高三数学杨浦静安青浦宝山二模理

1、静安、杨浦、青浦、宝山20132014 学年数学试卷（理科）一、填空题 ( 本大题共有 14 题，满分 56 分) 1. 二阶行列式iii1101的值是 . （其中i为虚数单位）2. 已知ji,是方向分别与x轴和 y 轴正方向相同的两个基本单位向量， 则平面向量ji的模等于 . 3. 二项式7) 1(x的展开式中含3x项的系数值为 _. 4. 已知圆锥的母线长为 5, 侧面积为 15 , 则此圆锥的体积为 _.( 结果中保留) 5. 已知集合sin,ay yx xr，21,bx xnnz，则 abi . 6. 在平面直角坐标系xoy中，若圆22(1)4xy上存在a，b两点，且弦ab 的中点为(

2、1,2)p，则直线ab的方程为 . 7. 已知1loglog22yx，则yx的最小值为 _. 8. 已知首项31a的无穷等比数列na)(*nn的各项和等于4，则这个数列na的公比是9. 在平面直角坐标系xoy中，曲线1c的参数方程为,sin2,cos2yx（为参数） ，o为坐标原点，m 为1c上的动点， p 点满足2opomuuu ruu uu r，点p 的轨迹为曲线2c则2c的参数方程为 . 10. 阅读右面的程序框图， 运行相应的程序， 输出的结果为 . 11. 从 5 男和 3 女 8 位志愿者中任选3 人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量 表示所选3 人中女志愿者的人数，则 的数学期望

3、是12. 设各项均不为零的数列nc中，所有满足01iicc的正整数i的个数称为这个数列nc的变号数 . 已知数列na的前n项和442nnsn，nnab41（*nn） ，则数列nb的变号数为 . 结束开始输出yx否是第 10 题adcfpb13. 已知定义在, 0上的函数)(xf满足)2(3)(xfxf. 当2, 0 x时xxxf2)(2. 设)(xf在nn2,22上的最大值为na，且数列na的前n项和为ns，则nnslim . （其中*nn）14. 正方形1s 和2s 内接于同一个直角三角形abc中，如图所示，设a，若4411s，4402s，则2sin . 二、选择题 (本大题共有 4 题，满

4、分 20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分15. 在实数集r上定义运算：(1)xyxy若关于x的不等式()0 xxa的解集是集合| 11xx的子集，则实数a的取值范围是（）. 16“1”是“函数xxxf22cossin)(的最小正周期为”的（）. )(a充分必要条件)(b充分不必要条件)(c必要不充分条件)(d既不充分又必要条件17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等, 圆柱、球的表面积分别记为1s、2s, 则1s:2s=（）. )(a 1:1 )(b2:1 )(c 3:2 )(d 4:1 18. 函数( )f x的

5、定义域为实数集r，. 01, 1)21(, 10,)(xxxxfx对于任意的 xr都有(1)(1)f xf x. 若在区间 1,3上函数( )( )g xf xmxm恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是（）. 三、解答题 (本大题共有 5 题，满分 74 分) 解答下列各题须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19 （本题满分 12 分）如图， 四棱锥 pabcd 中， 底面 abcd 是平行四边形，90cad， pa平面 abcd ，1pabc，2ab，f是 bc 的中点 .（1）求证： da平面 pac ；（2）若以 a为坐标原点，射线ac 、 ad 、 ap 分别是轴、轴、轴的

6、a b c d e f s1a b c p n f s2m q dacb (第 20 题图) 正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1 ,1 , 1(n是平面 pcd 的法向量，求平面 paf 与平面 pcd所成锐二面角的余弦值 . 20 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6分，第 2 小题满分 8 分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点o为圆心的两个同心圆弧ad、弧 bc 以及两条线段ab和cd 围成的封闭图形花坛设计周长为30 米，其中大圆弧 ad 所在圆的半径为 10米设小圆弧 bc 所在圆的半径为x米（100 x） ，圆心角为弧度（1）

7、求关于x的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4 元/ 米，两条弧线部分的装饰费用为9 元/ 米设花坛的面积与装饰总费用的比为y，当x为何值时，y取得最大值？21 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5分，第 2 小题满分 9 分已知椭圆2222:1xycab(0)ab的右焦点为f(1,0)，短轴的端点分别为12,b b，且12fbfbauu ur uu u u r. （1）求椭圆 c 的方程；（2）过点f且斜率为 k(0)k的直线 l 交椭圆于,mn两点，弦 mn 的垂直平分线与x轴相交于点d. 设弦 mn 的中点为p，试求dpmn的

