高数D一元函数积分学二学习教案

1、会计学1高数高数D一元函数积分学二一元函数积分学二第一页，编辑于星期三：七点 十八分。令已知机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、历年试题解析五、历年试题解析且 f (1) = 0 ,则 f (x) = _.解解:则代入由 f (1) = 0 ,得c = 0 .故应填注释注释:的理解和不定积分.解决此类问题的方法是先作变量代换求出本题考查对于导函数然后积分就可求得例例1.(04.4分)题型题型(一一) 不定积分计算不定积分计算(3-38)第1页/共62页第二页，编辑于星期三：七点 十八分。解解:F(x)是f (x)的原函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 f (x) 是连续函数,则(

2、 ).则 由于f (x)的原函数F (x) 可表示为:故 (A)正确选项.(A) 当f (x)是奇函数时, F (x) 必是偶函数.(B) 当f (x)是偶函数时, F (x) 必是奇函数.(C) 当f (x)是周期函数时, F (x) 必是周期函数.(D) 当f (x)是单调增函数时, F (x) 必是单调增函数.A注释注释: 本题考查原函数的概念及变上限函数的表示法.通过举例即知选项(C)与(D)均不正确. 对于选项(A) ,(3-29)第2页/共62页第三页，编辑于星期三：七点 十八分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法1: 被积函数是两类函数相乘, 应使用分部积分法. 原式=

3、 计算 原式=又(3-15)第3页/共62页第四页，编辑于星期三：七点 十八分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2:则令本题考查不定积分的换元积分法与分部积分法.注释注释:第4页/共62页第五页，编辑于星期三：七点 十八分。解法解法1:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. (01.6分) 求(3-33）第5页/共62页第六页，编辑于星期三：七点 十八分。解法解法2:,xet令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释注释:本题考查不定积分的分部积分法和换元积分法.第6页/共62页第七页，编辑于星期三：七点 十八分。求原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法1: (

4、3-18)第7页/共62页第八页，编辑于星期三：七点 十八分。由半角公式得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共62页第九页，编辑于星期三：七点 十八分。用万能代换,令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 sin22sindxxx注释注释:本题考查三角函数有理式的不定积分.第9页/共62页第十页，编辑于星期三：七点 十八分。 设 f (x) 连续,则 f (x)=_.机动 目录 上页 下页 返回 结束 题型题型(二二) 定积分积分计算定积分积分计算例例1. (89.3分) 且 10( ),f t dta解解:令则 f (x) = x + 2a .代入得由此得则 f (x) = x 1

5、.应填 x 1 . x 1 注释注释:本题考查定积分的计算.本题关键是搞清是个常数,只要定出这个常数, f (x) 就可求得.(3-6)第10页/共62页第十一页，编辑于星期三：七点 十八分。求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式=注释注释:本题考查定积分的分部积分法.(3-9)第11页/共62页第十二页，编辑于星期三：七点 十八分。设 解解:求机动 目录 上页 下页 返回 结束 令则原式=且 x = 1时, t = 1, 注释注释: 本题考查定积分的换元积分法. x = 3时, t = 1.(3-11)第12页/共62页第十三页，编辑于星期三：七点 十八分。原式=解解:由于所以机动

6、 目录 上页 下页 返回 结束 求由夹逼原理可知,而(3-26)第13页/共62页第十四页，编辑于星期三：七点 十八分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法1:解法解法2:由定积分的几何意义知,1202xx dx注释注释:定积分表示圆所围成面积的此圆半径为1,其面积为故本题考查定积分的换元积分法.解法2利用定积分应填体现了填空题的解题技巧,应注意掌握.几何意义求解,(3-31)第14页/共62页第十五页，编辑于星期三：七点 十八分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释注释:应填解解:本题考查定积分的分部积分法.(3-42)第15页/共62页第十六页，编辑于星期三：七点 十八分。注释

7、注释:解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 本题考查广义积分的计算.应填 1.(3-34)第16页/共62页第十七页，编辑于星期三：七点 十八分。曲线C的方程为y = f (x) ,如图,点(3,2)是它的一个拐点,机动 目录 上页 下页 返回 结束 直线分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线, 其交点为(2,4),设函数 f (x) 具有三阶连续导数,计算定积分xyo112233442l1l( )yf xc解解:由点(3,2)是曲线y = f (x)的拐点知,12ll与由直线分别是曲线 y = f (x) 在点(0,0)与(3,2)处的切线知,(3-41)第17页/共62页第

