第三讲测量不确定度

1、+第三讲测量基础知识与测量不确定度一 测量误差1. 定义：测量结果减去被测量的真值。误差应该是一个确定的值，是客观存在的测量结果与真值之差。但由于真值 往往不知道，故课差无法准确得到。2. 类型：随机误差、系统误差、粗大误差2.1随机误差：误差的大小及符号事先不知道，但随着测量次数的增多，则遵 守一定的统计规律。2.2系统误差：在同一条件下，误差的大小及符号均固定不变，或按照一定的规 律变化，通常它可以预先设法知道。2.3粗大误差：由于测量者的疏忽大意，不小心，或环境条件突然变化而引起的 误差。应设法判定是否存在，然后将此类误差剔出。2. 3. 1剔岀准则3(7准则3/准则又称莱以达准则。当测

2、量结果(测量列)中，某一数据的残余误差 的绝对值川3<7时，则剔除此数据。因为各测得值分布按随机误差，且按止态分布, 则残余误差卩落在±3/以外的概率只有0.27%,它在有限次重复测量中发生的可能 性很小，故当|v| > 时，即可判断此数据含有疏忽误差而予弃舍。3/准则比较保守，因为在测量次数有限时，出现在靠近±3”界限外的数据极 少，除非有较大的疏忽误差，否则|v|>3cr而导致数据被剔除的可能性很小。3/准则只宜用于得复测量次数较多(有的资料推荐测量次数“>50)的重要 测量中。肖维勒(chauvenet)准则肖维勒准则也是以正态分布为前提的。假

3、设多次重复测量所得“个测得值 中，某数据的残余误差h>z,则剔除此数据，实用中z( <3,这在一定程度上 弥补了 3”准则的不足。n31.3841.5451.6561.737i.8081.8691.92101.96112.00n乙122.03132.0714201523162.15182.20202.24252.33302.39n402.49502.58表51肖维勒准则中的乙值二. 有效数字由截取得到的某一近似数，从第一个不是零的数字起，到所截取的数位止， 所有数字均称为有效数字。一个近似数有几个有效数字，也叫这个近似数有几个数位，如3.1416、2173、 280.00均为五位有

4、效数字。0.00134, 134, 1.34是三位有效数字。在判断有效数字吋，要特别注意“0”这个数字。它可以是有效数字，也可 以不是。对待近似数时，不可以随便去掉小数点部分右边的0,或加上。因为这样做 的结果，虽不会改变这个数的大小，却改变了它的精度。三. 近似计算（1）加减运算如果参与运算的数不超过10个，小数位数较多的近似数，只需比小数位数 最少的那个近似数多保留一位，而计算结果应保留的小数位数和参与运算的最少 小数位数相同，若计算结果要参与下一步运算，则可保留一位。18.3+ 1.4546 +0.876 t18.3 + 1.45 + 0.88 = 20.63计算结果20.6若参与运算2

5、0.6325.38 + 0.1046 3.273 t25.38 + 0.105 - 3.237 t= 22.248 « 22.25（2）乘、除（或开方、乘方）运算在进行乘除运算时，以有效位数最少的那个数为准，其余的数的有效数字均比它多保留一位，计算结果的位数，应与参加运算数据里有效数字最少的位数相同。若计算结果要参与下一步运算，则可多保留一位。1.1x0.3268x0.10300l.lx 0.327 x 0.103 = 0.0370 - 0.037四。近似数的截取近似数的截取方法有四舍五入去尾、收尾法等，最普遍的是四舍五入法。修约规定：（1）被舍入数字的第一位（最左一位）数字小于5时

6、，则舍去，如8765.43 川 >87654.5846>4.58（2）被舍入数字的第一位（最左一位）大于5或等于5,并h其后有不为0的 数字，则保留的末位数加1。4.5851 "立 >4.599876.54°位 >9877（3）被舍入数字第一位为5,并且其后的数字为0或无任何数字，当保留数字 的末位数为偶数，则舍去，奇数则进一。1234.5-12348765.5 t 8766840.5 t 840五测量不确定度（测量质量的评价）5. 1定义：与测量结果相关联的一个参数,用以表征合理地赋予被测量之值 的分散性。误差与不确定度是两个不同的概念，不应混淆或

7、误用。测量不确定度是说明 测量分散性的参数，由人们经过分析和评定得到。因而与人们的认识程度有关。 测量结果可能非常接近真值（即误差很小），但由于认识不足，评定得到的不确 定度可能较大。也可能测量误差实际上较大，但由于分析估计不足，给出的不确 定度却偏小。因此，在进行不确定分析时，应充分考虑各种影响因素，并对不确 定度的评定加以验证。测量误差与测量不确定度的主要区别见表5. 1。序号测量误差测量不确定度1有正号或负号的量值，其值为测量结果减去被 测量的真值无符号的参数，用标准差或标准差的倍数 或置信区间的半宽表示2表叨测量结果偏离真值表明被测量值的分散性3客观存在，不以人的认识程度而改变与人们对

