2020考研数学一真题参考2001答案解析

1、2020 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案填在题中横线上.) (1) 设12(sincos )xyecxcx(12,c c为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解 , 则该方程为 _. (2) 设222zyxr, 则 div( grad r)2,2,1(=_. (3) 交换二次积分的积分次序:0112),(ydxyxfdy_. (4) 设矩阵a满足240aae, 其中e为单位矩阵, 则1()ae=_. (5) 设随机变量x的方差是2, 则根据切比雪夫不等式有估计 2)(xexp_. 二、选择题 ( 本

2、题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分.)(1) 设函数)(xf在定义域内可导,)(xfy的图形如右图所示,则)(xfy的图形为(2) 设),(yxf在点(0,0)附近有定义 , 且1)0,0(,3)0,0(yxff, 则(a) (0,0)|3zddxdy. (b) 曲面),(yxfz在(0,0,(0,0)f处的法向量为3,1,1. (c) 曲线0),(yyxfz在(0,0,(0,0)f处的切向量为1,0,3. (d) 曲线0),(yyxfz在(0,0,(0,0)f处的切向量为3,0,1. (3) 设0)0(f, 则)(xf在x=0 处可导的充要条件为(a) 201lim(1 c

3、osh)hfh存在 . (b) 01lim(1)hhfeh存在 . (c) 201lim(sinh)hf hh存在 . (d) 01lim(2 )( )hfhf hh存在 . (4) 设1 11140001 1110000,1 11100001 1110000ab则a与b(a) 合同且相似 . (b) 合同但不相似. (c) 不合同但相似. (d) 不合同且不相似. (5) 将一枚硬币重复掷n 次 , 以 x和 y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 x和 y的相关系数等于(a)-1. (b) 0. (c) 12. (d) 1. 三、 ( 本题满分6 分 ) 求dxeexx2arctan.

4、四、 ( 本题满分6 分 ) 设函数),(yxfz在点(1,1)处可微 , 且(1,1)1f,(1,1)|2fx,(1,1)|3fy,( )( ,xf x( , )f x x. 求13)(xxdxd. 五、 ( 本题满分8 分 ) 设)(xf=210,arctan ,0,1,xxxxx将)(xf展开成x的幂级数 , 并求级数1241) 1(nnn的和 . 六、 ( 本题满分7 分 ) 计算dzyxdyxzdxzyil)3()2()(222222, 其中l是平面2zyx与柱面1yx的交线 , 从z轴正向看去 ,l为逆时针方向. 七、 ( 本题满分7 分 ) 设)(xf在( 1,1)内具有二阶连续

5、导数且0)(xf, 试证 : (1) 对于( 1,1)内的任一0 x, 存在惟一的)1 ,0()(x, 使)(xf=)0(f+)(xxfx成立 ; (2)01lim( )2xx. 八、 ( 本题满分8 分 ) 设有一高度为( )h t(t为时间 ) 的雪堆在融化过程, 其侧面满足方程)()(2)(22thyxthz( 设长度单位为厘米, 时间单位为小时), 已知体积减少的速率与侧面积成正比( 比例系数为0.9),问高度为 130( 厘米 ) 的雪堆全部融化需多少小时? 九、 ( 本题满分6 分 ) 设s,21为 线 性 方 程 组0ax的 一 个 基 础 解 系 ,11122tt,21223,

6、tt, 121sstt, 其中21,tt为实常数 . 试问21,tt满足什么条件时,s,21也为0ax的一个基础解系 . 十、 ( 本题满分8 分 ) 已知 3 阶矩阵a与三维向量x, 使得向量组2,x ax a x线性无关 , 且满足xaaxxa2323. (1) 记p=（xaaxx2,）, 求 3 阶矩阵b, 使1pbpa; (2) 计算行列式ea. 十一、 (本题满分7 分) 设某班车起点站上客人数x服从参数为(0) 的泊松分布 , 每位乘客在中途下车的概率为p(01p), 且中途下车与否相互独立. 以y表示在中途下车的人数, 求:(1) 在发车时有n个乘客的条件下, 中途有m人下车的概

7、率; (2) 二维随机变量(,)x y的概率分布 . 十二、 (本题满分7 分) 设总体x服从正态分布2(,)n(0), 从该总体中抽取简单随机样本12,xx,2nx(2n), 其样本均值为niixnx2121, 求统计量niinixxxy12)2(的数学期望( )e y. 2001 年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1) 【分析】由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r ri, 从而得知特征方程为2212121 2()()()220rrrrrrrrr rrr. 由此 , 所求微分方程为220yyy. (2) 【分析】先求 grad r. grad r=,rrrxy zxyzrrr.

