圆锥曲线中的四心（精编版）

1、圆锥曲线中的“四心”云南省会泽县茚旺高级中学杨顺武摘要：通过对三角形四心与圆锥曲线的有机结合，达到训练学生的思维，提升学生的解题能力。同时起到培养学生的说思路、练本领、强素质的作用关键词：思维流程内心 外心 重心 垂心 解题能力正文：圆锥曲线是每年高考的重点内容之一，从近几年的命题风格看，既注重知识又注重能力， 既突出圆锥曲线的本质特征， 又体现传统内容的横向联系和新增内容的纵向交汇，而三角形在圆锥曲线中更是如鱼得水，面积、弦长、最值等成为研究的常规问题。 “四心”走进圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此，在高考数学第二轮复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的

2、数学解题能力，增强学生的信心，从而战胜高考例 1、已知椭圆 e 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过( 2,0)a、(2,0)b、31,2c三点（）求椭圆 e 的方程：（）若点 d 为椭圆 e 上不同于 a、 b 的任意一点，( 1,0),(1,0)fh，当dfh 内切圆的面积最大时，求dfh 内心的坐标；思维流程：（）（）由椭圆经过a、b、c三点设方程为122nymx得 到nm,的 方 程解出nm,由dfh内切圆面积最大转化为dfh面积最大转化为点d的纵坐标的绝对值最大最大d为椭圆短轴端点dfh面积最大值为3内切圆周长rsdfh2133内切圆r解题过程：（）设椭圆方程为122nymx0,

3、0 nm将( 2,0)a、(2,0)b、3(1,)2c代入椭圆 e的方程，得41,914mmn解得11,43mn.椭圆 e的方程22143xy（）|2fh，设 dfh 边上的高为hhsdfh221当点 d 在椭圆的上顶点时， h 最大为3，所以dfhs的最大值为3设 dfh 的内切圆的半径为r ， 因为 dfh 的周长为定值6所以，621rsdfh所以 r的最大值为33所以内切圆圆心的坐标为3(0,)3.点石成金：的内切圆的内切圆的周长rs21例 2、椭圆长轴端点为ba,， o 为椭圆中心，f 为椭圆的右焦点，且1fbaf，1of（）求椭圆的标准方程；（）记椭圆的上顶点为 m ，直线 l 交椭

4、圆于qp,两点，问：是否存在直线 l ，使点 f 恰为pqm的垂心若存在，求出直线l 的方程 ; 若不存在，请说明理由。得出d点坐标为33, 0思维流程：（）（）消元解题过程：（）如图建系，设椭圆方程为22221(0)xyabab, 则1c又1fbaf即22() ()1acacac22a故椭圆方程为2212xy（）假设存在直线l 交椭圆于qp,两点，且 f 恰为pqm的垂心，则设1122(,),(,)p xyq xy，(0,1),(1,0)mf，故1pqk，于是设直线 l 为yxm，由2222yxmxy得2234220 xmxm12210(1)(1)mp fqx xyy又(1,2)iiyxm

5、i得1221(1)()(1)0 x xxm xm即2,1ab写出椭圆方程由1affb?，1of()()1ac ac，1c1pqk由 f 为pqm的重心,pqmf mpfq2222yxmxy2234220 xmxm两根之和，0mpfq?得出关于解出 m212122()(1)0 x xxxmmm由韦达定理得222242(1)033mmmmm解得43m或1m（舍）经检验43m符合条件点石成金： 垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零例 3、在椭圆 c ：13422yx中，21ff 、分别为椭圆 c 的左右两个焦点， p为椭圆 c上的且在第一象限内的一点，21fpf的重心为 g

6、 ，内心为 i （）求证：21ffig；（）已知 a为椭圆 c上的左顶点，直线 l 过右焦点2f与椭圆 c交于nm ,两点，若anam ,的斜率21,kk满足2121kk，求直线 l 的方程思维流程：（）（）由已知得1( 1,0)f，2(1,0)f设00(,)p xy重心00(,)33xyg12120012pf fsf fyy内切圆rffpfpfsfpf)(212121210321yrsfpf内切圆30yr内i 的纵坐标为30yig 21ff21ffig由2121kk，可知l的斜率一定存在且不为0，设为 kl的方程为)1(xky134) 1(22yxxky消去 y得01248)43(2222k

7、xkxk2221222143124438kkxxkkxx利用2121kk得k的方程解出k解题过程：（）设),(00yxp，重心),(yxg，由已知可知)0 , 1(1f，)0, 1(2f则31)1(0 xx，3000yy)3,3(00yxg由00212121yyffsfpf又内切圆rffpfpfsfpf)(212121210321yrsfpf内切圆内心 i 的纵坐标为30yig 21ff即21ffig（）若直线 l 斜率不存在，显然120kk不合题意；则直线 l 的斜率存在设直线 l 为)1(xky，直线 l 和椭交于11(,)mx y，22(,)n xy。将:1243) 1(22中得到代入y

