有限元复习资料

1、弹性力学与材料力学课程的区别（1）研究对象材料力学：研究杆、梁、柱、轴等杆状构件(长度远大于厚度和宽度的构件) ,一维数学问题求解的基本方程是常微分方程。弹性力学：一般弹性实体结构，三维弹性固体、板状结构、杆件等。 “完全弹性”是对弹性体变形的抽象。完全弹性使得物体变形成为一种理想模型。完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力和应变之间一一对应的关系。这种关系与时间无关，也与变形历史无关。材料的应力和应变关系通常称为本构关系(物理关系或者物理方程)弹性体分为线性弹性体和非线性弹性体弹性力学基本假设1. 连续性假设 2. 均匀性假设 3. 各向同性假设 4. 完全弹性假设 5. 小变形假设 6.

2、 无初始应力假设2. 均匀性假设 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。即物体的弹性性质处处都是相同的。 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。3. 各向同性假设 假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。 宏观假设，材料性能是显示各向同性。 当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。 这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。4. 完全弹

3、性假设 对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。 完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。 研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。服从胡克定律5. 小变形假设 假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。 在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。 忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。 6. 无初始应力假设 假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有应力。 弹性力学

4、求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。 线弹性范围可以处理初始应力（应变）问题，通过转化为等效载荷。0.7 弹性力学的特点和研究方法弹性力学促进数学和自然科学基本理论的建立和发展；广泛工程应用造船、建筑、航空和机械制造等。发展形成了一些专门的分学科；现代科学技术和工程技术仍然提出新的理论和工程问题。对于现代工程技术和科研工作者的培养对于专业基础，思维方法以及独立工作能力都有不可替代的作用。弹性力学的基本方程偏微分方程的边值问题，求解的方法有解析法和近似解法。 解析法在数学上难度极大，因此仅适用于个别特殊边界条件问题。 近似解法对于弹性力学有重要意义。数值解法计算机处理的近似解法。 现代科学技

5、术，特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用为基础。有限元方法为代表的计算力学。 以有限元为基础的CAE等技术，使计算机不仅成为数值分析工具，而且成为设计分析工具。 有限元方法以弹性力学为基础，有限元方法将计算数学与工程分析相结合，极大地扩展和延伸了弹性力学理论与方法，取得了当代力学理论应用的高度成就。 刚度矩阵中系数的意义： 刚度矩阵中的系数 kij 为在节点 j 产生单位变形时在节点 i 所需施加的载荷。 如分别在节点 1、2、3、4 产生1 、 2 、 3 、 4的变形，在节点 1所需施加（其他杆作用）的载荷为 1 弹性力学基本方程应力 工程结构（物体）承受来自外部的载荷（外力）而产生效应。

6、 效应： 变形各点发生位移； 作用力物体内部各部分之间。 严重的甚至断裂、分解等。基本概念：外力、应力、形变、位移。面力是弹性体表面坐标的函数。弹性力学中的面力均定义为单位面积的面力。 内力 物体在外力作用下产生变形，物体反抗物体的变形的、彼此间相互作用力，称为内力。 外力：外因 内力：内因 外因通过内因而起作用 外力：起源因素 内力：决定因素 另一种分解方法，是将应力矢量 pN沿微分面S的法线和切线方向分解。 与微分面S 法线 n方向的投影称为正应力，用sN表示； 平行于微分面S 的投影称为切应力或剪应力，切应力作用于截面内，用N表示。 弹性体的强度与正应力和切应力息息相关，因此这是工程结构

7、分析中经常使用的应力分解形式。 应力关于坐标连续分布的 应力矢量沿坐标分解没有工程意义， 正应力 N与切应力 N 与结构强度关系密切，但仅根据截面方位不能完全确定切应力。 应力张量可以描述一点应力状态。结论：已知物体内任一点处的六个应力分量，则可求出该点任意斜面上的正应力和切应力。 位移形式 :n 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。 n 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。 位移 u，v，w 是单值连续函数 位移分量和应变分量以及其间的关系一.位移分量物体受力后各点要发生位移，位移一般分为两部分，一部分是与物体变形相应的位移，称为相对

8、位移；另一部分是与物体变形无关的位移，称为刚性位移。应变分量的符号规定：正应变：正号的正应变表示沿该方向伸长，负号的正应变表示沿该方向缩短；剪应变： 正号表示沿两个坐标轴正向的两条直线间的角度减小， 负号表示沿两个坐标轴正向的两条直线间的角度增大。剪应变： 正号表示沿两个坐标轴正向的两条直线间的角度减小， 负号表示沿两个坐标轴正向的两条直线间的角度增大。 48 主应变和主方向 过物体内一点不同方向上的正应变以及同一点两垂直方向的剪应变是不同的。问题：过该点是否存在这样三个互相垂直的方向，使沿这三个方向的微分线段，在物体变形后只是各自改变了长度，而夹角仍保持为直角。我们可以证明存在此单元体； 我

9、们把具有性质的方向称为该点应变的主方向，或应变主轴，此方向的正应变称为主应变。 特点 一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐标变换不影响应变状态是确定的。 应变不变量就是应变状态性质的表现 应力张量应变张量 应力不变量应变不变量 主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性类似 各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的 应变协调方程 数学意义： 几何方程6个应变分量通过3个位移分量描述 力学意义变形连续 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束应变协调方程 变形协调方程的数学意义 使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。 变形协调方程的物理意义 物体变形后每一单元体都发生形状改变，如

10、变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。 为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。 弹性体的应变能原理 弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。     根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一部分将转化为动能。 假设弹性体处于静态或接近静态，可忽略动力学效应。外力所做的功全部转化为内能。 ll 弹性力学中的应变能 l 设加载缓慢，系统功能可忽略，同时略去其它能量（如热能等）的消耗，则所做的功全部以应变能的形式储存于内部。l 对应于微元体的两种变形：线应变

