《等差数列》检测卷

1、等差数列检测卷（原创稿，有备用题，所有题目均有详细解答，根据需要，敬请删减与修改） 说明：本试卷分为第、卷两部分,请将第卷选择题的答案填入题后括号内,第卷可在各题后直接作答. 全卷满分150分，考试时间120分钟。第卷(选择题 共60分)一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. (07·西安八校联考)设是首项,公差的等差数列,如果,则序号等于( )A. 667 B. 668 C. 669 D. 6702（备用题）设S和T分别为两个等差数列的前n项和，若对任意nN， （ ）A43 B32 C74 D78713. （备用

2、题）（2003年全国，文5）等差数列an中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n是（ ）A.48 B.49 C.50 D.514. （备用题）（2003年全国，8）已知方程（x22x+m）（x22x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|mn|等于A.1B.C.D.5. (07·成都市摸底)已知数列等差数列,且,则数列的公差等于 ( )A. 1 B. 4 C. 5 D. 66. （备用题）等差数列an的前n项和记为Sn，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列Sn中也为常数的项是（ ）A.S7 B.S8C.S13D.S157. (06·南京二模)已知

3、一个等差数列的前9项的算术平均数为10，前10项的算术平均数为11，则此等差数列的公差为（ ）A. 1 B. 2 C. D. 48. (07·大同市调研)设是等差数列的前n项和,若,则= ( )A. 1 B. -1 C. 2 D. 9. (06·湖北八校一联)等差数列的公差为d，前n项的和为Sn，当首项a1和d变化时，是一个定值，则下列各数中也为定值的是（ ） AS7BS8CS13DS1510一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于 （ ）A5 B6 C7 D811.(07·雅礼中学月考)已知等差数列的公差为2，且

4、，则 的值等于（ ）25 50 75 10012.等差数列an中，a100，a110且a11|a10|，Sn为其前n项和，则（ ）A.S1，S2，S10都小于0，S11，S12，都大于0B.S1，S2，S19都小于0，S20，S21，都大于0C.S1，S2，S5都小于0，S6，S7，都大于0D.S1，S2，S20都小于0，S21，S22，都大于013.(07·南京模)将棱长相等的正方体按右图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，则第6层正方体的个数是 ( )A28 B21 C15 D1114(07·海淀区期中)在等差数列中,若,则的和等于( ) (A)7 (

5、B)8 (C)9 (D)10第卷(非选择题 共90分)二填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题线上部 对应题号的横线上.15（备用题）若数列中，且 ，则数列的通项 16(07·湖北八校联考)数列中，且数列是等差数列，则=_17.（2004年春季上海，7）在数列an中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线xy=0上，则an=_.18. （备用题）（2003年春季上海，12）设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）的值为_.19. （备用题）在等差数列an中，公差为，且a1+a3+

6、a5+a99=60，则a2+a4+a6+a100=_.20. （备用题）将正偶数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行182022242826那么2004应该在第_行第_列.21. （备用题）在等差数列an中，若a100，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19n（n19，nN成立.类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若b91，则有等式 成立.22. （备用题）(06·重庆文)在数列中，若，则该数列的通项 .23. （备用题） (06·浙江理)设为等差数列的前项和，若，则公差为_（用数字作答）。24. （备用题） (

7、06·山东文)设为等差数列的前n项和，14，30，则.25. （备用题） (05·海淀期中)若等差数列an中，公差d=2，且a1+a2+a3+a100=200，则a5+a10+a15+a100的值是 .26. (06·西安二模)把49个数排成如图所示的数表，若表中每行的7个数自左至右依次都成等差数列，每列的7个数自上而下依次也都成等差数列，且正中间的数a=1，则表中所有数的和为_.三解答题：本大题共6小题，前5小题每小题12分，最后一题14分，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.27（备用题）两个等差数列5，8，11，和3，7，11，都有100项，

8、那么它们共有多少相同的项？28. （备用题）(06·上海春)已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 29. （备用题） (06·合肥模)等差数列的前n项和记为Sn.已知（）求通项；（）若Sn=242，求n.30根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式31. (06·石家庄模)设等差数列an的前n

