已知P 999,q It，求p、q的大小关系13、已知a 2004 2004 2004 , ，b 2003 2003 2003 2005 2005 2005 ，e 2004 2004 2004 2006 2006 2006 2005 2005 2005 求 abe o

14、 b|成立的x的取值范围 12、计算: 12 15、有理数a,b,c均不为 0，且a b c 0。设x |旦 上J_ |，求代数式 b c c a a b x19 99x 2008 的值。13 整式的加减 1 单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算， 但除式中不含字母的一类代数式叫单项式. 2. 单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数， 简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的 次数. 3. 多项式：几个单项式的和叫多项式. 4. 多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个 单项式叫多项式

15、的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意： （若 a、b、c、p、q 是常数）ax2+bx+c 和 x2+px+q 是常见的两个二次三项式.5. 整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫 整丰富的问题情景 项 多项式 去括号、添括号法则 同类项 合并同类项 整式 列代数式 整式加2 代数式(2x2 ax 1 y 5) (lx 2y 1 bx2)的值与字母x的取值无关，求2a 5b的值 14 式. 单项式 整式分类为：整式 多项式 6. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 7. 合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.

16、&去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“ +”号，括号里的各项 都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 9. 整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项 合并. 10. 多项式的升幕和降幕排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大 （或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幕排列（或降幕排列）.注意：多 项式计算的最后结果一般应该进行升幕（或降幕）排列. 典型例题 1 1 化简求值：5abc 2a2b 3abc 2（4ab2 a2b） 其中 a, b,c满足 a 1 |b 2 c2 015 - 3 已知 a3 b3 27,a2b

17、ab2 6，求代数式(b3 a3) (a2b 3ab2) 2(b3 a2b)的值 4 当x 1时，代数式2ax3 3bx 8的值为 18,求代数式9b 6a 2的值 5 已知x 2, y 4时，代数式ax3 fby 5 1997，求当x 4, y 1时，代数式 3ax 24by3 4986 的值 6 已知 a2 a 1 0，求 a3 2a2 2007 的值. 7 已知亘上5，求代数式迪卫疽卫的值 a b a b 2a b2 代数式(2x2 ax 1 y 5) (lx 2y 1 bx2)的值与字母x的取值无关，求2a 5b的值 16 8 当50 (2a 3b)2达到最大值时，求1 4a2 9b2

18、的值 典型例题 2 【例 n 若代数式曲步-弘+“D昭字母 x 綁值横求代敎式-严 2 护_八对的值亠 【例 3】已知两个观 4 和趴 4 榔押+产If ?严 + F+加亠试判 断是否存在整如 A-S是五伙次项式？卜已知燃/是自然+扩计说迄项式, 17 - 【例 4】已知叩,2 为自然飙且 XV”当 1+ = 1999,2-2 = 2000求 x 卄+询所有值中默 曲一个是多伽 【例 61 如果代数式姑+bx +CX-J当x= -2时的值沟了严 那么当-v = 2时该式的值是 _ “ 【例7】（第15届“迎舂杯 7 如果不论x取什么敌，代数式竺三的值 处+ 5 【例寸设 一 =1， f -他+

19、 1 A.l E -J m + 3 则吕評是 I. 个定偽求代数式三上爲的值屮 a -i 18 - 【例刃当冗-（加+%尸达到最大值时，求1 + 4?一9护的直19 - 【例g】若気恥互异，且亠=丄=丄，求开+的值 a-b b-c c-a 【例:10】己知肿+用-1=0,求 + 2+2005的值。20 三、 一元一次方程 1等式的性质： 等式性质 1 ： 等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果 仍是等式； 等式性质 2： 等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是 等式. 2方程 ：含未知数的等式，叫方程 . 3方程的解： 使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；

20、 注意：“方程的解 就能代入”！ 4一元一次方程： 只含有一个未知数， 且未知数的次数是 1，并且含未知数项的 系数不是零的整式方程是一元一次方程 . 7. 元一次方程的标准形式：ax+b=O （x 是未知数，a、b 是已知数，且 az0）. 8. 元一次方程的最简形式：ax=b （x 是未知数，a、b 是已知数，且 az 0）. 9. 一元一次方程一般步骤： 整理方程。去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为 1（检 验方程的解） . 10 .列方程解应用题的常用公式： 周长、面积、体积问题： C圆=2 n R, S圆=n R, C长方形=2(a+b), S长方形=ab，C正方形 =4a,

21、 S正方形=a2, S环形=n (R2-r 2),V 长方体=abc , V正方体=a , V圆柱=n , V Rh. 3 -21 - (2) 柱体的体积等于底面积乘以高，当体积不变时，底面越大，高度就越低. 所以等积变化的相等关系一般为：变形前的体积=变形后的体积. (3) 打折销售这类题型的等量关系是：利润二售价-成本. (4) 行程问题中关建的等量关系：路程=速度X时间，以及由此导出的其化 关系. (5) 在一些复杂问题中，可以借助表格分析复杂问题中的数量关系，找出若 干个较直接的等量关系，借此列出方程，列表可帮助我们分析各量之间的相互关 系. (6) 在行程问题中，可将题目中的数字语言