8、被测最、影响量及测量过程的认 识有关4由于真值未知，往往不能准确得到，当用约定 真值代替真值时，可以得到共估计值可以止|人们根据实验、资料、经验等信息 进行评定，从而可以定最确定。评定方法 有a, b两类5按性质可分为随机误差和系统课差两类，按定 义随机误差和系统误差，都是无穷多次测量常 况下的理想概念不确定度分量评定时一般不必区分共性 质，若需要区分时应表述为：“由随机效应 引入的不确定度分量”和“由系统效应引 入的不确定度分量”6已知系统误差的估计值吋可以对测戢结果进行 修正，得到已修正的测量结果不能用不确定度对测量结果进行修正，在 己修正测量结果的不确定度中应考虑修正 不完善而引入的不确

9、定度测量仪器的特性可以用最大允许误差、示值误差等术语描述。在技术规范、 规程屮规定的测量仪器允许误差的极限值，称为“最大允许误差”或“允许误差 限”。它是制造厂对某种型号仪器所规定的示值误差的允许范围，而不是某一台 仪器实际存在的误差。测量仪器的最大允许误差可在仪器说明书中查到，用数值 表示时有正负号，通常用绝对谋差、相对课差、引用谋差或它们的组合形式表示。 例如土0. 1/v, ±1%, ±1x1o-6满量程值，土（0.1%读数+0. ins）等。测量仪器 的最大允许误差不是测量不确定度，但可以作为测量不确定度评定的依据。测量 结果中由测量仪器引入的不确定度可根据该仪器的

10、最大允许误差按b类评定方 法评定。测量仪器的示值与对应输入量的约定真值之差，为测量仪器的示值误差。对 于实物量具，示值就是其标称值。通常用高一等级测量标准所提供的或复现的量 值，作为约定真值（常称校准值或标准值）。在检定工作中，当测量标准给出的 标准值的扩展不确定度过被检仪器最大允许误差的1/31/10时，且被检仪器的 示值误差在规定的最大允许误差内，则可判为合格。5.2产生测量不确定度的原因和测量模型化（一）、测量不确定度的来源测量过程中有许多引起不确定度的来源，它们可能来自以下几个方面:（1）对被测量的定义不完整例如：定义被测量是一根标称值为5长的钢棒的长度。如果要求测准至pin 量级，则

11、被测量的定义就不够完整。因为此时被测钢棒受温度和压力的影响已较 明显，而这些条件没有在定义中说明，由于定义的不完整使测量结果引入温度和 压力影响的不确定度。这时完整的被测量定义应是:标称值为lm的钢棒在25. 0°c 和101 325pa时的长度。若在定义要求的温度和压力下测量，就可避免由此引起 的不确定度。（2）实现被测量定义的方法不理想如上例，完整定义的被测量，由于测量吋温度和压力实际上达不到定义的要 求（包括由于温度和压力的测量本身存在不确定度），使测量结果引入不确定度。 又如在微波测量中，“衰减”量是在匹配条件下定义的，但实际测量系统不可能 理想匹配，因此失配会引起不确定度。

12、（3）取样的代表性不够，即被测量的样本不能完全代表所定义的被测量例如：被测量为某种介质材料在给定频率时的相对介电常数。由于测量方法 和测量设备的限制，只能取这种材料的一部分做成样块，然后对其进行测量，如 果测量所用的样块在材料的成分或均匀性方面不能完全代表定义的被测量，则样 块就引起测量不确定度。（4）对测量过程受环境影响的认识不周全或对环境条件的测量与控制不完 善同样以上述钢棒为例，不仅温度和压力影响其长度，实际上，湿度和钢棒的 支撑方式都有明显影响，但由于认识不足，没有采取措施，就会引起不确定度。 此外在按被测量的定义测量钢棒的长度时，测量温度和压力所用的温度计和压力 表的不确定度也是不确

13、定度的来源。又比如在水银温度计的检测屮，被检温度计和标准温度计都放在同一个恒槽 中进行检测，恒温槽内的温度由一台温度控制器控制，在实际工作中控制器不可 能将恒温槽的温度稳定在一个恒定值，实际的槽温将在一个小的温度范围内往复 变化，这样，由于标准和被检温度计的温度响应时间常数不同也会引起不确定度。（5）对模拟式仪器的读数存在人为偏差（偏移）模拟式仪器在读取其示值时一般是估读到最小分度值的1/10。由于观测者 的位置和观测者个人习惯的不同等原因可能对同一个状态下的显示值会有不同 的估读值，这种差异将产生不确定。(6) 测量仪器的计量性能(如灵敏度、鉴别力阈、分辨力、死区及稳定性 等)的局限性数字仪

14、器的不确定度来源之一是其指示装置的分辨力。例如，即使指示为理 想重复，重复性所贡献的测量不确定度仍然不为零，因为仪器的输入信号在一个 己知区间内变动，却给出同样的指示。如果指示装置的分辨力为玄，产生某一 指示值x的激励源的值以等概率落在x -(8x到x + (8x区间内。该激励源 就用方差为u2=(8x)2/12,宽度为心的矩形概率分布来描述，对任一指示值， 其标准偏差为u = 0.29以。因此，对于一台称重仪器，其指示装置的最低位数字是lg时，装置分辨力 的方差为/=(1/g?,标准不确定度为w = (l/712)g=0.29g -(7) 赋予计量标准的值和标准特质的值不准确通常的测量是将被