8、再求div grad r=()()( )xyzx ry rz r=222222333311132()()()xyzxyzrrrrrrrrr. 于是div grad r|(1, 2,2)=(1, 2,2)22|3r. (3) 【分析】这个二次积分不是二重积分的累次积分, 因为10y时12y. 由此看出二次积分0211( , )ydyf x y dx是二重积分的一个累次积分 , 它与原式只差一个符号. 先把此累次积分表为0211( ,)( , )yddyf x y dxf x y dxdy. 由累次积分的内外层积分限可确定积分区域d: 10,12yyx. 见图 . 现可交换积分次序原式 =0220

9、21111110( , )( , )( , )xyxdyf x y dxdxf x y dydxf x y dy. (4) 【分析】矩阵a的元素没有给出, 因此用伴随矩阵、 用初等行变换求逆的路均堵塞. 应当考虑用定义法 . 因为2()(2 )240aeaeeaae, 故()(2 )2aeaee, 即2()2aeaee. 按定义知11()(2 )2aeae. (5) 【分析】根据切比雪夫不等式2( )()d xp xe x, 于是2( )1()222d xp xe x. 二、选择题(1) 【分析】当0 x时,( )f x单调增( )0fx,(a),(c)不对 ; 当0 x时,( )f x: 增

10、减增( )fx: 正负正,(b) 不对 ,(d) 对. 应选 (d). (2) 【分析】我们逐一分析. 关于 (a), 涉及可微与可偏导的关系. 由( , )f x y在(0,0)存在两个偏导数( ,)f x y在(0,0)处可微 . 因此 (a) 不一定成立 . 关于 (b)只能假设( ,)f x y在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),ffxy, 不保证曲面( , )zf x y在(0,0,(0,0)f存在切平面 . 若存在时 , 法向量 n=(0,0)(0,0)1ffxy， 3,1,-1 与3,1,1 不共线 , 因而 (b) 不成立 . 关于 (c), 该曲线的参数方程为,0,(

11、 ,0),xtyzf t它在点(0,0,(0,0)f处的切向量为0 ,0,( ,0)|1,0,(0,0)1,0,3txdtf tfdt. 因此 ,(c) 成立 . (3) 【分析】当(0)0f时,0( )(0)limxf xfx00( )( )limlimxxf xf xxx. 关于 (a):220001(1 cos ) 1cos1( )lim(1 cos )lim1 coslim1 cos2hhtfhhf tfhthhhht, 由此可知201lim(1 cos )hfhh(0)f. 若( )f x在0 x可导(a) 成立 , 反之若 (a) 成立(0)f(0)f. 如( )|f xx满足 (

12、a),但(0)f不. 关于 (d): 若( )f x在0 x可导 ,001(2 )( )lim(2 )( )lim22(0)(0)2hhfhf hfhf hffhhh. (d) 成立 . 反之 (d) 成立0lim(2 )( )0hfhf h( )fx在0 x连续 ,( )fx在0 x可导 . 如21,0( )0,0 xxf xx满足 (d), 但( )f x在0 x处不连续 , 因而(0)f也不. 再看 (c): 2220001sin(sin )sin( )lim(sin )limlimsinhhhhhf hhhhf tf hhhhhhht(当它们都时). 注意 , 易求得20sinlim0

13、hhhh. 因而 , 若(0)f(c) 成立 . 反之若 (c) 成立0( )limtf tt( 即(0)f). 因为只要( )f tt有界 , 任有 (c) 成立 , 如( )|f xx满足 (c), 但(0)f不. 因此 , 只能选 (b). (4) 【分析】由43|40ea, 知矩阵a的特征值是4,0,0,0.又因a是实对称矩阵,a必能相似对角化, 所以a与对角矩阵b相似 . 作为实对称矩阵, 当ab时 , 知a与b有相同的特征值, 从而二次型tx ax与tx bx有相同的正负惯性指数, 因此a与b合同 . 所以本题应当选(a). 注意 , 实对称矩阵合同时, 它们不一定相似, 但相似时

14、一定合同. 例如100 2a与1 00 3b, 它们的特征值不同, 故a与b不相似 , 但它们的正惯性指数均为2, 负惯性指数均为0. 所以a与b合同 . (5) 【分析】解本题的关键是明确x和y的关系 :xyn, 即ynx, 在此基础上利用性质 : 相关系数xy的绝对值等于1 的充要条件是随机变量x与y之间存在线性关系, 即yaxb( 其中,a b是常数 ), 且当0a时,1xy; 当0a时 ,1xy, 由此便知1xy, 应选 (a). 事实上 ,(,)(,)cov x ycov x nxdx,()dyd nxdx, 由此由相关系数的定义式有(,)1xycov x ydxdxdydxdy.