22、用“线段图”表达出来，分析问 题中的数量关系，从而找出等量关系，列出方程. (7) 关于储蓄中的一些概念： 本金：顾客存入银行的钱；利息：银行给顾客的酬金；本息：本金与利息的 和；期数：存入的时间；利率：每个期数内利息与本金的比；利息 二本金X利率 X期数；本息二本金+利息. 典型例题解析 1： 1、解下列方程：(1) 3 3 1 (2) - - - 1 2 x 2 ； 3 6 2 3 4-22 - 2、能否从(a 2)x b 3 ；得到x 口，为什么？反之，能否从 x X 得到 a 2 a 2 (a 2)x b 3，为什么？ 3、 若关于x的方程込卫2 S，无论 K 为何值时，它的解总是x

23、1，求m、 3 6 n的值。 4、 若 (3x 1) a5x a4x L ax a o 求 a5 a4 a3 a? a 的值。 5、 已知x 1是方程3x丄的解，求代数式(m2 7m 9)2007的值。 2 2 6、 关于x的方程(2 k 1)x 6的解是正整数，求整数 K 的值。 7、 若方程2x 7 3x 4 6x与方程2mx 3x 5 2 同解，求m的值。 5 4 6(3) 0.7 0.3x 0.2 1.5 5x 0.2 0.5 &关于X的一兀一次方程(m2 1)x2 (m 1)x 8 0求代数式200(m x)(x 2m) m的值。 23 9、解方程汁土尢L菱而2006 10、

24、已知方程2(x 1) 3(x 1)的解为a 2，求方程22(x 3) 3(x a) 3a的解。 11、当a满足什么条件时，关于x的方程|x 2| |x 5| a，有一解；有无数解; 无解。 典型例题解析 2 1、 要配制浓度为 20%的硫酸溶液 100 千克，今有 98%的浓硫酸和 10%的硫酸， 问这两种硫酸分别应各取多少千克？ 2、 一项工程由师傅来做需 8 天完成，由徒弟做需 16 天完成，现由师徒同时做了 4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？ 3、 某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个 0.24 元购进一批鸡蛋，但在贩运 途中不慎碰坏了 12 个，

25、剩下的蛋以每个 0.28 元售出，结果仍获利 11.2 元，问该 商贩当初买进多少个鸡蛋？ 4、 某商店将彩电按原价提高 40%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”结果 每台彩电仍可获利 270 元，那么每台彩电原价是多少? -24 5、一个三位数，十位上的数比个位上的数大 4 个位上的数比百位上的数小 2, 若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为 7:4,求原来的三位 数？ 6、初一年级三个班，完成甲、乙两项任务，（一）班有 45 人，（二）班有 50 人, （三）班有 43 人，现因任务的需要，需将（三）班人数分配至（一）、（二）两 个班，且使得分配后（二）班的总人数是（一）

26、班的总人数的 2 倍少 36 人，问: 应将（三）班各分配多少名学生到（一）、（二）两班？ 7、一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的1后，用水加满，第二次倒出它的 3 1后用水加满，这时容器中的酒精浓度为 25%，求原来酒精溶液的浓度。 2 8 某中学组织初一同学春游，如果租用 45 座的客车，则有 15 个人没有座位; 如果租用同数量的 60 座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用 45 座的客车日租金为每辆车 250 元，60 座的客车日租金为每辆 300 元，问租用 哪种客车更合算？租几辆车？ 9、1994 年底，张先生的年龄是其祖母的一半，他们出生的年之和是 3838,问

27、 到2006 年底张先生多大？25 - 10、有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用 24 部 A 型抽水机， 6 天可抽干池水，若用 21 部 A 型抽水机 13 天也可抽干池水，设每部抽水机单位时 间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部 A 型抽水机抽 水？ 11、狗跑 5 步的时间，马能跑 6 步，马跑 4 步的距离，狗要跑 7 步，现在狗已跑 出 55 米，马开始追它，问狗再跑多远马可以追到它？ 12、一名落水小孩抱着木头在河中漂流， 在 A 处遇到逆水而上的快艇和轮船， 因 雾大而未被发现， 1 小时快艇和轮船获悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船从 获悉到追及小孩各需多少时间？- 26 四、图形初步认识总复习 （一）多姿多彩的图形 立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球、台体等 1、几何图形 平面图形：三角形、四边形、圆等 . 主（正）视图 - 从正面看 2、几何体的三视图 侧（左、右）视图 - 从左（右）边看 俯视图 -