15、测量与测量标准的给定值进行比较实现的，因此，标准的 不确定度直接引入测量结果。例如用天平测量时，测得质量的不确一度屮包括了 标准舷码的不确定度。(8) 引用的数据或其他参量的不确定度例如，在测量黄铜的长度随温度变化时，要用到黄铜的线热膨胀系数勺，查 数据手册可以找到所需的勺值，该值的不确定度也可由手册查出，它同样是测量 结果不确定度的一个来源。(9) 与测量方法和测量程序有关的近似性的假定性例如，被测量表达式的近似程度，自动测试程序的迭代程度，电测量屮由于 测量系统不完善引起的绝缘漏电、热电势、引线电阻上的压降等，均会引起不确 定度。(10) 在表面上完全相同的条件下被测量在重复观测中的变化在

16、实际工作中我们经常会发现，无论怎样控制环境条件以及各类对测量结果 可能产生影响的因素，而最终的测量结果总会存在一定的分散性，即多次测量的 结果并不完全相等。这种现彖是一种客观存在，是由一些随机效应造成的。上述不确定度的来源可能相关，例如，第丿项可能与前面各项有关。对于那 些尚未认识到的系统效应，显然是不可能在不确定度评定中予以考虑的，但它可 能导致测量结果的误差。由此可见，测量不确定度一般来源于随机性或模糊性。前者归因于条件不充 分，后者归因于事物木身概念不明确。因而测量不确定度一般由许多分量组成， 其中一些分量具有统计性，另一些分量具有非统计性。所有这些不确定度来源， 若影响到测量结果，都会

17、对测量结果的分散性作出贡献。也就是说由于这些不确 定度来源的综合效应，使测量结果的可能值服从某种要概率分布。可以用概率分 布的标准差来表示的测量不确定度，称为标准不确定度，它表示测量结果的分散 性。也可以用具有一定置信概率的区间表示测量不确定度。例1噪声测量的不确定影响因素分析(1) 测量点及测量位置的选择要正确放置传感器和方向，选择合适的测量点数，排除因布置点不正确 所带来的测量误差；(2) 测量系统精度测量系统精度偏差包括声级计各组成部分，即传声器、放人器、计权网 络、衰减器和指示表头的偏差。在自由场里，用a计权网络，误差在±ldb(a).(3) 现场的声学特性现场达不到自由场里

18、理想环境，故对测量值必须修订；(4) 木底噪声的影响本底噪声的存在，影响了噪声测量的精确性，因此必须从声级计的读数 屮扣除本底噪声的影响；(5) 反射声的影响声源附近或传声器周围有较大的反射体时，会给测量带来误差。试验表明，当反射体表面与声源距离小于3m时，必须考虑反射带來的影 响；(6) 其他环境因素的影响风、气流、磁场、温度、湿度等环境因素对噪声测量都会带来影响，尤其要注意风、气流的影响。例2皮带秤测量的不确定影响因素分析(1) 环境条件的影响；(2) 皮带张力；(3) 皮带与托馄的粘合；(4) 被称物料的丢失；(5) 皮带秤检定分度值带给的读数误差；(6) 测量重复性；(7) 显示装置最

19、大允许误差。(二)测量不确定度数学模型的建立在实际测量的很多情况下，被测量y (输出量)不能直接测得，而是由n个 其它量xpxyxg (输入量)通过函数关系/来确定y = f(xy x2fxn)(4.1)式(4.1)表示的这种函数关系，就称为测量模型或数学模型，或称为测量过程 数学模型。测量不确定度通常由测量过程的数学模型和不确定度的传播律来评定。由于 数学模型可能不完善，所有有关的量应充分地反映其实际情况的变化，以便可以 根据尽可能多的观测数据来评定不确定度。在可能情况下，应采用按长期积累的 数据建立起来的经验模型。核查标准和控制图可以表明测量过程是否处于统计控 制状态之中，有助于数学模型的

20、建立和测量不确定度的评定。数学模型不是唯一的，如果采用不同的测量方法和不同的测量程序，就可能 有不同的数学模型。例如：一个随温度/变化的电阻器两端的电压为v,在温度为/()时的电阻为他，电 阻器的温度系数为则电阻器的损耗功率p (输出量或被测量)取决于v,他， a和t (输入量)，即p = f(v,r0,a,t) = v2 /r0l + a(t-t0)同样是测量该电阻器的损耗功率p ,我们也可采用测量其端电压和流经电阻 的电流/来获得，则p的数学模型就变成p = f（v,i） = vi输出量y的输入量x、x 2,，x n本身可看作被测量，也可取决于其他量' 其至包括系统效应的修正值，从

