(完整版)东南大学08-09-3高等数学B期中试卷参考答案

1、共 4页 第 1页 0808- - 0909- - 3 3高数 B B (期中)试卷参考答案09. 4. 09. 4. 1717 填空题(本题共 5 5 小题，每小题 4 4 分，满分 2020 分) 设向量 a 1,1,5, b 8, 4,1，则a在b上的投影(a)b 1 ； 0 , (x, y) (0,0) (A)(A)连续且偏导数存在 (B)(B) (C)(C)不连续但偏导数存在 (D)(D) 7 7.已知级数 un条件收敛，则级数 u2 n 1 n 1 2 2. 曲线 X2 3 2 y2 4 y z2 1 0 在yOz平面上的投影曲线为2y 4 10; x 0 3 3. 2 z(x,

2、y)是由方程y z xf (y )所确定的隐函数, 其中f可微，则全微分 dz f dx 2xyf 】dy; 1 2xzf 1 2xzf 4 4. 级数 tL enx的收敛域是(，0； n 5 5.设 f (x) X3 1 (0 x )，而 S(x) bn sin nx ( n 1 x )，其中 2 1 28 bn f (x)sin nxdx, n 1,2, L，则 S 0 3 27 n 1 .单项选择题(本题共 4 4 小题，每小题 4 4 分，满分 1616 分) 6 6.函数 f (x, y) 2xy 2, (x,y) x y ( ,。)在点(0,0)处 (A(A)发散 (B)条件收敛

3、(C(C)绝对收敛 (D(D)可能收敛可能发散 & &下列广义积分中收敛的是 (A(A) e dx 1 xln x (B) dx e , x l n x C C (C(C) In x (D(D) 1 arcta nx dx 1 1连续但偏导数不存在 不连续且偏导数不存在 x 3 2t 共 4页 第 2页 9 9 直线L1: y y 2 3t 与 L2 : x 1 z 2 4t (A A)平行 三. .计算下列各题 1010. 一直线过点 (B B)垂直但不相交 ( (本题共 5 5 小题，每小题 8 8分, x 1 1,3)且与直线L:- 2 (C(C)垂直相交 满分 4040

4、 分) ) (D(D)异面且不垂直 :3x 2y z Mo(2, 求此直线方程 解设所求直线方程为 y z 2相交，又平行于平面 41 9 m n 0 z 3 n 由该直线与平面 平行，得 由该直线与直线L共面，得 3l 解得I 11m, n 35m， 代入所求直线方程, 2m n x 2 11 2与 L2 :- 2 0 , y 1 z 3 1 35 . . 之间的距离d . . 3 1212. 1313. i j k 5 1 6 4 1 1 15, 4 1 1 2 2 3 2 2 3 求两条直线 Li： 1 y z 解 25, 1 2x2 13x (n)( ，求 设 f (x) 15 1).

5、 . f(x)衣 (1)n 0 7 2n 试求过直线 x 解设过直线 x 13x 15 2x 3 1 2(x 1) 丄 28 (x (n) 1)n , f (n)( 1) 1)nn! 7 2* 1 y 5y ，且与曲面 0 x2 2 y相切的平面方程. . y 5y z 的平面方程为(1 0 )x (1 5 )y z 2 3 0, 设切点为(X0,y,Z0), (1 )x (1 共 4页 第 3页 2x0 1 Zo 2 y0 1 5 2 2 xo y 5 )y。 1 z0 (1) 由(2 2), (3 3)解得 X。 1 2 ,y。 1 5 Y ,Zo (1 )2 (1 4 2 竺,代入)1

6、1) ，解 2x 4y z 5 0和8x 2y z 17 01414. 将 f(x) 1 x 在0, 上展成余弦级数 2 2 解 a0 0 (1 x)dx 2 ， an n 1,2,L , 1 4 1 2 cos(2 n 得 ，从而两切平面方程分别为 1 1)x n 1 1, 2 0(1 x)cos nxdx 四(15)(15)(本题满分 8 8 分)设ab 0, , f(x,y)具有二阶连续偏导数, 2 (1 n 0, 1)n)， bV y 2 , ,f (ax, bx) ax, fx(ax,bx) bx，求 faX/bx) , fxy(ax,bx) , fyy(ax,bx). . 解 对f

7、 (ax, bx) ax的等号两端关于 x求导，得afx bfy a , (1 1) 2 对fx(ax,bx) bx的等号两端关于 x求导，得afxx bfxy 2bx , (2 2) 对)1 1)式的等号两端关于 x求导，得a2f xx 2abfxy b fyy 0 , ( 3 3) 从)2 2), (3 3)及条件a2 x b22 y 0解得 fxy(ax, bx) 0, fxx(ax,bx) , fyy(ax,bx) a 2a x b x2n 五)1616)(本题满分 8 8 分)求幕级数 丄的和函数，并指明收敛域 n 0(2 n)! x2n 2 共 4页 第 4页 S(0) 1,S(0) 0, S(x) 收敛. . 证易知 an是正数列，且 an an 1 an 2 0,所以an单调递增， 故an an 1 an 2 2an 1， 从而an 1 1 an， .曰 3 是 an an 1 an 2 an 2 2 2 n 2 n 2 C 1 2 1 2 1 , 2 1 2 门 0 L ，n 3,4, L ， an 3 an 1 3 a n 2 3 a2 3 而级数 n 2 2 收敛，由比较判别法得知 1 -收敛. n 1 3 n 1 an 解lim 竽lim n (2n 2)! x n x2 (2n 1)(2n 2) 0，