11、和切应变，亦有两种形式的应变能：l 1 对应于正应力与正应变的应变能l 2 对应于切应力与切应变的应变能 l 如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的弹性效应，因此一般的讲，Cmn 是坐标x，y，z的函数。l 但是如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点如果有相同的应变，必承受同样的应力。这一条件反映在广义胡克定理上，就是Cmn 为弹性常数。 工程材料l 各向同性材料（大多数金属） l 各向异性材料（镍基单晶高温合金，复合材料等） l 完全各向异性 l 一个弹性对称面 l 两个弹性对称面 问题的提法求解弹性力学问题时，并不需

12、要同时求解十五个基本未知量，可以做必要的简化。 为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为基本未知量。 在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题，数学上称为偏微分方程的边值问题。 按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。 第一类边值问题：已知弹性体内的体力和其表面的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz，边界条件为面力边界条件。 第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知的部分为位移边界条件。称为混合边界条件。 以上三类边值问题

13、，代表了一些简化的实际工程问题。 若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。求解方法解的唯一性原理 弹性体受已知体力作用。在物体的边界上，或者面力已知；或者位移已知；或者一部分面力已知，另一部分位移已知。则弹性体平衡时，体内各点的应力和应变是唯一的，对于后两种情况，位移也是唯一的。证明：略位移解法以位移函数作为基本未知量；* 应力解法以应力函数作为基本未知量；* 混合解法以部分位移和部分应力分量作为基本未知量。位移解法 选取位移函数作为基本未知量求解的方法称为位移解法。主要工作： 利用位移函数u,v,w 表达其他未知量； 推导位移函数描述的基本方程 位移表达的平衡微分方程。 应力解法

14、 应力函数作为基本未知量求解的方法称为应力解法。应力解法的基本方程 1. 平衡微分方程 2. 变形协调方程 应力解法的基本未知量为6个应力分量； 基本方程为3个平衡微分方程和6个变形协调方程。 应力解法适用于面力边界条件。 总而言之，在以应力函数作为基本未知量求解时，归结为在给定的边界条件下，求解平衡微分方程和应力表达的变形协调方程所组成的偏微分方程组。 有限元网格划分的基本原则划分网格是建立有限元模型的一个重要环节，它要求考虑的问题较多，需要的工作量较大，所划分的网格形式对计算精度和计算规模将产生直接影响。为建立正确、合理的有限元模型，这里介绍划分网格时应考虑的一些基本原则（影响因素）。1

15、网格数量 网格数量的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。一般来讲，网格数量增加，计算精度会有所提高，但同时计算规模也会增加，所以在确定网格数量时应权衡两个因数综合考虑。在决定网格数量时应考虑具体分析类型：ª 在静力分析时，如果仅仅是计算结构的变形，网格数量可以少一些；ª 如果需要计算应力，则在精度要求相同的情况下应取相对较多的网格；ª 同样在响应计算中，计算应力响应所取的网格数应比计算位移响应多；ª 在计算结构固有动力特性时，若仅仅是计算少数低阶模态，可以选择较少的网格，如果计算的模态阶次较高，则应选择较多的网格；ª 在热分析中，结构内部

16、的温度梯度不大，不需要大量的内部单元，这时可划分较少的网格。2 网格疏密 网格疏密是指在结构不同部位采用大小不同的网格，以适应计算数据的分布特征。§ 在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采用比较密集的网格。§ 在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模型规模，则应划分相对稀疏的网格。 这样，整个结构便表现出疏密不同的网格划分形式。 划分疏密不同的网格主要用于应力分析(包括静应力和动应力)，而计算固有特性时则趋于采用较均匀的网格形式。 这是因为固有频率和振型主要取决于结构质量分布和刚度分布，不存在类似应力集中的现象，采用均匀网格可使结构刚

17、度矩阵和质量矩阵的元素不致相差太大，可减小数值计算误差。 同样，在结构温度场计算中也趋于采用均匀网格。3 单元阶次 许多单元都具有线性、二次和三次等形式，其中二次和三次形式的单元称为高阶单元。 选用高阶单元可提高计算精度，因为高阶单元的曲线或曲面边界能够更好地逼近结构的曲线和曲面边界，且高次插值函数可更高精度地逼近复杂场函数，所以当结构形状不规则、应力分布或变形很复杂时可以选用高阶单元。 但高阶单元的节点数较多，在网格数量相同的情况下由高阶单元组成的模型规模要大得多，因此在使用时应权衡考虑计算精度和时间。增加网格数量和单元阶次都可以提高计算精度。因此在精度一定的情况下，用高阶单元离散结构时应选

18、择适当的网格数量，太多的网格并不能明显提高计算精度，反而会使计算时间大大增加。 为了兼顾计算精度和计算量，同一结构可以采用不同阶次的单元，即精度要求高的重要部位用高阶单元，精度要求低的次要部位用低阶单元。 不同阶次单元之间或采用特殊的过渡单元连接，或采用多点约束等式连接。4 网格质量 网格质量是指网格几何形状的合理性。质量好坏将影响计算精度。质量太差的网格甚至会中止计算。直观上看，网格各边或各个内角相差不大、网格面不过分扭曲、边节点位于边界等份点附近的网格质量较好。网格质量可用细长比、锥度比、内角、翘曲量、拉伸值、边节点位置偏差等指标度量。划分网格时一般要求网格质量能达到某些指标要求。 在重点研究的结构关键部位，应保证划分高质量网格，即使是个别质量很差的网格也会引起很大的局部误差。 而在结构次要部位，网格质量可适当降低。当模型中存在质量很差的网格(称为畸形网格)时，计算