专题1转化与化归思想【高考文科数学】数学思想方法含答案

1、第四讲转化与化归思想1转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题2转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等， 消去法、 换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性3转化与

2、化归思想的原则(1) 熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决(2) 简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的(3) 具体化原则：化归方向应由抽象到具体(4) 和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式； 或者转化命题， 使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律(5) 正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其

3、反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决1 (2012 北京 ) 已知 an为等差数列，sn为其前n项和若a112，s2a3，则a2 _. 答案1 解析设出等差数列的公差，列方程求解设an 的公差为d，由s2a3知，a1a2a3，即 2a1da12d，又a112，所以d12，故a2a1d1. 2 (2013 重庆 )4cos 50 tan 40 等于( ) a.2 b.232c.3 d221 答案c 解析4cos 50 tan 40 4sin 40 cos 40 sin 40 cos 40 2sin 80 sin 40 cos 40 2sin50 30sin 40 cos 40

4、 3sin 50 cos 50 sin 40 cos 40 3sin 50 cos 40 3. 3 (2012 重庆 ) 已知alog23 log23，blog29log23，clog32，则a，b，c的大小关系是( ) aabccabbc答案b 解析alog23 log23log233，blog29log23log233，ab. 又函数ylogax(a1) 为增函数，alog233log221，clog32c. 4 (2011 天津 ) 对实数a和b，定义运算“ ?” ：a?ba，ab1，b，ab1.设函数f(x) (x22) ?(x1) ，xr. 若函数yf(x) c的图象与x轴恰有两个公

5、共点，则实数c的取值范围是 ( ) a( 1,1 (2， ) b( 2， 1 (1,2 c( ， 2)(1,2 d 2， 1 答案b 解析依题意可得f(x) x2 2， 1x2，x1，x2，作出其示意图如图所示由数形结合知，实数c需有 1c 2或 2c 1，故选 b. 5 (2013 山东 )设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当xyz取得最大值时，2x1y2z的最大值为( ) a0 b 1 c.94d3 答案b 解析由已知得zx23xy 4y2(*) 则xyzxyx23xy4y21xy4yx31，当且仅当x2y时取等号，把x2y代入 (*) 式，得z2y2，所以2x1y2z1y1y

6、1y21y 1211. 题型一特殊与一般的转化例 1(1)e416，e525，e636( 其中 e 为自然常数 ) 的大小关系是( ) a.e416e525e636b.e636e525e416c.e525e416e636d.e636e416e525(2) 在定圆c：x2y24 内过点p( 1,1) 作两条互相垂直的直线与c分别交于a，b和m，n，则|ab|mn|mn|ab|的范围是 _审题破题(1) 观察几个数的共同特征，可以构造函数，利用函数的单调性比较数的大小；(2) 由于题目条件中过点p( 1,1) 可作无数对互相垂直的直线，因此可取特殊位置的两条直线来解决问题答案(1)a (2)2，3

7、22解析(1) 由于e416e442，e525e552，e636e662，故可构造函数f(x) exx2，于是f(4) e416，f(5)e525，f(6) e636. 而f(x) exx2exx2ex2xx4exx22xx4，令f(x) 0 得x0 或x2，即函数f(x) 在 (2， ) 上单调递增，因此有f(4) f(5) f(6) ，即e416e525e636. (2) 设|ab|mn|t，考虑特殊情况：当ab垂直op时，mn过点o，|ab| 最小， |mn| 最大，所以t最小22，t最大2. 所以t22，2 . 又因为t1t2 t1t2， 所以t1t2，322. 反思归纳当问题难以入手

8、时，应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析， 发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素，然后推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡，这就是特殊化的化归策略数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时， 有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题变式训练1 已知等差数列an 的公差d0，且a1、a3、a9成等比数列，则a1a3a9a2a4a10的值是_答案1316解析由题意知，只要满足a1、a3、a9成等比数列的条件，an取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的因此，可把抽象数列化归为具体数列比如，可选取数列ann(nn*) ，则a1a3a9a2

9、a4a101 3924101316. 题型二正难则反转化例 2若对于任意t 1,2， 函数g(x) x3m22x22x在区间 (t,3) 上总不为单调函数，则实数m的取值范围是_审题破题函数总不为单调函数不易求解，可考虑其反面情况：g(x) 在区间 (t,3) 上为单调函数答案373m5 解析g(x) 3x2(m 4)x 2，若g(x) 在区间 (t,3) 上总为单调函数，则g(x)0 在(t,3) 上恒成立，或g(x) 0 在(t,3) 上恒成立由得3x2(m4)x20，即m42x 3x在x (t,3) 上恒成立，m42t 3t恒成立，则m4 1，即m 5；由得m42x3x在x(t,3) 上

