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文档简介
1、会计学1高数高数A习题课多元函数微分学的应用习题课多元函数微分学的应用第一页,编辑于星期三:七点 三十一分。2二、二、 作业讲析作业讲析三、三、 典型例题讲解典型例题讲解四、四、 练习题练习题一、一、 内容总结内容总结第1页/共34页第二页,编辑于星期三:七点 三十一分。3一、内容总结一、内容总结切线方程切线方程法平面方程法平面方程1) 1) 参数式情况参数式情况. .空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量)(, )(, )(000tttT第2页/共34页第三页,编辑于星期三:七点 三十一分。4切线方程切线方程法平面方程法平面方程空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量2) 2) 一般式情况一般式情
2、况. .T第3页/共34页第四页,编辑于星期三:七点 三十一分。5空间光滑曲面空间光滑曲面曲面曲面 在点在点法线方程法线方程1) 1) 隐式情况隐式情况. .的的法向量法向量切平面方程切平面方程),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx第4页/共34页第五页,编辑于星期三:七点 三十一分。6空间光滑曲面空间光滑曲面切平面方程切平面方程法线方程法线方程2) 2) 显式情况显式情况. .法线的法线的方向余弦方向余弦法向量法向量) 1 ,(yxffn第5页/共34页第六页,编辑于星期三:七点 三十一分。7第一步第一步 利用必要条件在定义域内找驻点利用必要条件在定义域
3、内找驻点. .即解方程组即解方程组第二步第二步 利用充分条件利用充分条件 判别驻点是否为极值点判别驻点是否为极值点 . .(1) (1) 简单问题用代入法简单问题用代入法如对二元函数如对二元函数(2) (2) 一般问题用拉格朗日乘数法一般问题用拉格朗日乘数法第6页/共34页第七页,编辑于星期三:七点 三十一分。8设拉格朗日函数设拉格朗日函数如求二元函数如求二元函数下的极值下的极值, ,解方程组解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值根据问题的实际意义确定最值第一步第一步 找目标函数找目标函数, , 确定定义域确定定
4、义域 ( (及约束条件及约束条件) )在条件在条件求驻点求驻点 . . 第7页/共34页第八页,编辑于星期三:七点 三十一分。9二、作业讲析二、作业讲析练习册:P60 T8; P61 T4第8页/共34页第九页,编辑于星期三:七点 三十一分。10第9页/共34页第十页,编辑于星期三:七点 三十一分。11三、典型例题讲解三、典型例题讲解例例1.1. 如果平面如果平面与椭球面与椭球面相切相切, ,提示提示: : 设切点为设切点为则则( (二法向量平行二法向量平行) ) ( (切点在平面上切点在平面上) )( (切点在椭球面上切点在椭球面上) )第10页/共34页第十一页,编辑于星期三:七点 三十一
5、分。12即曲线即曲线 ,( ),( )yy xzz x 法平面方程:法平面方程:切线方程:切线方程:其切向量为其切向量为22260 xyzxyz 解解 方程组方程组 确定隐函数确定隐函数在点在点 处的切线方程及法平面方程处的切线方程及法平面方程. .例例2.2.求曲线求曲线第11页/共34页第十二页,编辑于星期三:七点 三十一分。13所求平面的法向量所求平面的法向量例例3.3.作一平面与直线作一平面与直线 垂直且垂直且02320 xyzxyz 与球面与球面 相切相切. .2224xyz 解解 所求平面设为所求平面设为设切点为设切点为方法方法1 1第12页/共34页第十三页,编辑于星期三:七点
6、三十一分。1420 xyzD 所求平面:所求平面:由(切)点到原点的距离公式,有由(切)点到原点的距离公式,有 所求平面所求平面与球面与球面 相切相切. .2224xyz 第13页/共34页第十四页,编辑于星期三:七点 三十一分。15则球面的法向量为则球面的法向量为: :方法方法2 2所求平面的法向量所求平面的法向量代入曲面,得代入曲面,得第14页/共34页第十五页,编辑于星期三:七点 三十一分。16所求方程为所求方程为第15页/共34页第十六页,编辑于星期三:七点 三十一分。17解解第16页/共34页第十七页,编辑于星期三:七点 三十一分。18第17页/共34页第十八页,编辑于星期三:七点