8、取值范围22 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 6 分设函数xxg3)(，xxh9)(. （1）解方程：)9)(log)8)(2(log33xhxgx；（2）令3)()()(xgxgxp，3)(3)(xhxq，求证：（3）若bxgaxgxf)()1()(是实数集r上的奇函数， 且0)(2() 1)(xgkfxhf对任意实数x恒成立，求实数 k 的取值范围 . 23 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分设各项都是正整数的无穷数列na满足：

9、对任意*nn，有1nnaa记nanab（1）若数列na是首项11a，公比2q的等比数列，求数列nb的通项公式；（2）若nbn3，证明：21a；（3）若数列na的首项11a，1nanac，nc是公差为1 的等差数列记nnnad2，nnndddds121，问：使5021nnns成立的最小正整数n是否存在？并说明理由试卷解答一填空题（本大题满分56 分）12； 22 335； 4 12 51,1 ；630 xy7. 22；841 9,sin4,cos4yx（为参数） ； 10. 13811.895613561525630156100e123 13.23141012sin二、选择题（本大题满分20 分

10、）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5 分，否则一律得零分 . 15d；16b；17c；18d ；三、解答题 （本大题满分 74 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 191(0,0,0),(1,0,0),(1, 1,0),(0,1,0),(1,0),(0,0,1)2acbdfp. (1) 证明方法一：q四边形是平行四边形，q pa平面 abcdpada，又 acda，acpaai，da平面 pac . 方法二：证得dauu u r是平面 pac的一个法向量，da平面 pac . (2

11、) 通过平面几何图形性质或者解线性方程组, 计算得平面 paf 一个法向量为(1,2,0)mu r，又平面 pcd 法向量为(1,1,1)nr，所以|15cos,5| |m nm nm nu r ru r ru rr所求二面角的余弦值为155. 20(1) 设扇环的圆心角为，则30102(10)xx，所以10210 xx， (2)花坛的面积为2221(10)(5)(10)550, (010)2xxxxxx装饰总费用为9108(10)17010 xxx，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550=1701010(17)xxxxyxx，令17tx，则3913243()101010ytt，当且仅

12、当 t =18时取等号，此时121,11x答：当1x时，花坛的面积与装饰总费用的比最大21 （1）依题意不妨设1(0,)bb，2(0, )bb，则1( 1,)fbbuuu r，2( 1, )fbbuuu u r. 由12fbfbauuu r uu uu r，得21ba. 又因为221ab，解得2,3ab. 所以椭圆 c 的方程为22143xy. （2） 依题意直线 l 的方程为(1)yk x. 由22(1),143yk xxy得2222(34)84120kxk xk. 设11(,)m xy，22(,)n xy，则2122834kxxk，212241234kx xk. 所以弦 mn 的中点为22

13、243(,)3434kkpkk. 所以222212121212()()(1)()4mnxxyykxxx x422222644(412)(1)(34)34kkkkk2212(1)43kk. 直线pd的方程为222314()4343kkyxkkk，由0y，得2243kxk，则22(,0)43kdk，所以2223(1)43kkdpk. 所以22222223(1)14312(1)4143kkdpkkkmnkk211141k. 又因为211k，所以21011k. 所以211101414k. 所以dpmn的取值范围是1(0, )4. 22 （1）99)832(3xxx，93x，2x（2）21323)21(

14、)20141007(pp，2163)21()20141007(qq因为1333333333333)1()(11xxxxxxxxpxp，所以，211006)20142013()20142()20141(ppp，211006)20142013()20142()20141(qqq)20142013()20142()20141(ppp=)20142013()20142()20141(qqq（3）因为bxaxxf)()1()(是实数集上的奇函数，所以1,3 ba. )1321 (3)(xxf，)(xf在实数集上单调递增 . 由0)(2()1)(xgkfxhf得)(2()1)(xgkfxhf，又因为)(x

15、f是实数集上的奇函数，所以，)2)() 1)(xgkfxhf，又因为)(xf在实数集上单调递增，所以2)(1)(xgkxh即23132xxk对任意的rx都成立，即xxk313对任意的rx都成立，2k. 23 （1）1111abaa，242112211nannnnaab；（2）根据反证法排除11a和*113()aan证明：假设12a，又*nan，所以11a或*113 ()aan当11a时，1111abaa与13b矛盾，所以11a；当*113 ()aan时，即1113aaba，即11aaa，又1nnaa，所以11a与*113 ()aan矛盾；由可知21a（3）首先na是公差为1 的等差数列，证明如下：1nnaa*2,nnn时1nnaa，所以11nnaa()nma