2020年吴老师数学8年级数学上第2次拓展部分角平分线

1、吴老师数学2020 年 8 年级数学上学期双休班第1 次拓展部分 -角平分线1 1-1如图，在四边形abcd中，bc ba，ad=cd ，bd平分 abc ，求证： a+c=180 1-2如图所示，四边形abcd中，bc ba，ad=cd ，bd平分 abc ，求证： a+c=180 2如图，点 p是mon 的平分线上的一点， a、b分别在 om、on上，且apb +mon=180 ，求证： pa=pb 3阅读：探究线段的和差倍分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等

2、的有关性质加以说明（1） 请完成下题的证明过程： 如图 1， 在abc中， b=2c ， ad平分 bac 求证： ab+bd=ac 证明：在 ac上截取 ae=ab ，连接 de（2）如图 2，adbc，ea ，eb分别平分 dab ，cba ，cd过点 e，求证： ab=ad +bc 吴老师数学2020 年 8 年级数学上学期双休班第1 次拓展部分 -角平分线2 4如图， abc中，ab=2ac ，ad平分 bac ，且 ad=bd 求证： cd ac 5如图，已知 abc中，ab=ac ，a=100 ，bd平分 abc ，求证： bc=bd +ad6如图，abc中，ab=ac ，a=10

3、8 ，bd平分 abc ，则 bc ，ab，cd之间的关系为7如图，在 abc中，b=60 ，ad、ce分别是 bac 、bca的平分线， ad、ce相交于点 f，请你判断并写出fe与 fd之间的数量关系；请说明理由8在四边形 abde中，c是 bd边的中点（1）如图（ 1） ，若 ac平分 bae ，ace=90 ，则线段 ae 、ab、de的长度满足的数量关系为； （直接写出答案）（2）如图（ 2） ，ac平分bae ，ec平分aed ，若 ace=120 ，则线段 ab、bd、de 、ae的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（ 3） ，bd=8，ab=2，de=8 ，若

4、ace=135 ，则线段 ae长度的最大值是（直接写出答案）1-1证明：过点 d 作 de bc于 e，过点 d 作 df ab交 ba的延长线于 f，吴老师数学2020 年 8 年级数学上学期双休班第1 次拓展部分 -角平分线3 bd平分 abc ，de=df ，dec= f=90 ，在 rtcde 和 rtadf中，rtcde rtadf （hl） ， fad= c， bad +c=bad +fad=180 1-2证明：如图，过d 作出 de ba，dfbc ，bd平分 abc ，de ba，dfbc ，de=df ，e=dfc=90 ，在 rtdea和 rtdfc中，rtdea rtdf

5、c （hl） ， c=ead ，bad +ead=180 ， bad +c=180 2证明：过 p作 pe om 于 e，pf on于 f，点 p是mon 的平分线上的一点， pe=pf ，pea= pfb=90 ，apb +mon=180， oap +pbf=360 180 =180 ，oap +eap=180 ， eap= pbf ，在pea和pfb中， pea pfb （aas ） ，pa=pb 3证明：在 ac上截取 ae=ab ，连接 de，如图 1：ad平分 bac ， bad=dac ，在abd和aed中， abd aed （sas ） ，b=aed ，bd=de ，又 b=2c

6、 ， aed=2 c，而aed= c+edc=2 c，c=edc ，de=ce ，ab+bd=ae +ce=ac ；（2）略（平行 +两个角平分线 =90度）4解：过 d作 deab于 e，吴老师数学2020 年 8 年级数学上学期双休班第1 次拓展部分 -角平分线4 ad=bd de abae= ab，dea=90 ，2ac=ab ae=acad平分 bac bad=cad ，在dea和dca中， dea dca ，acd= aed ， acd=90 ，acdc 5证明：如图，在bc上截取 be=ba ，延长 bd到 f使 bf=bc ，连接 de 、cf 又 1=2，bd是公共边， be=

7、ba ，abd ebd deb= a=100 ，则得 dec=80 ab=ac ，bd平分 abc ， abc= 3=40 ， 1=2=20 ，3=40bc=bf ，2=20 ， f=fcb= （180 2）=80 则f=dec4=80 3=40 ， 3=4，f=dec ，又dc=dc ，dce dcf （aas ）df=de=adbc=bf=bd +df=bd +ad6证明：在线段 bc上截取 be=ba ，连接 de bd平分 abc ， abd=ebd= abc 又bd=bd ， abdebd （sas ）bed= a=108 ，adb=edb 又ab=ac ，a=108 ，acb= a

8、bc= （180 108 ）=36 ， abd=ebd=18 adb= edb=180 18 108 =54 cde=180 adb edb=180 54 54 =72 dec=180 deb=180 108 =72 cde= dec cd=ce bc=be +ec=ab +cd故答案为： bc=ab +cd 7解： fe=fd 吴老师数学2020 年 8 年级数学上学期双休班第1 次拓展部分 -角平分线5 理由如下：方法一：如图1，在 ac上截取 ag=ae ，连接 fg，ad是bac的平分线， 1=2，在aef和agf中， aef agf （sas ） ， afe= afg ，fe=fg

9、，b=60 ， bac +acb=180 60 =120 ，ad、ce分别是 bac 、bca的平分线， 2=bac ，3= acb ，2+3=（bac +acb ）=120 =60 ， afe= cfd= afg=60 cfg=180 afg cfd=180 60 60 =60 ， cfg= cfd ，ce是bca的平分线， 3=4，在cfg和cfd中， cfg cfd （asa ） ，fg=fd ，fe=fd ；8解： （1）ae=ab +de；理由：在 ae上取一点 f，使 af=ab ac平分 bae ， bac= fac 在acb和acf中， acb acf （sas ） ，bc=f

10、c ，acb= acf c是 bd边的中点 bc=cd ，cf=cd ace=90 ， acb +dce=90 ，acf +ecf=90 ecf= ecd 在cef和ced中， cef ced （sas ） ，ef=ed ae=af +ef ，ae=ab +de；故答案为： ae=ab +de吴老师数学2020 年 8 年级数学上学期双休班第1 次拓展部分 -角平分线6 （2）猜想： ae=ab +de +bd证明：在 ae上取点 f，使 af=ab ，连结 cf ，在 ae上取点 g，使 eg=ed ，连结 cg c是 bd边的中点， cb=cd= bd ac平分 bae ， bac= fa

11、c 在acb和acf中， acb acf （sas ） ，cf=cb ， bca= fca 同理可证： cd=cg ， dce= gce cb=cd ，cg=cface=120 ， bca +dce=180 120 =60 fca +gce=60 fcg=60 fgc是等边三角形fg=fc= bdae=af +eg +fg ae=ab +de +bd（3）在 ae上取点 f，使 af=ab ，连结 cf ，在 ae上取点 g，使 eg=ed ，连结 cg c是 bd边的中点， cb=cd= bd ac平分 bae ， bac= fac 在acb和acf中， acb acf （sas ） ，cf=cb ， bca= fc