8、十八页，编辑于星期三：七点 十八分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释注释:本题是综合题.解题的关键是从图上得到上述条件.xyo112233442l1l( )yf xc第18页/共62页第十九页，编辑于星期三：七点 十八分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1.(87.8分)求正的常数a 与b , 使等式成立.解解: :由洛必达法则知:原式=所以b = 1.原式=注释注释: :本题考查带有变上限积分的未定式极限,求这但要注意洛必达法则类极限一般都是用洛必达法则,与等价无穷小代换的结合,以简化运算.(3-2)第19页/共62页第二十页，编辑于星期三：七点 十八分。机动 目录 上页

9、 下页 返回 结束 设f (x)为已知连续函数,其中s 0, t 0 ,则I 的值 ( ) .(A)依赖于s 和 t ;(B)依赖于s , t , x ;(C)依赖于t 和x ,不依赖于s ;(D)依赖于s , 不依赖于t .解解:可见 I 的值只与s有关 , 故选项(D)正确.D注释注释:本题表面上看是变上限积分,实际上只需作变量代换并利用定积分的概念即可得到结果.(3-3)第20页/共62页第二十一页，编辑于星期三：七点 十八分。且f (7)=_.机动 目录 上页 下页 返回 结束 等式令x = 2 , 得解解: :设f (x) 是连续函数,两边对 x 求导数得:应填注释注释: :本题考查

10、变上限积分求导.则而令 x = 2 是解题的关键 .(3-4)第21页/共62页第二十二页，编辑于星期三：七点 十八分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 且则解解:设 f (x) 是连续函数,例例4 . (90.3分)由知故选项(A)正确.A注释注释: :本题考查变上限积分求导.用直接法解此题.(3-8)第22页/共62页第二十三页，编辑于星期三：七点 十八分。令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 (93.3分)解解:解得则F (x)单调减少区间为注释注释:本题考查变上限积分求导和函数单调性的判定.的单调减少区间为_.函数(3-12)第23页/共62页第二十四页，编辑于星期三：七点

11、十八分。解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 设则当x0 时,因为因此应选(B).(A) 等价无穷小;(B) 同阶但非等价无穷小;(C) 高阶无穷小;(D) 低阶无穷小.B注释注释:本题考查变上限积分的求导及无穷小的比较. f (x) 是 g (x)的( ).故当x0时, f (x)是g (x)的同阶但非等价的无穷小.(3-13)第24页/共62页第二十五页，编辑于星期三：七点 十八分。第二节 目录 上页 下页 返回 结束 设在求注释注释:的值.解解:本题考查变上限积分求导和参数方程求导数.(3-17)第25页/共62页第二十六页，编辑于星期三：七点 十八分。由于注释注释:本题考查变上限积

12、分求导.机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以 应填注意注意:解解:在变上限积分中, t 是积分变量,x 是参变量, 一经取定不再变化,故可提到积分号的外面.此外, 由于积分是“积不出来”的,所以积分不必计算!(3-19)第26页/共62页第二十七页，编辑于星期三：七点 十八分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: f (0) = 0 ,且当x0 时,设 f (x) 有连续导数,无穷小,是同阶则 k 等于( ). (A) 1 ;(B) 2 ;(C) 3 ;(D) 4 .约去x分子分母 C(3-20)第27页/共62页第二十八页，编辑于星期三：七点 十八分。机动 目录 上页 下页 返回

13、结束 分子 而分式极限存在且为非零常数, 则k = 3 .故应选(C). 本题考查变上限积分求导,注释注释:洛必达法则及无穷小阶的比较.第28页/共62页第二十九页，编辑于星期三：七点 十八分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. (97.3分)则F (x) ( ) .设本题考查变上限积分法的导数及定积分的性质.注释注释:(A) 为正常数;(B) 为负常数;(C) 恒为零;(D) 不为常数.解解:由于则而故选项(A)正确.A(3-23)第29页/共62页第三十页，编辑于星期三：七点 十八分。(A为常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11.(97.6分) 设 f (x) 连