10、恒成立，则m4239，即m373. 函数g(x) 在区间 (t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为373m5. 反思归纳正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想一般有两种情形：正面解决比较困难，正面出现多种情形，可考虑从反面解决，体现了对立统一，相互转化的思想变式训练2 (2012 北京 ) 已知f(x) m(x2m)(xm3) ，g(x) 2x2， 若?xr，f(x)0或g(x)0，则m的取值范围是_答案( 4,0) 解析将问题转化为g(x)0 的解集的补集是f(x)0 的解集的子集求解g(x) 2x20，x1. 又?x r，f(x)0 或g(x)0，1 ， ) 是f(x)0 的解集的子

11、集又由f(x) m(x2m)(xm3)0 知m不可能大于等于0，因此m0. 当m0时，f(x)0 ，若 2mm3，即m 1，此时f(x)m 3，即 1m0，此时f(x)2m或xm3 ，依题意 2m1，即 1m0；若 2mm 3， 即m 1， 此时f(x)0 的解集为 x|xm3， 依题意m34， 4m 1. 综上可知，满足条件的m的取值范围是4m1. (1) 讨论f(x) 的单调性；(2) 若当x 0 时，f(x)0 恒成立，求a的取值范围审题破题(1) 求f(x) 0 的根，比较两根的大小、确定区间，讨论f(x) 的单调性；(2) 将f(x)0 恒成立转化为f(x) 的最小值大于0. 解(1

12、)f(x)x22(1 a)x4a(x 2)(x2a) 由已知a1， 2a2，令f(x)0，解得x2a或x1 时，f(x)在区间 ( ， 2) 和(2a， ) 上是增函数，在区间(2,2a) 上是减函数(2) 由(1) 知，当x 0 时，f(x) 在x2a或x0 处取得最小值f(2a)13(2a)3(1a)(2a)24a2a24a43a34a224a43a(a6)(a3)，f(0) 24a. 由题设知a1，f2a0，f00，即a1，43aa3a60，24a0，解得 1aln(n1)(nn*) (1) 解g(x)1ef(x) (x 1) ln x(x 1) ，g(x) 1x1(x0) 令g(x)0

13、 ，解得 0 x1；令g(x)1. 函数g(x) 在(0,1) 上单调递增，在(1 ， ) 上单调递减，g(x)极大值g(1) 2. (2) 证明由(1) 知x1 是函数g(x) 的极大值点，也是最大值点，g(x) g(1) 2，即 ln x(x1) 2? ln xx1( 当且仅当x1 时等号成立 ) ，令tx1，得tln(t1) ，取t1n(nn*) ，则1nln11n lnn1n，1ln 2 ，12ln 32，13ln 43，1nlnn1n，叠加得 112131nln(2 3243n1n) ln(n 1). 典例(12 分) 已知函数f(x) 13x3a243x24323a x(a是小于

14、1 的正实数，xr)若对于任意的三个实数x1，x2，x31,2，都有f(x1) f(x2)f(x3) 恒成立，求实数a的取值范围规范解答解因为f(x) x2a83x4323ax23(xa2) ，所以令f(x) 0，解得x123，x22a. 2 分 由 0a1，知 12a0，得x2a；令f(x)0 ，得23x2a，所以函数f(x) 在(1,2 a) 上单调递减，在(2a,2) 上单调递增5分 所以函数f(x) 在1,2上的最小值为f(2a) a6(2a)2，最大值为maxf(1) ，f(2)max13a6，23a. 因为当 0a25时，13a623a；当25a13a6，由对任意x1，x2，x31

15、,2，都有f(x1) f(x2)f(x3) 恒成立， 得 2f(x)minf(x)max(x1,2)7 分 所以当 013a6，结合 0a25可解得 122a25；9 分 当25a23a，结合25a1可解得25a22.11分 综上，知所求实数a的取值范围是122a22. 12 分 评分细则(1) 求出f(x) 给 1 分； (2) 讨论时将a的范围分为0a25和25a1 一样给分；讨论时a的值有重、漏情况扣1 分； (3) “综上”结论不写扣1 分阅卷老师提醒将已知不等式恒成立准确转化为关于函数f(x) 在1,2上的最大值和最小值问题是解决本题的一个突破口此外，要注意函数f(x) 在1,2上的

16、最大值不能直接由函数的图象得到，而必须讨论f(1) 与f(2) 的大小关系1设p为曲线c：yx22x 3 上的点，且曲线c在点p处切线倾斜角的取值范围为0，4，则点p横坐标的取值范围为( ) a. 1，12b 1,0 c0,1 d.12，1答案a 解析设p(x0，y0) ，倾斜角为，0 tan 1，f(x) x22x3，f(x) 2x2,02x021， 1x012，故选 a. 2 设a22(sin 17 cos 17 ) ，b2cos213 1，c32，则a，b，c的大小关系是( ) acabbacbcbacdcba答案a 解析a222sin(17 45) sin 62 ，bcos 26 si