9、项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1、S2、S12中哪一个值最大，并说明理由.32. （备用题）(05·盐城模)an为等差数列，公差d0,an0,(nN*),且akx2+2ak+1x+ak+2=0(kN*)(1)求证：当k取不同自然数时，此方程有公共根；(2)若方程不同的根依次为x1,x2,xn,求证：数列为等差数列.33. （备用题）(06·连云港一模)已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且对任意的N*都成立，数列是等差数列（1）求数列与的通项公式；（2）问是否存在N*，使得？请说明理由34（备用题）

10、数列an的前n项和为Sn=npan（nN*）且a1a2，（1）求常数p的值；（2）证明：数列an是等差数列.35（备用题） 已知两个等差数列5，8，11，和3，7，11，都有100项，问它们有多少相同的项？并求所有相同项的和.36（备用题）设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列的前n项和，求Tn.37.已知an为等差数列，前10项的和S10=100，前100项的和S100=10，求前110项的和S110.剖析：方程的思想，将题目条件运用前n项和公式，表示成关于首项a1和公差d的两个方程.38. （备用题）（2004年全国，文17）等差数列an的前n项

11、和为Sn，已知a10=30，a20=50.（1）求通项an；（2）若Sn=242，求n.39. （备用题）设等差数列an的前n项和为Sn，已知a3=12，S120，S130.（1）求公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，S3，S12中哪一个最大，并说明理由.40.已知数列an的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn1=0（n2），a1=.（1）求证：是等差数列；（2）求an的表达式.41.设实数a0，函数f（x）=a（x2+1）（2x+）有最小值1.（1）求a的值；（2）设数列an的前n项和Sn=f（n），令bn=，证明:数列bn是等差数列.42.已知f（x）=a1x+a2x2+

12、a3x3+anxn，n为正偶数，且a1，a2，a3，an组成等差数列，又f（1）=n2，f（1）=n.试比较f（）与3的大小.43. （备用题）已知数列a是公差d0的等差数列，其前n项和为S(2)过点Q(1，a)，Q(2，a)作直线12，设l与l的夹角为，44（备用题）数列中，且满足 求数列的通项公式；设，求；设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。45. （备用题） 已知数列an的前n项和Sn=12nn2，求数列|an|的前n项和Tn.46.(06·西城模)在数列中，其中（1）求证：数列是等差数列；（2）求证：在数列中对于任意的都有；

13、（3）设，试问数列中是否存在三项它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由.等差数列检测卷（参考答案）一选择题：1.答案：D。解:本题考查了等差数列的通项公式及其基本量的求解问题.由已知可得等差数列的通项公式为, 于是得,解之得,故应选D.2. （备用题）答案：A。解:设这两个等差数列分别为an和bn故选择A3. （备用题）答案：C。解:由已知解出公差d=，再由通项公式得+（n1）=33，解得n=50.故应选C.4. （备用题）答案：C。解:设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+a

14、q.设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，m=，n=.|mn|=.故选C。5.答案：B .解:本题考查了等差数列的性质及其通项公式.由可得; 又由可得,公差, 故应选B.6. （备用题）答案：C .解:设a2+a4+a15=p（常数），3a1+18d=p，即a7=p.S13=13a7=p.故选答案C。7.答案：B .解:本题考查了等差数列的性质及算术平均数的概念. 由已知可得, 则,又,解得,从而, 故应选B.8.答案：A .解:本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的掌握情况,公式的灵活应用问题.解法一:设等差数列的首项为, 公差为, 则, 化简可得. . 故应选A.解法二: ,

15、故应选A.9.答案：C .解:由是定值,由为定值,即.13为定值.故应选C.10.答案：C .解:依题意知数列单调递减，公差d0因为S3=S11=S3+a4+a5+a10+a11所以 a4+a5+a7+a8+a10+a11=0即 a4+a11=a7+a8=0，故当n=7时，a70，a80选择C11.答案：D .解:设 , 则 ; ; , 由+可得, , 解之得, 故应选D.12.答案：B .解:由题意知 可得d0，a10.又a11|a10|=a10，a10+a110.由等差数列的性质知a1+a20=a10+a110，S20=10（a1+a20）0.答案：B13.答案：B .解:本题考查了正方体