7、三十一分。19四、练习题四、练习题1.1.选择题:选择题:第18页/共34页第十九页,编辑于星期三:七点 三十一分。202.2.选择题:选择题:A A. .不是极值点;不是极值点; B B. .极大值点;极大值点;C C. .极小值点;极小值点; D D. .无法判断无法判断3.3.选择题:选择题:则下列结论正确的是(则下列结论正确的是( ). .第19页/共34页第二十页,编辑于星期三:七点 三十一分。214.4.已知函数已知函数的全微分的全微分并且并且在椭圆域在椭圆域: :上的最大值和最小值上的最大值和最小值.6 6第20页/共34页第二十一页,编辑于星期三:七点 三十一分。22练习答案练
8、习答案第21页/共34页第二十二页,编辑于星期三:七点 三十一分。23 00,0.,0yfx yx yx yxyfx yx y 设设均均为为可可微微函函数数,且且已已知知是是在在约约束束条条件件下下的的一一个个极极值值点点,正正确确的的是是 0000000000000000.,0,0.,0,0.,0,0.,0,0 xyxyxyxyAfxyfxyBfxyfxyCfxyfxyDfxyfxy 若若则则若若则则若若则则若若则则练习答案练习答案第22页/共34页第二十三页,编辑于星期三:七点 三十一分。24构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数第23页/共34页第二十四页,编辑于星期三:七点 三十一分。252
9、 ,0,0fx y 在在的的某某一一邻邻域域内内连连续续, ,且且 20220,lim1,0,0 xyfx yxyxy 则则点点A.不是极值点;不是极值点; B.极大值点;极大值点;C.极小值点;极小值点; D.无法判断无法判断因已知极限是因已知极限是1,而分母,而分母0,解解 选选A.第24页/共34页第二十五页,编辑于星期三:七点 三十一分。263 00,fx yxy可可微微函函数数在在取取得得极极小小值值,则下列结论正确的是(则下列结论正确的是( ). 00,fxyyy 在在处处的的导导数数.0.0.0.ABCD等等于于 ;大大于于 ;小小于于 ;不不存存在在解解 选选A.因可微函数必有
10、偏导存在,由极值存在因可微函数必有偏导存在,由极值存在的必要条件,知的必要条件,知第25页/共34页第二十六页,编辑于星期三:七点 三十一分。27( , )zf x y 22dzxdxydy (1,1)2,f ( , )f x y求求22( , )|14yDx yx 4.已知函数已知函数的全微分的全微分并且并且在椭圆域在椭圆域:上的最大值和最小值上的最大值和最小值.解解 先确定先确定( , ):f x y第26页/共34页第二十七页,编辑于星期三:七点 三十一分。28不是极值点,也非最值点不是极值点,也非最值点.说明最值不在椭圆区域说明最值不在椭圆区域 内内.22( , )|14yDx y x
11、 第27页/共34页第二十八页,编辑于星期三:七点 三十一分。29考虑边界曲线考虑边界曲线 上的情形:上的情形:令拉格朗日函数为令拉格朗日函数为解方程组解方程组得可能的极值点得可能的极值点第28页/共34页第二十九页,编辑于星期三:七点 三十一分。30可能的极值点函数值:可能的极值点函数值:内的最大值为内的最大值为3,最小值为,最小值为2.可见可见 在区域在区域( , )zf x y 22( , )|14yDx yx 第29页/共34页第三十页,编辑于星期三:七点 三十一分。31解解设设(x0 ,y0 z0 )为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意,切平面方程平行于已知平面,得依题意,切平面方程平行于已知平面,得因为因为(x0 ,y0 z0 ) 是曲面上的切点是曲面上的切点所求切点为所求切点为切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面
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