21、而可能导出一个十分复杂的函数关系式，以至函 数f不能明确地表示出来。有时输岀量的数学模型也可能简单到y=x,如用一卡尺测量工件的尺寸 时，则工件的尺寸就等于卡尺的示值。数学模型可用已知的物理公式求得，也可用实验的方法确定，甚至只用数值 方程给岀。如果数据表明.f没有能将测量过程模型化至测量所要求的准确度，则 必须在/中增加输入量，即增加影响量。例如在电阻功率的测量中，增加电阻上 已知的温度非均匀分布、电阻温度系统的非线性关系、电阻值与大气压力的关系 等，肓至测量结果满足测量要求。设式（4.1）中被测量y的估计值为y,输入量乙的估计值为兀，则有y = f（xx2xn）（4.2）在式（4.2）中，

22、当被测量y的最佳估计值y是通过输入量何的 估计值心“2, x"得出时，可有以下两种方法：= （xl,k，x2,k，xn，k）n k=l式（4. 3）中，y是取y的次独立观测值儿的算术平均值，其每个观测值儿 的不确定度相同，且每个儿都是根据同时获得的n个输入量x,的一组完整的观 测值求得的。y = f（x1,x2<-*xn）（4.4）1 n式（4.4）屮，xi=-xxik ,它是独立观测值的算术平均值。这一方 n日法的实质是先求乙的最佳估计值瓦，再通过函数关系式得岀y。以上两种方法，当/是输入量x,的非线性函数时，用式（4.3）和式（4.4） 计算出y的最佳估计值可能不同，而以式

23、（4.3）的计算方法较为优越。假如我们用输入量a表示长，用输入量b表示宽，由面积公式我们可得到输 出量的数学模型为s=abo假设对长a和宽b分别进行了两次测量，其结果（估 计值）分别为终卫2和勺,乞，则由式（43）可求得面积的一个最佳估计值为s =*（ab +a2b2）同样，利用式（4.4）可求得面积的另一个最佳估计值为s2 =（¥）（冒=（ajbj +a2b2 4-a!b2 +a2b!）由于测量结果存在分散性，一般工。2,勺所以s h ,这时可认为式 （4.3）的计算结果/更具有优越性。在数学模型中，输入量可以是： 由当前直接测定的量。它们的值与不确定度可得自单一观测、重复观测、

24、依据经验对信息的估计，并可包含测量仪器读数修正值，以及对周圉温度、大气 压、湿度等影响的修正值。 由外部来源引入的量。如已校准的测量标准、有证标准物质、由手册所得 的参考数据等。易的不确定度是y的不确定度的来源。寻找不确定度来源吋，可以测量仪器、 测量环境、测量人员、测量方法、被测量等方面全面考虑，应做到不遗漏、不重 复，特别应考虑对结果影响大的不确定度来源。遗漏会使y的不确定度过小，重 复会使y的不确定度过大。评定y的不确定度之前，为确定y的最佳值，应将所有修正量加入测得值， 并将所有测量异常值剔除。（三）.不确定度传播律由y = f（x,x2，xn）可得到输出量（被测理）丫的估计值y （测

25、量结果）的 不确定度为u2（y） = 2u2（x1） + 2u2（x2） + - +dxidx9（4 5）3f 12 2/、3f dfu （xn） + 2工-u（xj,x：）ox”i=ij=i ox： oxj式（4. 5）称为不确定度传播律，其中些称为灵皱系数，班兀）分别为输入量x, oxj的估计值兀的标准不确定度，u（xi，xj）为任意两输入量估计值的协方差函数。各输入估计值石及其标准不确定度u（x»得自输入量x,可能值的概率分布。 此概率分布可能是基于乙的观测列的频率分布，与可能是基于经验和有用信息 的先验分布。标准不确定度分量的a评定基于频率分布，b类评定基于先验分布。 应认识

26、到，a, b两类评定只是评定方法的不同，其本质是相同的。（四）测量不确定度分类不确定度依据其评定方法可分为“a”，“b”两类，它们与过去“随机误差” 与“系统误差”的分类之间不存在简单的对应关系。“随机”与“系统”表示两 种不同的性质，“a类”与类”表示两种不同的评定方法。因此 简单地把a 类不确定度对应于随机课差导致的不确定度，把b类不确定度对应于系统课差导 致的不确定度的做法是错误的。（1）不确定度a类评定用对观测列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度，称为不确定度a 类评定，用山表示。（2）不确定度b类评定用不同于观测列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度，为不确定度 b类评定，用5

27、表示。a, b的分类目的是表明不确定度评定的两种方法，仅为讨论方便，并不意 味着两类评定之间存在本质上的区别。它们都基于概率分布，并都有方差或标准 表征。因此，a类标准不确定度由以观测列频率分布导出的概率密度函数得到；b 类标准不确定度由一个认定的或假定的概率密度函数得到，此函数基于事件发生 的信任度（常称主观概率或先验概率）。两种方式都用已知的概率解释。在测量过程中由于粗心大意，仪器使用不当，或突然的故障、突然的环境条 件变化（例如突然冲击或振动、电源电压突变等），都会产生异常的测量值。对 经判断确为异常值的数据，应予以剔除，不得包括在测量值的范围之内。也就是 说，在不确定度的评定中应剔除异

