2020年上海卷数学高考真题

1、2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（上海卷）一、填空题（本题共 12 小题，满分 54分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）1. 已知集合1,2,4a，2,3,4b，求 ab_ 【分值】 4 分【答案】2,42.1lim31nnn_ 【分值】 4 分【答案】133. 已知复数 z 满足1 2zi （i为虚数单位），则z_ 【分值】 4 分【答案】54. 已知行列式126300acdb，则行列式acdb_ 【分值】 4 分【答案】 2 5. 已知3fxx，则1fx_ 【分值】 4 分【答案】13xxr6. 已知 a、b、1、2 的中位数为 3，平均数为 4，则 a

2、b= 【分值】 4 分【答案】 36 7. 已知20230 xyyxy，则2zyx的最大值为【分值】 5 分【答案】 -1 8. 已知na是公差不为零的等差数列，且1109aaa，则12910aaaa【分值】 5 分【答案】2789. 从 6 人中挑选 4 人去值班，每人值班1 天，第一天需要1 人，第二天需要1人，第三天需要 2 人，则有种排法。【分值】 5 分【答案】 180 10. 椭圆22143xy，过右焦点 f 作直线 l 交椭圆于 p、q两点， p在第二象限已知, ,qqqqq xyqxy都在椭圆上，且y0qqy，fqpq，则直线 l 的方程为【分值】 5 分【答案】10 xy11

3、、设 ar ，若存在定义域r的函数fx既满足“对于任意0 xr，0fx的值为20 x或0 x”又满足“关于x的方程f xa无实数解”，则的取值范围为【分值】 5 分【答案】,00,11,【解析】题目转换为是否为实数a, 使得存在函数f x满足“对于任意0 xr，0f x的值为20 x或0 x” ，又满足“关于的方程f xa无实数解”构造函数；2,x xafxxxa，则方程fxa只有 0,1 两个实数解。12、已知是平面内两两互不平等的向量，满足，且(其中1,21,2,.ijk，) ，则 k的最大值为【分值】 5 分【答案】 6 【解析】根据向量减法的运算规律，可转化为以向量终点为圆心，作半径1

4、1r和22r的圆，两圆交点即为满足题意的， 由图知， k 的最大值为 6. 二、选择题（本题共有4 小题，每题 5 分，共计 20 分）13、下列不等式恒成立的是（）a、222ababb、22-2ababc、2ababd、2abab【分值】 5 分【答案】 b 【解析】无14、已知直线 l 的解析式为3410 xy，则下列各式是 l 的参数方程的是（）a、4334xtytb、4334xtytc、1413xtytd、1413xtyt【分值】 5 分【答案】 d 【解析】无15、在棱长为 10 的正方体 . 1111abcda bc d 中，p为左侧面11add a 上一点，已知点p到11ad 的

5、距离为 3，点p到1aa 的距离为 2，则过点p且与1ac平行的直线交正方体于p、q两点，则q点所在的平面是（）a. 11aab bb. 11bbc cc. 11cc d dd. abcd【分值】 5 分【答案】 d 【解析】延长 bc 至 m 点，使得=2cm延长1cc 至 n 点，使得3cn, 以 cmn、为顶点作矩形，记矩形的另外一个顶点为h，连接1apphhc、，则易得四边形1aphc 为平行四边形，因为点p在平面11add a 内，点h在平面11bcc b 内，且点 p在平面 abcd的上方，点h在平面 abcd 下方，所以线段 ph 必定会在和平面 abcd 相交，即点q在平面 a

6、bcd内16. 、 若 存 在 ar且a0 ,对 任 意 的xr ， 均 有f xaf xf a恒成立，则称函数f x具有性质p，已知：1:qfx单调递减，且0fx 恒成立；2qfx：单调递增，存在00 x 使得00fx，则是f x具有性质p的充分条件是（）a、只有1qb、只有2qc、12qq和d、12qq和都不是【分值】 5 分【答案】 c 【解析】本题要看清楚一个函数具有性质p的条件是，存在 ar且a0，则对于10qa， 时，易得函数fx具有性质p；对于2q ，只需取0ax ，则0 xaxxx ，00f af x，所以0=fxafxxf xf xf a，所以此时函数fx具有性质p. 三、解

7、答题（本题共5 小题，共计 76 分）综合题分割17、已知边长为 1 的正方形 abcd ，沿 bc旋转一周得到圆柱体。（1）求圆柱体的表面积；（2） 正方形 abcd 绕 bc逆时针旋转2到11a bcd， 求1a d与平面 abcd 所成的角。【分值】【答案】 （1）4；（2）3arcsin3综合题分割18、已知f(x)=sin(0)x. （1）若 f(x) 的周期是 4，求，并求此时1f ( )2x的解集；（2）已知=1，2g( )( )3 ()()2xfxfx fx ，x0,4，求 g(x) 的值域 . 【分值】【答案】 （1）1=2，5xx|x=4x4,33kkkz或; （2）1-,

