淋雨模型（精编版）

1、人在雨中行走时的淋雨问题摘要本文讨论了生活中的淋雨问题，针对人的速度、 雨线与人的夹角、 雨线相对速度的不同情况， 建立数学模型， 利用三维角度、 单调性和 matlab 进行求解，分析了在一定路程内如何控制人的速度使得总淋雨量最少。针对问题一， 将人简化为长方体， 则淋雨面积为长方体表面积，求得最大速度时人的总淋雨量。针对问题二， 雨从迎面吹来时， 对雨速方向进行正交分解， 人的总淋雨量为头顶和前方淋雨量之和，分析知人的速度最大时淋雨量最少。针对问题三，雨从背面吹来时，通过讨论人的速度与雨速水平分量的大小关系，得出总淋雨量与人的速度以及雨线与人体的夹角之间的关系。针对问题四 , 建立三维坐标

2、系，讨论雨从正侧面和后侧面吹来两种情况下如何使人的总淋雨量最少，经分析知淋雨量与人的速度以及雨线与人之间的关系。关键词： 雨线方向；人的速度；淋雨面积；总淋雨量；单调性分析一、问题重述人在外出行走时遇雨， 欲从一处沿直线跑到另一处， 并且使奔跑过程中淋雨量最少，一般人认为雨中奔跑的速度越快，淋雨量越少， 但也有人认为奔跑的速度越快，会间接造成淋雨量增大。 因此，建立数学模型讨论在以下情况下如何使淋雨量最少：问题一：在不考虑雨的方向且降雨量淋遍全身的情况下，人以最大速度奔跑， 试求跑完全程的总淋雨量；问题二：雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面，且与人的夹角为，当速度为多大时，总淋雨量最少；问

3、题三：雨从背面吹来。雨线与跑步方向在同一平面，且与人的夹角为，当速度为多大时，总淋雨量最少；问题四：若雨线与跑步方向不在同一平面，模型的变化情况。二、问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到的雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积；总的淋雨量等于人的各个面上的淋雨量之和，再由速度的分解，合成，相对速度等物理知识，确定各面的淋雨量； 并且淋雨量与雨速、 雨线方向及人奔跑的速度有关；可将人简化为一个长方体，便于模型的建立。针对问题一：不考虑雨的方向，总的淋雨量等于六个面的淋雨量之和。针对问题二、三：由于雨线方向发生改变，雨相对人的速度发生改变，单位面积单位

4、时间淋雨量发生改变， 淋雨面积发生变化， 此时只有人的正面与顶面或者后面与顶面为淋雨面积，总淋雨量随雨线与人的夹角的变化而变化。针对问题四：在问题二、三的基础上，雨速与人的夹角关系由二维变成三维，可利用问题二、三类比求解。三、基本假设1.雨的密度相同，雨滴的大小形状相同，雨速为常数且方向不变；2.将人视为一个长、宽、高都确定的长方体，人在行走过程中震荡引起的误差可忽略不计；3.人体跑步速度大小与方向恒定，且不受其他因素的影响；4.单位时间内人体接收的淋雨量与雨速成正比；5.降雨量在一定时间内是定值。四、符号说明l：路程；v: 人的速度；u：雨速；a: 长方体的高（人的身高）；b：长方体的宽（人

5、的宽度）；c：长方体的长（人的厚度）；h：单位面积单位时间淋雨量；y：人体总淋雨量；s：淋雨面积；t ：人在雨中奔跑时间；、：雨线与人体的夹角。五、模型建立与求解设某人从甲地奔跑到乙地的路程为l，将此人理想化为一个长方体，宽（人的厚度）为c，长（人的宽度）为b ，高（人的身高）为a，雨速为u，人的奔跑速度为v (mvv0)，人的淋雨面积为s，总淋雨量为 y ，单位面积单位时间淋雨量为 h，易知总淋雨量 =淋雨面积单位时间单位面积的淋雨量淋雨时间。所以shty（1）其中淋雨时间为vlt（2）问题一 : 分析题意可知，由于不考虑雨的方向（即雨是垂直落下），此时淋雨面积为长方体的表面积，淋雨时间为路

6、程与人的速度之比，故可得淋雨面积acbcabs2（3）联立（ 1）（2）（3）式得化简有)(2acbcabvlhy（4）代入具体数据，即可求得人以最大速度奔跑时，跑完全程的总淋雨量。问题二：图 1图 2如图 1，类比于问题一，此时除了淋雨时间没有发生改变，淋雨面积和雨相对人的奔跑速度发生改变， 淋雨面积为人的正面与顶面面积之和，雨的相对速度为人的奔跑速度与雨速水平分量之和。淋雨面积ab正s，bcs顶由单位面积单位时间淋雨量与雨速成正比：huhu1cos解得cos1hhsinuvv合，huhv2合解得huvh合2所以thsy11顶thsy22正正顶yyy（5）联立（ 1）（2）（5）得化简有)s

7、incos(uuvacvlhby（6）对v求导得2)sin(cos(vuuvacbhlvuabhly令0y，解得actan恒成立，淋雨量y 随人的速度v的增大而减少，所以当人的奔跑速度最大时，淋雨量最少。问题三：若雨从背面吹来，按水平方向上雨速与人的速度大小关系分两种情况讨论：（1）若人的速度大于等于水平方向上的雨速, 即mvvusin淋雨面积ab后s，bcs顶由单位面积单位时间淋雨量与雨速成正比：huhu1cos解得cos1hhsin- uvv合，huhv2合解得huvh合2所以thsy1顶顶thsy2后后后顶yyy（7）类比于问题二，联立（ 1）（2）（7）式可得总淋雨量为)sin-cos