17、n 64 ，c sin 60 ，cab. 3 方程 sin2xcos xk0 有解，则k的取值范围是( ) a 1k54b54k0 c0k54d54k1 答案d 解析求k sin2xcos x的值域kcos2xcos x1(cos x12)254. 当 cos x12时，kmin54，当 cos x 1 时，kmax1，54k1，故选 d. 4 在平面直角坐标系xoy中，已知圆x2y24 上有且只有四个点到直线12x5yc0的距离为 1，则实数c的取值范围是 _答案( 13,13) 解析由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心 (0,0) 到直线的距离d满足 0d1. d|c|122

18、52|c|13， 0|c|0 的最小正整数n为( ) a7 b 8 c9 d10 答案b 解析an为等差数列，s130，a1a132a70，又a1 120 的最小正整数n为 8. 3ab是过抛物线x24y的焦点的动弦，直线l1，l2是抛物线两条分别切于a，b的切线，则l1，l2的交点的纵坐标为( ) a 1 b 4 c14d116答案a 解析找特殊情况，当aby轴时，ab的方程为y1，则a( 2，1) ，b(2,1) ，过点a的切线方程为y1 (x 2) ，即xy10. 同理，过点b的切线方程为xy10，则l1，l2的交点为 (0 ， 1)4 (2012 浙江 ) 若正数x，y满足x3y5xy

19、，则 3x4y的最小值是( ) a.245b.285c5 d6 答案c 解析x0，y0，由x3y5xy得151y3x 1. 3x4y15(3x4y)1y3x153xy4912yx135153xy12yx135152 3xy12yx5( 当且仅当x2y时取等号 ) ，3x4y的最小值为5. 5 棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( ) a.a33b.a34c.a36d.a312答案c 解析所得图形为一个正八面体，可将它分割为两个四棱锥，棱锥的底面为正方形且边长为22a，高为正方体边长的一半，v21322a2a2a36. 6 设f1，f2分别是双曲线x2a2y2b

20、21(a0，b0) 的左， 右焦点， 若双曲线右支上存在一点p，使(opof2) f2p0，o为坐标原点， 且|pf1| 3|pf2| ，则该双曲线的离心率为( ) a.31 b.312c.62 d.622答案a 解析如图，取f2p的中点m，则opof22om. 又由已知得omf2p0，omf2p. 又om为f2f1p的中位线，f1ppf2. 在pf1f2中， 2a|pf1| |pf2| (3 1)|pf2| ，2c2|pf2|. e23131. 7p为双曲线x29y216 1 的右支上一点，m、n分别是圆 (x5)2y24 和(x 5)2y21上的点，则 |pm| |pn| 的最大值为( )

21、 a6 b 7 c 8 d 9 答案d 解析设双曲线的左、右焦点分别为f1、f2，则其分别为已知两圆的圆心，由已知 |pf1| |pf2| 236. 要使 |pm| |pn| 最大，需pm，pn分别过f1、f2点即可(|pm| |pn|)max(|pf1| 2) (|pf2| 1) |pf1| |pf2| 39. 8 已知函数f(x) 1xx22x33x44x2 0132 013，g(x) 1xx22x33x44x2 0132 013，设f(x) f(x4)g(x4)，且函数f(x) 的零点在区间 a 1，a 或 b1，b(a0，x 1 时，f(x) 2 0130. f(x) 在 r上单调递增

22、又f(0) 1，f(1) (11) 121312 01212 0130，f(x) 在 1,0 内有唯一零点，故f(x4) 的唯一零点在 5， 4 内同理g(x4) 的唯一零点在 5,6内，因此，b6，a 4，ab2. 二、填空题9 设f(x) 是定义在r上的单调增函数， 若f(1axx2) f(2 a) 对任意a 1,1 恒成立，则x的取值范围为_答案x 1 或x0 解析f(x) 在 r上是增函数，由f(1 axx2) f(2 a) 可得 1axx22a，a 1,1 a(x 1) x21 0，对a 1,1 恒成立令g(a) (x1)ax21. 则当且仅当g( 1) x2x20，g(1) x2x

23、 0，解之，得x0 或x 1. 故实数x的取值范围为x 1 或x0. 10在 rtabc中，c2，a，b，c分别为角a，b，c所对的边，r，s分别表示它的内切圆半径和面积，则crs的取值范围是_答案222,1) 解析由题意，得s12ab12c2sin asin b，r12(abc) 12c(sin asin b1) ，从而crssin asin b1sin asin b，设 sin asin bt，则 sin asin b12(t21) ，crs2t1t212t1，因为ab2，所以tsin asin b2sina4(1，2 所以crs的取值范围是222,1) 11 如果函数f(x) x2ax2 在区间 0,1 上至少有一个零点，则实数a的取值范围是_答案a3 解析由题意，知关于x的方程x2ax20 在0,