28、常值。5. 3标准不确定度的a类评定().单次测量结果实验标准差与平均值实验标准差对被测量x,在重复性条件或复现性条件下进行次独立重复观测，观测值 为兀何=1,2,，m) o算术平均值元为(5. 1)h兀)为单次测量的实验标准差，由贝塞尔公式计算得到(5.2)s(xi)= j亠士(xi_ 文)2vn-li=is(可为平均值的实验标准差，其值为(5.3)某物理量的观测值，若已消除了系统误差，只存在随机误差，则观测值散布在其期望值附近。当取若干组观测值，它们各白的平均值也散布在期望值附近, 但比单个观测值更靠近期望值。也就是说，多次测量的平均值比一次测量值更准 确，随着测量次数的增多，平均值收敛于

29、期望值。因此，通常以样本的算术平均 值壬作为被测量值的估计(即测量结果)，以平均值的实验标准差s(幻作为测量 结果的标准不确定度，即a类标准不确定度。如果测量结果是取上面n次独立重复观测中的加次的算术平均值 xm(l < m < n),则文皿对应的a类标准不确定度为scxj/vm。所以，当测量结果取观测列的任一次旺时所对应的a类不确定度为u(x) = s(xj)(5. 4)当测量结果取77次的算术平均值时，元所对应的a类不确定度为u(x) = s(xj)/vn(5.5)当测量结果取其中的加次的平均值儿时，兀所对应的a类不确定度(5.6)u(xm) = s(xj)/vmu(x), u

30、0q和u(xm)的自由度是相同的,都是v = n -1(5. 7)观测次数n充分多，才能使a类不确定度的评定可靠，一般认为n应大于5。 但也要视实际情况而定，当该a类不确定度分量对合成标准不确定度的贡献较大 时，n不宜太小，反之，当该a类不确定分量对合成标准不确定的贡献较小时， n小一些关系也不大。式(5. 6)用测量结果是取测量23次算术平均值(比如检定规要求这样做), 为了获得较高的自由度，采取较多次的测量得到s(xi)o例对一等标准活赛压力计的活塞有效面积进行检定。在各种压力下测得 10次活塞有效面积so与工作基准塞面积ss之比h如下：0. 2506700. 2506730. 25067

31、00. 2506710. 2506750. 2506710. 2506750. 2506700. 2506730. 250670则其最佳估计值厶为l =旦=0.250 672n 10由贝塞尔公式求得单次测量标准差s(q为0i-l)2徑空¥ = 2.05x10"1 v n-1 v 10-1厶由测量重复性导致的标准不确定度妁为u 1 (1) = s(l)=学=0.63 x10"6上面u是表示一等标准活塞压力计活塞有效面积so与工作基准活塞面积ss之比/的由测量重复性引起的不确定度分量(还有其他分量，如工作基准活塞面积ss的不确定度、加力磁码的质量、温度影响等)，由1=

32、%ss得到由测量重复性引起的s()的标准不确定度分量u1(so) = ss-u1(1) = o.63xw6ss以相对不确定度表示s.ulrel(s()= ，u10)=%0.63x10-60.250672= 2.5x10"(-).极差在重复性条件或复现条件下，对x,进行斤次独立观测，计算结果中的最大 值与最小值之差/?称为极差，在x,可以估计接近正态分布的前提下，单次测量 结果石的实验标准差s(xj可按下式近似地评定rs(x) = (5. 8)式(5.8)中系数c及自由度u如表5. 1所示。表5. 1极差系数c及自由度v刀23456789c1. 131.642.062.332. 532

33、. 702.852.97v0.91.82.73.64. 55. 36.06.8一般在测量次数较小时采用极差法，以49为宜。例用金属洛氏硕度计测量混凝土回弹仪试验钢钻的硕盘，测量5次，硬度 值分别为:60. 0, 60.8,61.0,61. 8, 62. 0hrc, 5 次平均值 w0 61. ihrco 用贝塞尔 公式算得平均值的实验标准差为 ixch-hj2u(h)=0.36hrc n(n-l)自由度为v =斤-1 = 4 o如采用极差法进行计算，则u(h)=丄日咖 x-心=1 . 62.0-60.0 = 0 38hrc石 cv5 2.33自由度v = 3.6。极差法与贝塞尔法相比，得到不确

34、定度的自由度下降了，也就是说不确定度 评定的可靠性有所降低。(三) 最小二乘法中的不确定度当被测量x的估计值由实验数据用最小二乘法似合的直线或曲线上得到时，任意预期的估计值或表征曲线拟合参灵敏的标准不确定度可以用已知的统计 程序计算得到。在计量工作中，常遇到寻求两个物理量的关系问题，如两估计值匕y有线性 关系y = a + bx,对其独立测得若干对数据(xi，yj, (x2,y2)，*(xn,yn)，n>2, 欲得到参数。,方及其标准不确定度，以及预期估计值及其标准不确定度，要用到最小二乘法。设y = abx，误差方程为5 =y _(a + bxji)2 = y? 一(a + bx?)式