8、(uuvacvlhby（8）对v求一阶导得2)sin(cos(vuuvacbhlvuabhly当actan，0y，2arctanac淋雨量y随人的速度v的增大而增大；actan，0y，acarctan0淋雨量y 随人的速度v的增大而减少。（2）若人的速度小于水平方向上的雨速，即sin0uv同理可得)-sincos(uvuacvlhby（9）对v求一阶导得vuabhlvuuvacbhly-)sin(-cos(2当actan，0y，2arctanac淋雨量y随人的速度v的增大而减小；actan，0y，acarctan0淋雨量y 随人的速度v的增大而减小。综上：actan，人的速度为sinuv时，总

9、淋雨量 y 最小；actan，人的速度最大时mvv时，总淋雨量 y 最小。问题四：如图 2，通过对问题三的分析求解，易知当雨速方向与人的奔跑方向不在一个平面时，此时雨速的分解在三维空间内完成，淋雨面积由人体正面 （或后面），侧面和顶面面积三个部分构成。（1）若雨从正侧面吹来淋雨面积bcs顶，ab正s，acs侧在三维空间内分解雨速ucossinuux，sinsinuuy，cosuuz由单位面积单位时间淋雨量与雨速成正比：huhuz1即得cos1hhhuhux2即得cossin2hhhuhuvy3即得huuvhsinsin3thsy1顶顶，thsy2侧侧，thsy3正正总淋雨量为侧正顶yyyy（1

10、0）联立（ 1）（2）（10）式可得总淋雨量为)sinsincossincos(uuvabacbcvlhy（11）对v求一阶导得2cossin)sinsin(cos(vacuuvabbchlvuabhly）令0y得)cossin(tancbabc恒成立，淋雨量y 随人的速度v的增大而减少，所以当人的奔跑速度最大即取mvv时，淋雨量 y 最少。（2）若雨从后侧面吹来若人的速度大于等于水平方向上的雨速, 即mvvusinsin只有3h发生改变huhuvy3-即得huuvhsinsin-3侧后顶yyyy（12）同理可得，联立（ 1）（2）（12）总淋雨量化简有：)sinsin-cossincos(u

11、uvabacbcvlhy（13）对v求一阶导2cossin)sinsin-(cos(vacuuvabbchlvuabhly）令)cossin(tancbabc，0y，淋雨量y 随人的速度v的增大而增大；)cos-sin(tancbabc，0y，淋雨量y 随人的速度v的增大而减少。若人的速度小于水平方向上的雨速, 即sinsin0uvhuhvuy3-即得huvuh-sinsin3侧后顶yyyy（14）联立（ 1）（2）（14）式，同理可得)-sinsincossincos(uvuabacbcvlhy（15）对v求一阶导2cossin)sinsin-(-cos(-vacuuvabbchlvuabh

12、ly）令)cossin(tancbabc，0y，淋雨量y 随人的速度v的增大而减小；)cos-sin(tancbabc，0y，淋雨量y 随人的速度v的增大而减少；综上：当)cos-sin(tancbabc时，人的速度为sinsinuv时，总淋雨量 y最小；当)cossin(tancbabc时，人的速度最大时mvv时，总淋雨量 y 最小；六、模型验证例：假设某人从甲地奔跑到乙地的路程为ml600，将此人理想化为一个长方体，长（人的宽度）为mb5. 0，宽（人的厚度）为mc3 .0，高（人的身高）为ma6. 1， 雨速为smu/5， 人的奔跑速度为smv/60， 人的受雨面积为 s，总受雨量为 y

13、 ，单位面积单位时间淋雨量为)/(3hcmh。(1) 在不考虑雨的方向且降雨量淋遍全身的情况下，人以最大速度奔跑，试求跑完全程的总淋雨量；(2) 雨从迎面吹来， 雨线与跑步方向在同一平面， 且与人的夹角为30，当速度为多大时，总淋雨量最少；(3) 雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面，且与人的夹角为30，当速度为多大时，总淋雨量最少；(4) 若雨线与跑步方向不在同一平面，假设雨线与长方体轴夹角为30，雨线所在平面与长方体轴夹角为60，分析模型的变化情况。问题一：将数据代入（ 4）式得：)(1038.23ly；问题二：因为0y恒成立，故淋雨量 y 随人的速度v的增大而减少；所以当人的奔跑速度最

14、大即smvv/6max时，淋雨量最少，将数据代入（6）式得：)(0012.0ly；问题三：30时，人的速度大于水平方向上的雨速, 即smvm/5.2sin5，16333tanac雨量y 随人的速度v的增大而增大，所以当smv/5.2时，淋雨量最小；将数据代入（ 8）式得到)(1060.24ly；问题四：若雨从正侧面吹来30，60时，0y恒成立，淋雨量y 随人的速度v的增大而减少，smvv/6max时，淋雨量最小。将数据代入（ 11）式得)(0013.0ly若雨从后侧面吹来30，60时， 人的速度大于水平方向 上的雨速,smvm/435sinsin5且)cos-sin(tancbabc即取smv/435时，总淋雨量最少，将数据代入（13）式得)(1077.54ly。七、模型推广面对生活中雨中奔跑的场景， 人在没有带伞的情况下， 可考虑降雨量大小和雨线方向，并利用以上数学模型，估算人的速度，使总淋雨量最少。在生