8、02综合题分割19、已知：=xq，x(0,80，且801100-135( ),(0,40)=(0)3(40)85,40,80 xxkk xx，（1）若 v95，求 x 的取值范围；（2） 已知 x=80时，v=50，求 x 为多少时，q 可以取得最大值， 并求出该最大值。【分值】【答案】 （1）80 x(0,)3；（2）480 x7时，max28800q=7综合题分割20、双曲线22122:14xycb，圆2222:4(0)cxybb在第一象限交点为a，(,)aaa xy，曲线2222221,44,aaxyxxbxybxx。（1）若6ax，求 b；（2）若b5，2c与 x 轴交点记为12ff、

9、,p是曲线上一点，且在第一象限，并满足18pf，求12f pf；（3） 过点2(0,2)2bs且斜率为2b的直线 l 交曲线于 m 、n两点，用 b 的代数式表示，并求出的取值范围。【分值】【答案】 （1）2；（2）1116；（3）(62 5,)；【解析】 （1）若6ax，因为点 a为曲线1c与曲线2c的交点，222222144aaxybxyb，解得22yb，2b（2）方法一：由题意易得12ff、为曲线的两焦点，由双曲线定义知：212pfpfa，18,24pfa，24pf又5b，126f f在12pf f中由余弦定理可得：2221212121211cos216pfpff ff pfpfpf方法

10、二：5b，可得2222145(3)64xyxy，解得(4,15)p，（3）设直线24:22bblyx可得原点 o到直线 l 的距离222224424414bbdbbb所以直线 l 是圆的切线，切点为m, 所以2omkb， 并设2:omlyxb， 与圆2224xyb联立可得222244xxbb，所以得,2xb y，即( ,2)m b，注意到直线 l 与双曲线得斜率为负得渐近线平行，所以只有当2ay时，直线 l 才能与曲线有两个交点，由222222144axybxyb，得422abyab，所以有4244bb，解得222 5b，或222 5b（舍）又因为由上的投影可知：所以21. 有限数列na， 若

11、满足12131| | .|maaaaaa，m是项数，则称na满足性质p. （1） 判断数列3,2,5,1和4,3,2,5,1是否具有性质p，请说明理由 . （2） 若11a，公比为q的等比数列，项数为 10， 具有性质p， 求q的取值范围 . （3） 若na是1,2,.,m的一个排列1(4),(1,2.1),kknnmbakmab都具有性质p，求所有满足条件的na. 【分值】【答案】 （1）对于第一个数列有|23| 1,|53| 2,|1 3|2，满足题意，该数列满足性质p对于第二个数列有|34| 1,|24| 2,|54| 1不满足题意，该数列不满足性质p. （2）由题意可得，111 ,2,

12、3,.,9nnqqn两边平方得：2-2-1212+1nnnnqqqq整理得：11(1)120nnqqqq当1q时，得1(1)20nqq， 此时关于n恒成立，所以等价于2n时(1)20q q，所以(2)(1)0qq，所以q-2或者ql ，所以取q1. 当01q 时，得1(1)2nqq 0, 此时关于n恒成立，所以等价于2n时(1)20q q，所以(2)(1)0qq，所以21q , 所以取01q 。当10q 时，得11(1)20nnqqq。当n为奇数的时候，得1(1)20nqq, 很明显成立，当n为偶数的时候，得1(1)20nqq， 很明显不成立，故当10q 时，矛盾，舍去。当1q时，得11(1)

13、20nnqqq。当n为奇数的时候，得1(1)20nqq, 很明显成立，当n为偶数的时候，要使1(1)20nqq恒成立，所以等价于2n时(1)20q q，所以021qq，所以q-2或者q1，所以取q-2。综上可得，, 20,q。（3）设1=ap3,4,32pmm,，因为1ap，2a可以取1p或者1p，3a可以取2p或者+2p。如果2a或者3a取了3p或者3p，将使na不满足性质p所以，na的前五项有以下组合：1ap，21ap，31ap，42ap，52ap，1ap，21ap，31ap，42ap，52ap，1ap，2+1ap，31ap，42ap，52ap，1ap，2+1ap，31ap，42ap，52ap，对于，11bp，212bb，311bb，与nb满足性质p矛盾，舍去。对于，11bp，212bb，313bb，412bb与nb满足性质p矛盾，舍去。对于，1+1bp，212bb，313bb，411bb与nb满足性质p矛盾，舍去