35、中q为残差。残差平方和为要使只需列方程求解，得式中将°,方代回误差方程,vn _q + bxn)工y_(d +加)$ 工u； = min(最小)sy v?dauba = y - b xsb吕sxxsxy =e(xi-wi-y) i=lsxx=i(xi-x)(xi-x)i=l求得残差s，实验标准差上式的方括号为求和符号，因此，参数的标准不确定度为u(a) = s(a)=(5.9)u(b) = s(b)=(5. 10)例已知两个量d、t关系为d = a + bt,现测得(dj,tj的数值如下d4 3644 3664 3624 3654 3784 370d = 4368由最小二乘法，列出误

36、差方程t162119212924t = 21d, = a + btj +5残差平方和为工评二工口-(a + btjf由密x = o及密匹=0解得dadba = 4341.3b = 1.208代回误差方程，求出残差q,实验标准差s为=2.374s2(a) = s2|t2 = 0.0096-2916 = 27.99 nstts2(b) = s2= 0.058stt式屮stt =(ti -亍)(ti -亍),方括号为求和符号。因此，参数方的标准不确定度为u(a) = s(a) = 5.29u(b) = s(b) = 0.24上面例子是用最小二乘法拟合直线。在实际工作中，也有拟合成二次、三次 曲线以至

37、其他曲线，以降低曲线的不确定度或最大残差的数值。（四）不确定度a类评定的独立性在重复性条件下所得的测量列的不确定度，通常比用其他评定方法所得到的 不确定度更客观，并具有统计学的严格性，但要求有充分的重复次数。此外，这 一测量程序中的重复观测值，应相互独立。例如： 被测量是一批材料的某一特性，所有重复观测值来自同一样品，而取样又 是测量程序的一部分，则观测值不具有独立性，必须把不同样木间可能存在的随 机差异导致的不确定度分量考虑进去； 测量仪器的调零是测量程序的一部分，重新调零应成为重复性的一部分； 通过直径的测量计算圆的面积，在直径的重复测量中，就随机地选取不同 的方向观测； 当使用测量仪器的

38、同一测量段进行重复测量时，测量结果均带有相同的这 一测量段的误差，而降低了测量结果间的相互独立性；不确定度的a类评定通常比不确定度的b类评定更为客观。原则上所有不确 定度分量都可以采用a类评定。比如，为得到量块线热膨胀系数的不确定度，我 们可以选取不同厂家生产的量块进行试验，得出各自的线热膨胀系数并计算出实 验标准差。由于要求有充分的重复次数，工作量是相当大的。相比之下，我们通 过手册得到量块的线热膨胀系数为（115±1以10"/£,并由此估算出标准不确定 度就省事多了。（五）a类不确定度评定的自由度和评定流程对于独立重复测量，自由度v = n-l （刃为测量次数

39、）对于最小二乘法，自由度v = n-t （料为数据个数，/为未知数个数）总结以上所述，可用图5. 1简明地表示出标准不确定度a类评定的流程。图5. 1标准不确定度a类评定流程图5. 4标准不确定度的b类评定（一）、b类不确定度评定的信息来源如果实验室拥有足够多的时间和资源，我们就可以对不确定度的每个了解到 的原因进行详尽的统计研究。譬如，采用各种不同类型的仪器、不同的测量方法、 以及测量理论模型的不同、近似等，于是，所有这些不确定度分量就可用观测列 的统计标准差來表征。换言之，所有这些不确定度分量可以用a类评定得到。然 而，这样的研究并非经济可行，很多不确定度分量实际上还必须用别的方法来评 定

40、。当被测量x的估计值兀不是由重复观测得到，其标准不确定度u（xi）可用兀 的可能变化的有关信息或资料来评定。b类评定的信息来源有以下六项： 以前的观测数据； 对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验； 生产部门提供的技术说明文件; 校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等别或级别，包括 目前暂在使用的极限误差等； 手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度； 规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给岀的重复性限厂或复现性 限用这类方法得到的估计方差/（石）,可简称为b类方差。（二）、b类不确定度的评定方法（1）已知置信区间和包含因子根据经验和有关信息或资料，先分析或判断被测量值落入的区

41、间 元-d,无+ g,并估计区间内被测量值的频率分布，再按置信水准来估计包含 因子4则b类标准不确定度讥x）为（yu（x） =（5. 11）k式中a置信区间半宽；k对应于置信水准的包含因子。（2）已知扩展不确定度u和包含因子r如估计值"来源于制造部门的说明书、校准证书、手册或其他资料，其中同 时还明确给出了其扩展不确定度“呂）是标准差$a）的£倍，指明了包含因子比 的大小，贝ij标准不确定度班旺）可取叫屮,而估计方差/（旺）为其平方。例校准证书上指出标称值为lkg的舷码的实际质量m=1000. 000 32g,并 说明按包含因子k = 3给岀的扩展不确定度u = 0.24m

42、g。则硅码的标准不确定度 为 w(m) = 0.24/3 = 80，估计方差为u2(m) = (80ptg)2 =6.4xl09g2o 相应的 相对标准不确定度为ure|(m) = u(m)/m = 80xl0-9在这个例子中，祛码使用其实际值1000.000 32g,而不使用其标称值，即 祛码是以“等”使用。评定出的标准不确定度80曲是1000. 000 32g的标准不确 定度。(3) 已知扩展不确定度和置信水准p的正态分布如石的扩展不确定度不是按标准差$(旺)的k倍给岀，而是给出了置信水准p 和置信区间的半宽u”，除非另有说明，一般按正态分布考虑评定其标准不确定 度班兀)。udu(xj)