14、续,( ) x求( ) x并讨论在 x = 0 处的连续性.解解:由题设知 (0) = 0, f (0) = 0 .令xt = u ,由导数定义知则有由于( ) x所以在 x = 0 处连续.注释注释:本题考查定积分换元积分法,变上限积分求导,导数定义求导,函数在一点连续性.即有(3-24)第30页/共62页第三十一页，编辑于星期三：七点 十八分。例例12.(98.3分)设 f (x)连续,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释注释:本题考查变上积分的求导.解解:则t = 0 时,t = x 时,u = 0 .故选项(A)正确.A这类问题通常是通过变量代换将被积函数中的参变量x换到积分限上

15、去.(3-25)第31页/共62页第三十二页，编辑于星期三：七点 十八分。当t = 0 时, u = x ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: t = x 时, u = 0 ,则有 应填 注释注释: 本题考查换元积分法和变上限积分的求导. (3-28)第32页/共62页第三十三页，编辑于星期三：七点 十八分。设 f (x) 是区间0,1上的任一非负连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数.(1)试证存在使得在区间上以为高的矩形面积等于在区间 上以 y = f (x)为曲边的曲边梯形的面积.(2)又设 f (x) 在区间(0,1) 内可导,证明(1)中的是唯一的.分析分析:先写出欲证

16、的式子:存在0(0 1),x,将此式凑成罗尔定理结论(3-27)第33页/共62页第三十四页，编辑于星期三：七点 十八分。即构造 (x),为了证明机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 x注释注释:本题考查罗尔定理,变上限积分求导,函数单调性.的唯一性,只要证明单调,即证为定号即可.证证:令则 (x)在0,1上满足罗尔定理的条件,因此存在使这就证明了的唯一性.0 x第34页/共62页第三十五页，编辑于星期三：七点 十八分。 在点 (0,0) 处的切线相同,并求极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例15. (02.7分)已知两曲线 y = f (x) 与写出此切线的方程, 分析分析:可求得

17、然后用导数即可.解解:由题设条件知 f (0) = 0 ,故所求切线方程为 y = x .两曲线 y = f (x) 与2arctan0 xty=edt 在点 (0,0) 处的切线相同,定义求极限2lim( )nnfn(3-35)第35页/共62页第三十六页，编辑于星期三：七点 十八分。把排列起来,机动 目录 上页 下页 返回 结束 时的无穷小量使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是( ).(A) , , ;(B) , , ;(C) , , ;(D) , , .解解:由于0 x所以时 是比 高阶的无穷小量.由于所以0 x时 是比 高阶的无穷小量.故选项(B)正确.B(3-39)第

18、36页/共62页第三十七页，编辑于星期三：七点 十八分。证明函数设 f (x) 是连续函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 且() 当f (x) 是以2为周期的周期函数时,()利用定义证明函数可导,所以有也是以2为周期的周期函数.() 证证:对任意的 x ,由于f (x)是连续函数 ,(3-44)第37页/共62页第三十八页，编辑于星期三：七点 十八分。因此函数 F (x)在点 x 处可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束 又由于 f (x) 的连续性,所以有当x 0 时, x .且要证明G (x)是以2为周期的函数,() 证证:即要证明对任意的x ,都有G (x +2) = G (x)

19、.由于200( )2( )( )xG xf t dtxf t dt即有G (x +2) G (x) =0.所以第38页/共62页第三十九页，编辑于星期三：七点 十八分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于f (x)是以2为周期的函数,所以22002( )(2)( )xf t dtxf t dt2002( )( )xf t dtxf t dt证毕.注释注释:本题考查微积分基本定理的证明,周期函数的变上限的积分.因此即有所以G (x)是以2为周期的函数.第39页/共62页第四十页，编辑于星期三：七点 十八分。设函数 f (x) 在区间1,3上的图形为机动 目录 上页 下页 返回 结束 则函数的

20、图形为( ) .x( )F xo112131x( )f xo1122131x( )F x11o23x( )F xo123111x( )F x11o23(3-45)第40页/共62页第四十一页，编辑于星期三：七点 十八分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 由题设知,当则有注释注释:本题考查变上限积分的性质与其导函数的关系.故选项(A)错误.时,由于从而F (x) 单调增,由于则 F (0) = 0 ,显然选项(C)错误.又由于时,则当(2,3x时,0( )( )xF xf t dt故选项(B)错误.由排除法, 选项(D)正确.第41页/共62页第四十二页，编辑于星期三：七点 十八分。本题要证存