16、堆垒问题及数列通项公式的求解.列出该数列的前几项,通过相邻项间的关系可得出该数列的规律而得出一等差数列.由图示可得,该正方体的个数所组成的数列1,3,6, 其后一项减前一项得一数列2,3,4,为一个等差数列.由此可得第6层的正方体的个数为1,3,6,10,15,21, , 故应选B. 14.答案：C .解:本题考查了等差数列的性质及等差数列通项公式的应用.由是等差数列可得数列也成等差数列可得为数列的第7项.由是等差数列可得数列也成等差数列,即得,故应选C.二填空题：15（备用题）答案：。解：多次运用迭代，可得16答案：。解：由已知可得, 于是得,解之得.17答案：3n2.解：将点代入直线方程得

17、=，由定义知是以为首项，以为公差的等差数列，故=n，即an=3n2.18（备用题）答案：3.解：解析：倒序相加法，观察函数解析式的特点，得到f（x）+f（1x）=，即f（5）+ f（6）=，f（4）+f（5）=，f（3）+f（4）=，f（2）+f（3）=，f（1）+ f（2）=，f（0）+f（1）=，故所求的值为3.19. （备用题）答案：85。解：由等差数列的定义知a2+a4+a6+a100=a1+a3+a5+a99+50d=60+25=85.20（备用题）答案：251 ； 3解法一：由2004是正偶数列中第1002项，每一行四项，故在第251行中的第二个数.又第251行是从左向右排且从第二

18、行开始排，故2004为第251行第3列.解法二：观察第三列中的各数，可发现从上依次组成一个首项为4，公差为8的等差数列，可算得2004为此数列的第251项.21（备用题）答案：b1b2bnb1b2b17n（n17，nN*）解:在等差数列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，所以a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1，又a1a19，a2a18，a19nan1a1a2ana19a18an1a1a2a19n若a90，同理可得a1a2ana1a2a17n相应地等比数列bn中，则可得：b1b2bnb1b2b17n（n17，nN*）22. （备用题

19、）答案：。解:由已知可得数列是首项为,公差为2的等差数列, 即得数列的通项.23（备用题）答案. -1。解:由已知可得.24. （备用题）答案： 54。解:设等差数列的首项,公差为, 由则25（备用题）答案. 120解:由题意得得则是首项,公差为10的等差数列;.26.答案：49。解:由题意分析,不妨设各个格中的数都为1, 则符合题意要求,所以表中所有数字之和为49.三解答题：27（备用题）解法一：设已知的两数列的所有相同的项将构成的新数列为cn,c1=11,又数列5，8，11，的通项公式为an=3n+2,数列3，7，11，的通项公式为bn=4n1. 数列cn为等差数列，且d=12.,cn=1

20、2n1,又a100=302,b100=399,cn=12n1302得n25,可见已知两数列共有25个相同的项.解法二：an=3n+2,bn=4n1,设an=bm则有3n+2=4m1（n,mN*），即n=m1（n,mN*）,要使n为正整数，m必须是3的倍数.设m=3k（kN*）,代入前式得n=4k1,又13k100,且14k1100,解得1k25, 共有25个相同的项.28（备用题）解：（1）. （2）. ， 当时，. （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.研究的结论可以是：由， 依

21、次类推可得 当时，的取值范围为等.29. （备用题）解:（）由得方程组 解得 所以 （）由得方程 解得30解：（1）， （2） =又解：由题意，对一切自然数成立，31. 解：(1)依题意有：解之得公差d的取值范围为d3.(2)解法一：由d0可知a1>a2>a3>>a12>a13,因此，在S1，S2，S12中Sk为最大值的条件为：ak0且ak+10,即a3=12,，d0,2k3d3,4,得5.5k7.因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，S12中，S6最大.解法二：由d0得a1>a2>>a12>a13，因此，若在1k12中有自然数k,使

