2020考研数学一真题参考2014答案解析

1、2020 全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析( 完整精准版 ) 一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。(1)下列曲线中有渐近线的是y = x2+sin. 1 x+sin- =lim - - = lim(l + sin) = 1 x? yx? y yb = lim/(x) 一ax = limx + sin - x = lim sin = 0 x8 x8 y xt8 x?y=x是y=x+sin的斜渐近线【答案】c 设函数f具有2阶导数，g(x) = /(0 )(l-x) + /(l)x,m在区间

2、0, 1 ( )(a)当r(x)0w, /(x)g(x). (b)当r( x)0w, /(x)0时，f(x)g(x).(d)当r0时，/(x)g(x)【解析】当r( x) 2 0时，m)是凹函数而g(x)是连接( 0,/(0)与(l,f)的直线段，如右图故/(x) 8 y“711(c)jjosh+sin。y(rcos0,rsin0)dr +；d6 /(rcos0,rsin0)dr.2 xi (d):4外广。 +血。y( ,cosq rsin0)rdr +j；d。j() f( 尸cos9,rsin0)rdr.2 【解析】积分区域如图0 勻1. -yl-y2 xl-y 用极坐标表示，艮卩：d： %

3、蜀5,0rl7t1 d2: 00-9 0rey2, dy1dy2(b)ey1=ey2, dy1=dy2(c)ey =ey2，dyidy2【解析】ey= 事 ( 力+ ；/2。) 的=；匚折 ( 力。 + ；匚疵 (腿=扣+扣ey2=exi+x2) = ex+ex2?.? ey = ey2dy = -ex-ex-ex,+-exy = - ex.2 + - ex-(ex,)2- (ex,)2 - - ex,ex.2 1 2 2 l2 1 2 2j 2 1 2 2 4 14 22 1 2=-dxdx9+-ex? + 丄ex須-exex24 4 4 4 2 庭 | + 扌以2+扌 欣： +欣； -2&

4、amp;0出 )= ：庭 |+ ：以2 + ! 住0厂乂2)2 dy 2=d |(x.+x2) =dxdx2?.? dydy2【答案】d二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。(9)曲面z = x2(l-sin y) + y2(l-sin x)在点( 1, 0, 1)处的切平面方程为x2 cos y + 2y(lsin x) (1,0,1)_ 切平面方程为zx( x 1) + 勺(y-0) + (-l)(z-1) = 0 艮卩2x y zt=0 (10)设/(x)是周期为4的可导奇函数，且r( x)=2(x-l), xg0,2,wj/ =- 【解析】v /(

5、x)是周期为4的可导函数? ?/ =/(3) = /(-i) = -f 且/(0) = 0 又fx) = 2(x -1).? f(x) = x2-2x+c斷0) = 0 代入得c = 0 ? f(x) = x2 -2x xg 0,2 .?f=-1从而=_f=1 (11)微分方程xy + y(lnx-ey =匚即 % 3)+ s 我力 =s ex： + ? ex1?2 , 1 z7v2 2一-2 2 【解析】在点( 1，0, 1)处， j 2x(1siny)y2 cosx (1,0,1) lny) =0满足条件y(l)=的解为y= . 【解析】k+(lnxtny) = 0 即xy/+yn-=0两

6、边同除工得y y+=o 工y令“=,则y = m, = u + x 代入上式得x dx dxu + x-+uln-=0整理得dx udu =ldx两端积分得w(lnw -1) x du c 1 - .- =tzx + in c w(lnw 1) )xj in iz -1 j x nu l = cxq+1 u =e y = xe将y=疽代入上式得c = 2?y = xe2x+（12）设乙是柱面x2 + / = l与平面y + z = 0的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲面积分jhr + ydz= _ . x = cos 【解析】令，y = sint： 0,2丸z = sinr j

7、 zdx + ydz = f sin z(-sin t) + sin /(-cos t)itjf，+（ -血顷血= 7t + 0 = k (13)设二次型 / (x,x2,x3) = %2, -4-2axx3 + 4x2x3的负惯性指数是1,则a的取值范围q 0 、a【解析】a = 0 -1 2 i a 2 ol 因为为 +/h+为 =0,。】 +為+为=1ai,负惯性指数为1.? 设21 0 /jai0 若iaivo,则210,230.此时符合题意而|a|=2_4 . ? . 。2_40.艮p-2a2. 若,=0,则为0,人3 = 0,此时a = 2 当a=2时a= 10 0 -1 22 2

8、、2 丿ae-a =a-l 0 -2 0 人+ 1 -2 2 -2 2 = 4(/1+3)(43) ai = 3, /h = 3,九3 = 0 .a = 2符合题意(1 0 -22-1 0 2 当a=-2时a = 二0 -1 2 ae-a = 0 a + l -2 =2(a + 3)(2-3) -2 2 0 / 2 -2 a = 3,人2 = 3,人3 = 0 符合题意综上，。的取值范围是-2a22x(14)设总体x的概率密度为任，。)= 莎,0x+ 故 s为最小点最小值为12。(17)(本题满分10分) 设函数f( “)二阶连续可导，z = f(ex cosy)满足ox dy詞2 -2令“

9、= ecosy, + = (4z + ex cosy)e2xdx dy fu) = 4f(u) + uf或fu)-4f(u) = u,解得f ( 以)=cxe2u +c2e2u，c +c2 =0i i -2c, +2c2- = 0,解得g_孟, 。2_诟故血 =无( 产 )寸。(18)( 本题满分10分) 设为曲面z = x2 + y2(z 1)的上侧，计算曲而积分i = jj(x - v)3dydz + (y - v)3dzdx + (z- v)dxdy。e 【解】令eo: z = 1 (x2 + y2 1),取下侧，其中与。围成的几何体为。，由高斯公式得(x -1)3 dydz + (y