15、三、 【解】原式 =222211arctan()arctan22(1)xxxxxxxdee d eeeee=2221(arctan)21xxxxxxdedeeeee=21(arctanarctan)2xxxxeeeec. 四、 【解】先求(1)(1, (1,1)(1,1)1fff. 求321( )|3(1) (1)3(1)xdxdx, 归结为求(1). 由复合函数求导法12( )( ,( , )( ,( , )( , )dxfx f x xfx f x xf x xdx, 1212(1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)ffff. 注意1(1,1)(1,1)2ffx,2(1,1)(1,1

16、)3ffy. 因此(1)23(23)17,31( )|3 1751xdxdx. 五、 【分析与求解】关键是将arctanx展成幂级数, 然后约去因子x, 再乘上21x并化简即可 . 直接将arctanx展开办不到, 但(arctan )x易展开 , 即2201(arctan)( 1), | 11nnnxxxx, 积分得2210000( 1)arctan(arctan )( 1)21nxxnnnnnxt dttdtxn, 1,1x. 因为右端积分在1x时均收敛, 又arctanx在1x连续 , 所以展开式在收敛区间端点1x成立 . 现将式两边同乘以21xx得2222220001( 1)( 1)(

17、 1)arctan(1)212121nnnnnnnnnxxxxxxxnnn =12200( 1)( 1)2121nnnnnnxxnn =21111( 1) ()2121nnnxnn221( 1) 2114nnnxn, 1,1x,0 x上式右端当0 x时取值为1, 于是221( 1) 2( )1, 1,114nnnf xxxn. 上式中令1x21( 1)111(1)1(21)1422442nnfn. 六、 【解】用斯托克斯公式来计算. 记s为平面2xyz上l所为围部分 . 由l的定向 , 按右手法则s取上侧 ,s的单位法向量1(cos,cos,cos)(1,1,1)3n. 于是由斯托克斯公式得2

18、22222coscoscos23sidsxyzyzzxxy =111(24 )( 26 )( 22 )333syzzxxyds =22(423 )(2)(6)33ssxyz dsxyzxy ds利用. 于是2211 113xyzz. 按第一类曲面积分化为二重积分得2(6)32(6)3ddixydxdyxy dxdy, 其中d围s在xy平面上的投影区域| 1xy( 图）. 由d关于, x y轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0dxy dxdy21212( 2)24didxdy. 七、 【证明】(1) 由拉格朗日中值定理,(1, 1)x,0 ,(0,1)x, 使( )(0)()f xfxfx(与x

19、有关 ); 又由( )fx连续而( )0fx,( )fx在(1, 1)不变号 ,( )fx在(1, 1)严格单调 ,唯一 . (2) 对()fx使用(0)f的定义 . 由题 (1) 中的式子先解出()fx, 则有( )(0)()f xffxx. 再改写成( )(0)(0)()(0)f xfxffxfx. 2()(0)( )(0)(0)fxff xfxfxx, 解出, 令0 x取极限得20001(0)( )(0)(0)()(0)12limlim/ lim(0)2xxxff xfxffxfxxf. 八、 【解】(1) 设t时刻雪堆的体积为( )v t, 侧面积为( )s t.t时刻雪堆形状如图所示

20、先求( )s t与( )v t. 侧面方程是222222()( )( )( , ):)( )2xyxyhtzh tx ydxyh t. 44,( )( )zxzyxh tyh t. 22222( )16()( )1()()( )xyxyddzzhtxys tdxdydxdyxyh t. 作极坐标变换:cos,sinxryr, 则1:02 ,0( )2xydrh t. 12( )2220013( )2222201( )( )16( )2113( )16 |( ).( ) 4812h th ts tdh tr rdrh th trhth t用先二后一的积分顺序求三重积分( )0( )( )h td

21、 xv tdzdxdy, 其中222()( ):( )( )( )xyd zh tz th t, 即2221( )( ) 2xyhth t z. ( )233301( )( )( ) ( )( ) ( )2224h tv th th t z dzh th th t. (2) 按题意列出微分方程与初始条件. 体积减少的速度是dvdt, 它与侧面积成正比( 比例系数0.9),即0.9dvsdt将( )v t与( )s t的表达式代入得22133( )0.9( )412dhhth tdt, 即1310dhdt. (0)130h. (3) 解得13( )10h ttc. 由得130c, 即13( )13010h tt. 令( )0h t, 得100t. 因此 , 高度为 130 厘米的雪堆全部融化所需时间为100 小时 . 九、 【解】由于(1,2)iis是12,s线性组合 , 又12,s是0ax的解 , 所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)iis均为0ax的解 . 从12,s是0ax的基础解系 , 知()snr