43、= -(5. 12)kp正态分布的置信水准(置信概率)p与包含因子心之间存在着表6.1所示 的关系。表5. 1正态分布情况下置信水准p与包含因子©间的关系"(%)5068. 27909595. 459999. 73kp0. 6711.6451.96022. 5763这种情况在以“等”使用的仪器屮出现最多，例如使用某一等量块，我们可 以查到该等别量块的扩展不确定度”99与量块的标称值厶有一个关系式，通过表 5. 1和式(5. 12)就可以计算出量块的标准不确定度。例校准书上给出标称值1oq的标准电阻器的电阻&在23°c时为rs (23cc) = (10.00

44、0 74 ± 0.00013)q同时说明置信水准p = 99%o由于ugg =o.13q ,按表6. 1 , kp = 2.58 ,其标准不确定度为 u(rs) = 0.13mq.2.58 = 50|iq,估计方差为 u2(rs) = (50gq)2 = 2.5xlo-9q2 <> 相 应的相对标准不确定度为u re| (r s) = u(rs)/rs = 5xl0-6(4) 己知扩展不确定度up以及置信水准p与有效自由度*ff的f分布如兀的扩展不确定度不仅给出了扩展不确定度t/“和置信水准p,而且给出 了有效自由度veff或包含因子kp，这吋必须按/分布处理。u（x：）

45、 = （5.14）tp（veff）这种情况提供给定度评定的信息比较齐全，常出现在标准仪器的校准证书 上。例校准证书上给出标称值为5kg的硅码的实际质量为m = 5000.00078 , 并给出了 m的测量结果扩展不确定度u99 = 48mg ,有效自由度vcff =35o查/分布表可得知心（35） = 2.03 ,故b类标准不确切定度为u9948u（xj= = 24mg，95（vcff）2.03（5）其他儿种常见的分布除了正态分布和（分布以外，其他常见的分布有均 匀分布、反正弦分布、三角分布、梯形分布及两点分布等，详见jjf1059-1999 的附录b。如已知信息表明x,之值无分散区间的半宽为

46、g,且兀落于壬-q至兀+d区 间的概率卩为100%,即全部落在此范围中，通过对其分布的估计，可以得出标 准不确定度=因为£与分布状态有关（见表5. 2）o表5. 2常用分布与£上（兀）的关系分布类别p（%）k正态99. 733a/3三角100v6a/6梯形0 = 0.711002a/2矩形（均匀）100v3a/3反正弦100a/2两点1001a表5.2中0为梯形的上底与下底之比，对于梯形分布来说，"j6/（l + 02）, 特别当0等于1时，梯形分布变形为矩形分布；当0等于0时，变为三角分布。例手册中给出纯铜在20°c时的线膨胀系数°2()(0

47、/)为1652xl(m 并 说明此值变化的半范围为沪0.40 x 10-6 °c _1 o按a20(cu)在 1(16.52 -0.40)xlo"6oc_1,(16.52 + 0.40)xlo"6oc_,区间内为均匀分布,于是u(a) = 0.40x10_6°c_1 / v3 = 0.23x 10_6°c_1例数字电压制造厂说明书说明：仪器校准后12年内，在iv内示值最人 允许误差的模为10x106x (读数)+2x10"x (范围)。设校准后20月在iv内 测量电压，在重复性条件下独立测得电压v,其平均值为v =0.928571v平

48、均值的实验标准差为s(v) = 12|1vo电压表最大允许误差的模a = 14 x 10“ x 0.928571v + 2xlo'6xlv = 15gv。即为均匀分布的半宽，按表5. 2,则示值误差的标准不确定度为u(av) = 15|1v/v3=8.7|1v在缺乏任何其他信息的情况，一般估计为矩形分布是较合理的。但如果已知 被研究的量x,的可能值出现在-至q+屮心附近的概率，大于接近区间的边界 时，则最好按三角分布计算。如果兀本身就是重复性条件下制造个观测值的算术 平均值，则可估计为正态分布。三角分布是均匀分布和正态分布之间的一种折衷。在不确定度的b类评定方法中，我们遇到的一个问题是

49、，如何假设其概率分 布。根据“屮心极限定理”，尽管被测量的值乙的概率分布是任意的，但只要 测量次数足够多，其算术平均值的概率分布为近似正态分布。如果被测量既受随 机影响乂受系统影响，而对影响量缺乏任何其他信息的情况下，一般假设为均匀 分布。有些情况下，可采用同行的共识，如微波测量屮的失配误差为反正弦分布 等。b类不确定度评定的可靠性取决于可利用的信息的质量，在可能情况下应尽 量充分利用长期实际观测的值来估计其概率分布。(8)以“等”使用的仪器的不确定度计算当测量仪器检定证书上给出准确度等别吋，可按检定系统或检定规程所规定 的该等别的测量不确定度的大小，按本节第(2)或第(3)的方法计算标准不确

