物理分析过程中存在的几个逻辑问题

1、物理分析过程中存在的几个逻辑问题物理学是非常讲究逻辑推理的一门科学。但在中学教学过程中，的确存在几个具体的问题，在逻辑推理的过程中存在一些问题。本文就此做一小结，以引起同行的注意，并希望能起到抛砖引玉之功效。问题一试对下面这句话的正误做出判断并说明理由：“当 r 很小时，物体间的引力将趋于无穷大。”通常的思路是：当两物体间的距离很小时，引力公式FG m1m2不再成立，因为此r 2时两物体不再可以看成质点。所以说r 很小时引力趋于无穷大是错误的。从表面上看，上面的推理似乎无懈可击。但实际上却存在着严重的逻辑问题。“当 r很小时，公式 FG m1m2 不再成立。”这句话意思是说，由FG m1 m2

2、作出的推断将变得r 2r 2不可靠 。但绝不能用这样的意思来取代：它做出的推断是错误的。相反地，为了得知 r 趋于 0 时物体间引力的大小。 我们不但不能让公式FG m1 m2不r 2成立，还要想办法满足它的成立条件。要知道，对于高中生来说，这是唯一一个可用来分析引力的规律。失去了它，就等于失去了一切，那样我们也只能面对我们的困难而束手无策。那么，如何满足公式 FG m1m2 的成立条件呢？一个简单的做法是我们所取的两个r 2物体都是均匀球。为了便于分析，我们设两球的质量都为m，半径都为 R。为了让它们间的距离最小（这正是我们想要的条件），可以把两球靠在一起，如图1 所示。但这时计算不就的距离

3、时应从球心开始，两球间的距离应为2R。RR图 1由公式 FG m1m2可知，两球间的引力r 2m2FG2R2 （1）设球的密度为，有：m4R33 （2）将（ 2）式代入（ 1）式并整理可得：F4G22 R49 （3）上式中除了R 之外其余均为常数。 我们可以看到， 当 R 减小时， 两球间的距离也减小，这时，两球间的引力不但没有增大，反而以很快的速度减小。这说明，当两物体间的距离很小时，它们间的引力也将变得很小，而不是无穷大。那么，如何理解公式 FG m1m2 呢？从上面的推理过程可以看出，当我们非要减小r 2FG m1m2两物体间的距离是，必须是以牺牲两物体的质量为代价的。在公式中，当 rr

4、 2很小时，物体的质量的乘积将变得更小，从而引力变得更小。问题二设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上。假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的，月球仍沿开采前的圆轨道运动，则与开采前相比，地球与月球间的万有引力将如何变化？常规的思路是，由于地球与月球的总质量不变，可以考虑均值不等式。当两者质量相等时质量的乘积有最大值，依据F G m1m2可知二者间的作用力有最大值。在这个问题r 2中，由于一开始地球的质量大于月球，搬运之后地球质量比月球质量大得更多，因此乘积变得更小，两者间的引力交变得更小。现在我们讨论上面分析过程的逻辑。对于两个正数，和有定值，积有最大，当且仅当二者相等时取到最

5、大值。这的确是均值不等式的内容。但认真考虑我们能够发现，这是规律只是预言了何时取到最大值，并末对函数的单调性做出任何说明。在常规的思路中，其实是挂着何时取到最大的幌子，悄悄用到了函数的单调性。这两者间是没有任何逻辑关系的。但是，的确上面所说的在二者质量不等时相差越多，乘积就越小的单调的结论是正确的，证明如下（在证明之前我们不能单靠直觉就认为它是正确的）设 m 为常数， x 为变量， m+x 为一物体的质量，m-x 为另一物体的质量。构造函数：ymx mx整理有：yx2m2可以看到，这是一个关于二者质量的差的一半x 的函数。 x 的绝对值越小，即二者质量相差越小，函数值就越大；x 的绝对值越在，

6、即二者质量相差越多，函数值就越小。当然，对于高中的学生来说下面的解法或者更易接受。设地球质量为M ，月球质量为m（ M>m ）。从月球搬回地球的矿藏质量为m ，则：Mm m m Mm M m mm 2Mm由 FG m1 m2知，般运之后地球和月球间的引力减小了。r 2问题三如图所示，用斧头劈柴，可将斧头看做顶角为的尖劈，如果作用于斧头上的力为F ，则斧头侧面对木柴的挤压力N=。FNN解：将力 F 分解为垂直两个侧面的分力。如图所示，有F2 sinN2解得：NF2sin2在上面的求解过程中，看不出有什么问题。但我们要清楚：自始至终，求的是力F 的分力。题目中问的是斧头的侧面对木柴和挤压力。

7、这两个力相等吗？或者要求再高一点，这两个力是一个力吗？在解答中显然对这两点未加任何的说明，但有默认上面两个问题中至少一个的意思。事情真的是这样吗？我们先来考虑上面的第二个问题。力 F 作用在了斧头上，它的两个分力可以等效替代力F ，因此这两个分力也必然作用在了斧头上。而斧头侧面对木柴的挤压力是作用在了木柴上。受力物体不同，因此这两个力不是一个力。再来考虑上面提出的第一个问题。首先，这两个力不是一对平衡力，因为它们作用了在了两个物体上。因而不可能通过二力平衡确定二力相等。其次，它们也不是相互作用力（斧头挤压木柴与木柴斧头的力是一对相互作用力），因为它们的方向相同。因此也不可能通过牛顿第三定律确定二力相等。那么，除了我们的主观臆断之外，还有什么理由不加任何说明就认为这两个力是相等的呢？下面，我们通过计算寻找两个力的关系。设木柴对斧头的两个分力均N ' ，力 F 的两个分力均为N 。斧头的质量为 m ，劈柴时斧头向下的加速度为a 。由牛顿第二定律可得：mg2 N N ' sinma2整理可得：2 NN ' sinm ga2从上面的表达式可以看出：（ 1）当 ag 时， NN '，力 F 的分力等于斧对木柴的挤压力；（ ）当 ag 时， NN '，力F的分力大于斧对木柴的挤压力；2（ 3）当