10、-1)3 dzdx + (z - y)dxdy = -jjj3(x-l)2 +3(y-l)2 +ljv e+eoq =-jj|3(x2 +y2)-6x-6y + ldv = -j|j3(x2 + y2) + ldv= dz jj 3(，+ y2) + 7小=- dzd0 (3户 + lr)drx2+y2z =一2几： (j z2 + ：z)z = 一2勿 (：+ j) = t)，rfo jj(x -1)3dydz + (y -1)3dzdx + (z - v)dxdy = =0 , 爲爲故/ = jjo -1)，dydz + (y-v)3dzdx + (z - l)dxdy = 一4兀。(19

11、)( 本题满分10分) 设数列 % 、如满足0an -.0bn 8 (id证明：亍务收敛。hbn由/(0) = 0，r( 0) =。得【证明】( i)方法一由如收敛得1讪如=0。noo n=l 令lim% = a ,等式cos% an = cos如两边取极限得cosaa = 1。n令(ps = 1 cosx + x , 9(0) = 0, 因为仞 ( 对= sinx + 120,所以g( x)单调增加，由(px) = 0得x=0, 故limo, = a = 0 o 方法二由cosq an = cosbn得 = cosan cosbn 0,从而0 bn,因为z久收敛，所以收敛，故聖=。71=1

12、71=1( ii)由an = cosan- cosbn得a +b a b, 2sin( )sin( ) ,22% _cos%_cos如2 2 b/a ”b bbsmn因为ov 且久收敛，所以业，收敛 , 2 如2 n=l h=1 2bnbn由比较审敛法得收敛。n=l un(20) 本题满分11分)1 -2 3 一4、设厶 =0 1 -1 j 2 0 1 ，e为三阶单位矩阵。(i)求方程组ax = 0的一个基础解系。(h)求满足ab = e的所有矩阵8。 【解】1-2 3 -4、q -2 3 - 4) () 1 -1 1 1 2 0 -3)0 4 -3 ()0 1 _3, / 1 -2 0 5、

13、 0 1 0 -2 ，加0 1 f ( 0 0 1 -3. z 则方程组ax = 0的一个基础解系为号=( 一1,2,3,1/ o玉 _ 2x4+ 3x7 _ 4x10 x2 - 2x5+ 3x8 _ 4x,)x3 -2x6 +3xg一4工2、= x4-x7+x10 x5-x8+xnx6 - x9 + xi2，、x+ 2x4一3x10 x2+ 2x5 - 3xnx3+2x6-3x12, 由ab = e得%, 2x4+3x74xl0 1 (x22x5+3x8 4xh = 0 fx3 2x6 +3x9 4x12 = 0 ? x4 - x7 + x10 = 0 、x5 -x8 +xn =1 x6-x

14、g+x2=0o %) + 2x4 3x10 = 0 x2 + 2x5 3xn 0 x3+2x6 3xi2 = 1 “1 -2 3 -4 1) 0 1 -1 1 1 2 0 -3 丿0 4 -3 1 0. / 公2、x5 % =k2w 2 3 +-3 -4 2灯_3 3灯_4 1 z k 2 y 0 1 -1 1 0 k12 0 -3 b .0 4 -3 1 1 z / 、工3 仁1、-1、，-1-灼、乂6=心2 丄1 2心+1 乂93 十1 3炳+1 。12丿1 x / k *3 ?q -2 3 -4 10 1 -1 1 0 t0 1 0 _2 -1 ?0 10 -2 -1 0 、0 1 -3

15、 -1. / 0 1 -3 -1. / 0 0 1 -3 -1 7 得q -2 3 -4 0、 0 10 -2 -3 o 0 1 -3 f j)0 1 -3 -4 得q -2 3 -4 0、1 0 0 1 -n -? 0 1 -1 1 0 t 0 1 0 -2 1 0 0 1 -3 1. / 0 0 1 -3 1 , z 得x & 工7 2 _1 -1 .o2-ki2灯-1 3佑一1 灯.2* 2k -1 3知一1 6- 七2灯_3 3*2-4 -1-奶、2知+1 3知+1 如( 其中知丄2丄3为任意常数 ) 。由ae-b= 0得8的特征值为4 =.= 片_ =0,人因为=a,所以a可

16、对角化 ; 对8,因为r（0e b） = r（b） = l,所以8可对角化 ,因为a,8特征值相同且都可对角化，所以ab （22）（本题满分11分）设随机变量x的概率分布为px =1 = px =2=-,2 在给定x =，的条件下，随机变量f服从均匀分布t/（0,0（z = l,2）o ( i)求f得分布函数fy(y)o(n)求时。【解】(i) fy (y) = pyy = px= 1py y i x = 1) + px = 2py yx =2 = |?(yylx = l+|py ylx = 2, yvo时，e( y) = 0；当时 , 房刊当ly v2时,a1 - -r fo -0 )（21

17、）（本题满分11分）证明阶矩阵1 1 - -1 与0 ?0 2 ,1 1 - -l ?0 n / 相似。【证明】fl1 - -1、0 - -0 n 11?-1 ,b =0 ?-0 2 u1?-1. 2时，旦(y) = l, 0,y0 *分i v 1 + -,ly2 -,ly 2, 4 0,其他ey =( dx+c-dx=- + -=-jo 4 ji 4 8 8 4 0,x 0为未知-e ,xq参数，x”x2, x为来自总体x的简单随机样本。(i)求 ex 及 ex，(h)求。的最大似然估计量0。(in)是否存在实数” ，使得对任意的 0,都有limpl ql2 = 0? noo 【解】0*0 (i)/(x) = 2x e x00ex = 2事嬴顼2財業力=屈dt =丽 + 1)= 。ex2