22、得ak0,且ak+10,则Sk是S1，S2，S12中的最大值.由等差数列性质得，当m、n、p、qN*,且m+n=p+q时，am+an=ap+aq.所以有：2a7=a1+a13=S130,a70,a7+a6=a1+a12=S12>0,a6a7>0,故在S1，S2，S12中S6最大.解法三：依题意得：最小时，Sn最大；d3,6(5)6.5.从而，在正整数中，当n=6时，n (5)2最小，所以S6最大.32. （备用题） 证明：(1）an是等差数列，2ak+1=ak+ak+2,故方程akx2+2ak+1x+ak+2=0可变为(akx+ak+2)(x+1)=0,当k取不同自然数时，原方程有

23、一个公共根1.(2）原方程不同的根为xk=.33. （备用题） 解:（1）已知N*) 时，N*) -得，求得，在中令，可得得，所以N*) 由题意，所以，数列的公差为,，N*) （2），当时，单调递增，且，所以时， 又，所以，不存在N*，使得34（备用题）解：（1）当n=1时，a1=pa1，若p=1时，a1+a2=2pa2=2a2，a1=a2，与已知矛盾，故p1.则a1=0.当n=2时，a1+a2=2pa2，（2p1）a2=0.a1a2，故p=.（2）由已知Sn=nan，a1=0.n2时，an=SnSn1=nan（n1）an1.=.则=，=.=n1.an=（n1）a2，anan1=a2.故an是

24、以a2为公差，以a1为首项的等差数列.35（备用题）解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为an，则a1=11.数列5，8，11，与3，7，11，公差分别为3与4，an的公差d=3×4=12，an=12n1.又5，8，11，与3，7，11，的第100项分别是302与399，an=12n1302，即n25.5.又nN*，两个数列有25个相同的项.其和S25=11×25+×12=3875.分析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解.解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为an与bn，则an=3n+2，bn=4n1.设a

25、n中的第n项与bn中的第m项相同，即3n+2=4m1，n=m1.又m、nN*，设m=3r（rN*），得n=4r1.根据题意得 解得1r25（rN*）.从而有25个相同的项，且公差为12，其和S25=11×25+×12=3875.36（备用题）解：设等差数列an的公差为d，则Sn=na1+n（n1）d.S7=7，S15=75，即 解得a1=2，d=1.=a1+（n1）d=2+（n1）=.=.数列是等差数列，其首项为2，公差为.Tn=n2n.37.解：设an的首项为a1，公差为d，则解得S110=110a1+×110×109d=110.38. （备用题）解：

26、（1）由an=a1+（n1）d，a10=30，a20=50，得方程组a1+9d=30， a1+19d=50. 由解得a1=12，d=2，故an=2n+10.（2）由Sn=na1+d及Sn=242，得方程12n+×2=242，解得n=11或n=22（舍）.39.解：（1）a3=12，a1=122d，解得a12=12+9d，a13=12+10d.由S120，S130，即0，且0，解之得d3.（2）由an=12+（n3）d0，由d3，易知a70，a60，故S6最大.40.证明：（1）an=2SnSn1，Sn+Sn1=2SnSn1（n2），Sn0（n=1，2，3）.=2.又=2，是以2为首项

27、，2为公差的等差数列.（2）解：由（1），=2+（n1）·2=2n，Sn=.当n2时，an=SnSn1=或n2时，an=2SnSn1=；当n=1时，S1=a1=.an= 41.解：（1）f（x）=a（x）2+a，由已知知f（）=a=1，且a0，解得a=1，a=2（舍去）.（2）证明：由（1）得f（x）=x22x，Sn=n22n，a1=S1=1.当n2时，an=SnSn1=n22n（n1）2+2（n1）=2n3，a1满足上式即an=2n3.an+1an=2（n+1）32n+3=2，数列an是首项为1，公差为2的等差数列.a2+a4+a2n=n（2n1），即bn=2n1.bn+1bn=2（n+1）12n+1=2.又b2=1，bn是以1为首项，2为公差的等