50、 定度分量。当检定证书既给出扩展不确定度，又给出有效自由度时，按第(4)方法计算。(9)以“级”使用仪器的不确定计算当测量仪器检定证书上给出准确级别时，可按检定系统或检定规程所规定的该级别的最大允许误差进行评定。假定最大允许误差为土a 般采用均匀分布，得到示值允许差引起的标准不确定度分量u(x)胡(三)、b类不确定度评定的自由度及其意义b类不确定度分量的自由度与所得到的标准不确定度讥石)的相对标准不确定度皿心,)/“(兀)有关,其关系为:92旳=丄斗血_显沁丄-2(5.2ou(xi)2 u(xj)根据经验，按所依据的信息来源的可信程度判断班兀)的标准不确定度，从 而推算出比值7fw(x/)/w

51、(x/) o按式(5. 14)计算出的叫列于表5. 3。表 5. 3 cu(xi)/u(xi)与升关系qu(xi)/ll(xi)viqu(xi)/u(xi)0oo0. 3060. 10500. 4030. 20120. 5020. 258在式(5. 14)中，现心)/“(“)是班石)的标准差，即tw(x,.)是标准差的 c、 2标准差，不确定度的不确定度，应该说明的是：公式vj =- u(xi) 不仅仅2ou(xi)适用于正态分布，还适合于其他任何分布的情况。所以，不确定度的b类评定，除了要设定其概率分布，还要设定评定的可靠 程度。这种靠经验并对有关知识有深刻的了解。这是一门技巧，要靠实践积累

52、。 下面举一些例子予以说明。当不确定度的评定有严格的数字关系，如数显仪器量化误差和数据修约引起 的不确定度计算，自由度为8。当计算不确定度的数据来源于校准证书、检定证书或手册等比较可靠资料 时，可取较高自由度。当不确定度的计算带有一定主观判断因素，如指示类仪器的读数误差引起的 不确定度，可取较低的自由度。当不确定度的信息来源难以有效的实验方法验证，如量块检定时标准量块和 被检量块的温度差的不确定度，自由度可以非常低。不要认为把不确定度的可能值估大了，即把影响量的可能半宽放宽后，可能 值完全落在区间中，就可以提高可靠性，从而提高自由度。其实不确定度估大或 估小了，都会降低自由度，只有估准了才有高

53、自由度。四、b类标准不确定度评定的流程总结以上所述，可用图6. 1简明地表示岀标准不确度b类标定的流程。图6.1标准不确定度b类评定流程图5. 5合成标准不确定度的评定被测量y的估计值y的标准不确定度，是由相应输入量x、x a x “的标准 不确定度适当合成求得，估计值y的合成标准不确定度记为(y),它表征合理 予被测量估计值y的分散性。(一)、输入量不相关时不确定度的合成当全部输入量x,是彼此独立或不相关吋，合成标准不确定度乞.(y)由式(5. 15)得uc(y)= z(v)2u2(xi)<5. 15)i=l dxi式中/被测量y与诸直接测得量兀的函数关系。u(xj或是a类评定标准不确

54、定度，或是b类评定标准不确定度。不确定度uc(y)是一估计标准差，它表征合理赋予被测量y的分散性。式(5.15)基于y = f(xx2,xn)泰勒级数一阶近似，称为不确定传播律。这里，当/非线性显著时，必(y)表达式(5.15)中应考虑计入泰勒级数展需要增加的下一个重要的高阶开的高阶项。特别当各x,分布对称，式(5. 15)£f_l( pf c af a3f i=l j=l -u2(xj)u2(xj)项为2 dxidxj 3x, axi3xjj丿当函数y = f(xj完全线性时，二阶以上偏导数为零，因此不必考虑泰勒级数 展开的高阶项。df/dxi是函数y = f(x,x2,xn)在x

55、产兀时的偏导数,这些偏导数称为灵敏 系数，符号为c即ci=df/dxi。它表示了输出估计值y随输入估值 x|、x 2,，x n的变化而变化的程度。特别是当输入估计值兀有微小的变化山 1 时，输出估计值y的相应变化(ay)j =(3f /axjaxj o如果这个变化来自输入估计 值兀的标准不确定度，那么输出估计值y的相应变化就是(df/dxi)u(xj)。因此, 合成方差力(y)可视为伴随各项输入分量兀的估计方差而引起输出估计值y的估 计方差。因此式(5. 15)可表示为-n- n(5. 15a)uc(y)= £ciu(xi)2 三£uf(y)i=li=l式屮(5. 15b)5三df/dxi，ui(y)三耐卜区)例如果加一个随温度变化的电阻两端的电压为v,在温度为/()时的电阻为 巴,电阻的温度系数为在温度/时电阻损耗的功率p为被测量，被测量p与 v,/?0,6z和/的函数关系为p = f(v,r0,a,t) = v2/r0l + a(t-t0)求测量结果p的合成标准不确定度。u2(p)= iz-2u2(v) + -2u2(r0) + 2u2(a)4-2u2(t)c 3v3r