8、xxky01248)43(2222kxkxk依题意：110992kkk或得由韦达定理可知：2211222143124438kkxxkkxx又)2121(2222112211xxxxkxyxykkanam121123()22kxx而4)(24212121212121xxxxxxxx2222222312)43(416124)43(48kkkkkkk从而211)31232(22kkkkkkanam求得2k符合. 1k故所求直线 mn 的方程为：).1(2 xy点石成金： 重心的特点为坐标3,3321321yyyxxx例 4、已知双曲线 c以椭圆13422yx的焦点为顶点，以椭圆的左右顶点为焦点（）求

9、双曲线c的方程；（）若21,ff为双曲线 c的左右焦点， p 为双曲线 c上任意一点， m 为21fpf的外心，且6021pff, 求点 m 的坐标思维流程：（）（）解题过程：（）由已知可知，双曲线的2,3, 1cba，则双曲线的方程为1322yx由已知易得双曲线中3,2,1bca写出双曲线的方程m 是21fpf的外心m在 y 轴上，且21212pffmff02102130,120fmfmff在omfrt1中，01130, 2omfof233mo2 3(0,)3m（）因为 m 为外心，所以21mfmf，则点 m 在线段21ff的垂直平分线上即在y 轴上又同弧上的圆心角是圆周角的2 倍，2121

10、2pffmff则02102130,120fmfmff在omfrt1中，01130, 2omfof则332mo即)332,0(m点石成金： 外心的特点为到三个顶点的距离相等或说是三边的垂直平分线的交点能力提升：1、 椭圆：)0( 12222babyax求椭圆的焦点三角形内心的轨迹方程解：如图（ 1） ，设点 p00,yx，内心 i 为),(yx，焦点)0,()0 ,(21cfcf、，11rpf，22rpf， 则0212exrr过内心 i 作ifieid、垂直2121pfpfff、于点fed、 点 i 是pff21的内心，点fed、是内切圆的切点，图（1） 由切线长定理，得方程组：cdfdfrff

11、pfrefpe2212211，结合0212exrr，解得：01excdf而xcdf1，0exx，既exx0又 pff21面积0ycs，ycaypfpfffsf)()(21121，0ycyca)(，既0y=ycca将代入)0(1220220babyax，得1)(222222cacbycx可知，椭圆)0(12222babyax焦点三角形内心的轨迹是一个椭圆，它的离心率是ee122、椭圆：)0(12222babyax求椭圆的焦点三角形垂心的轨迹方程；解：如图（ 2） ，设点 p00(,)xy，垂心 h 为),(yx，焦 点)0,()0 ,(21cfcf、， 则),(1ycxhf，),(002yxcp

12、fhf12pf ，),(ycx00(,)cxy=0图（2）又 0 xx，2200cxyy. 而2200221(0)xyabab，22222220022()()bbyaxaxaa . 将式代入式，整理得：2222()a cxyb ax由方程可以看出， 椭圆焦点三角形垂心的轨迹不是两条抛物线，它与哪些初等函数图象有关请大家思考3、已知动圆过定点f1 ,0，且与定直线1y相切（）求动圆圆心p的轨迹w的方程；（）设过点 f 的直线 l 与轨迹 w 相交于 a、 b 两点，若在直线1y存在点 c，使abc为正三角形，求直线l 方程.（）当直线 l 得斜率大于零时，求abc外心的坐标解： （）设动圆圆心为

13、),(yxp，根据题意，得1)1(22yyx化简得yx42故动圆圆心 p的轨迹 w 的方程为yx42.（） 设直线 l 的方程为1kxy，),(),(2211yxbyxa， 弦 ab 中点为),(00yxm（）当0k时，由yxy412得)1 ,2(),1 ,2(ba此时4ab，有图形的对称性可知，1y上的点 c 只可能是)1,0(而22)11()20(22ac故acab，不合题意 .（）当0k时，由yxkxy412得0442kxx242)(,4,4221212121kxxkyyxxkxx则122,222210210kyyykxxx即)12,2(2kkm若在直线1y上存在点 c ，使abc 为正三角形则设直线)12()2(1:2kkxkymc，与1y联立，解得324kkx，即) 1,24(3kkc由abcm23，得)2(23)22()22(212223yykkk即222223)44(43)22()22(kkkk化简得22222)1(2)1(kkk即2,22kk故直线 l 的方程为12xy（）由 ( ）知，2k，直线 l 的方程为12xy，点)1,