21、在分析分析:设 f (x) 在0,1上连续,(0,1)内可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.(91.7分)证明在(0,1)内存在一点c,且( )0f c.使 首先应联想到罗尔定理, 因此证明的关键是要找出使 f (x)的函数 值相等的两个点.证证:由积分中值定理知即有又1233( )(0)f x dxf.也即有f (x)在0,上满足罗尔定理的条件,因此存在(0 1),c,( )0f c.使 证毕.（3-10）第42页/共62页第四十三页，编辑于星期三：七点 十八分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 f (x) 在0, 上连续,且试证:在(0,)至少存在两个不同的点分析分

22、析:构造函数显然若能证明在0,有三个零点,由罗尔定理知在(0,)上至少存在两个不同的点即由于F (0) = 0 , F () = 0 ,使所以只要证明在(0,)内至少还有F (x)的一个零点即可.12,和（3-21）第43页/共62页第四十四页，编辑于星期三：七点 十八分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 则设知至少又因若不然,则在(0,)内或恒为正,或( )sinF xx恒为负,均与矛盾.由于时,故由此证得再对F (x)在0, 和 ,上分别应用罗尔定理,存在12( )()0,FF即12( )()0.ff证毕.第44页/共62页第四十五页，编辑于星期三：七点 十八分。解解:机动 目录 上页

23、下页 返回 结束 设则有( ).所以有 P M N .分析分析:题中三个积分的积分区间都关于原点对称,因此(A) N P M ;(B) M P N ;(C) N M P ;(D) P M 0 ,易知曲线 f (x) 在 x 轴上方,单调下降且为凹弧,并依题意画示意图.xoyABCDE2S3S1S表示曲边梯形ABCD的面积,表示矩形ABCE的表示梯形ABCD的面积,显然有故选项(B)正确.B面积,（3-21）第52页/共62页第五十三页，编辑于星期三：七点 十八分。面图形面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 f (x) 在区间a ,b上连续,(a ,b)内的3倍.依题意画示意图如下:在

24、(a ,b)内存在唯一的 , y = f (x)与两直线 y = f ( ) , x = a 所围平面图形的面积是曲线 y = f (x) 与两直线 y = f ( ) , x = b 所围平1S2S证明:且在使曲线分析分析: :xyoab( )yf x( )f1s2s( )yf（3-5）第53页/共62页第五十四页，编辑于星期三：七点 十八分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 构造辅助函数然后由题设使问题转化为证明函数 F (x) 在(a ,b) 内有唯一零点 的问题.证证:令其中显然 F (x) 在a ,b 上连续.xyoab( )yf x( )f1s2s( )yf第54页/共62页第五

25、十五页，编辑于星期三：七点 十八分。第二节 目录 上页 下页 返回 结束 于是即由连续函数的介值定理知,使F ( ) = 0 ,至少存在一点即使 的唯一性可由F (x) 的单调性得到.所以F (x)在a ,b上单调增加,故在(a ,b) 内只有一个 ,证毕.第55页/共62页第五十六页，编辑于星期三：七点 十八分。求心形线注释注释:本题考查极坐标表示的曲线弧长的计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的全长, 其中a 0 是常数.解题的解解:分析分析:心形线是一条关于x 轴对称的封闭曲线,当曲线由极坐标r = r()表示时,弧微分由对称性可知,所求心形线全长为关键是要记住用定积分求弧长公式,并能正确确定参数的变化范围0 .（3-21）第56页/共62页第五十七页，编辑于星期三：七点 十八分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 抓斗抓起的污泥重2000N, 为清除井底的污泥,例例1 (99.6分)井底,用缆绳将抓斗放入抓起污泥后提出井口. 已知井深 30m,抓斗自重400N ,缆绳每米重50N,提升 速度为3m /s , 在提升过程中,污泥以20N /s 的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升到井口,问克服重力需作多少焦耳的功?(说明: m , N , s , J 分别表示米,牛顿,秒,焦耳;抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)分析分析:本题是变力作功