D24隐函数求导89247学习教案

1、会计学1D24隐函数求导隐函数求导89247若由方程可确定 y 是 x 的函数 ,由表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导方法求导方法: 0),(yxF两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )(含导数 的方程)y第1页/共29页03275xxyy在 x = 0 处的导数解解: 方程两边对 x 求导得因 x = 0 时 y = 0 , 故确定的隐函数第2页/共29页在点处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对 x 求导02323xy故切线方程为即第3页/共29页二阶导数解解: 方程两边

2、对 x 求导：得上式两边再对 x 求导 , 得0确定的隐函数的第4页/共29页)(xyy 由方程确定 , 解解:方程两边对 x 求导,得再求导, 得当时,故由 得再代入 得 求第5页/共29页的导数 . 解解: 两边取对数 , 化为隐式两边对 x 求导注注: 幂指函数的求导，先取对数再求导幂指函数的求导，先取对数再求导-对数求导法对数求导法.第6页/共29页例如例如,两边取对数两边对 x 求导balnxaxb第7页/共29页对 x 求导两边取对数第8页/共29页若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导, 且则有关系,即xydd第9页/共29页)(, )(tt二阶可导,且则由它确定的函数

3、)(xfy 可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得记记第10页/共29页xydd?, 且求)(tf 已知解解:练习练习: 书P112 题8(1)解解:注意注意 :对谁求导? 第11页/共29页为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率第12页/共29页其速率为当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 解解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则两边对 t 求导已知 h = 500m 时,第13页/共29页100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距

4、离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?提示提示: tan对 t 求导2sec已知500求第14页/共29页试求当容器内水今以 自顶部向容器内注水 ,scm253位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,水的h两边对 t 求导而hxhRr故体积为 V , 则xr第15页/共29页1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3. 参数方程求导法极坐标方程求导4. 相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对 t 求导相关变化率之间的关系式转化转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式第16

5、页/共29页1. 求螺线在对应于的点处的切线方程.解解: 化为参数方程xydd当时对应点斜率 切线方程为22MxO点击图中任意处动画播放暂停第17页/共29页求提示提示: 分别用对数微分法求答案答案: :第18页/共29页, 求解解：方程组两边同时对 t 求导, 得 第19页/共29页2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 7 (2) ; 8 (2) ,(3) ; 11. 第五节 第20页/共29页二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用*四、微分在估计误差中的应用四、微分在估计误差中的应用一、微分的概念一、微分的概念 函数的微

6、分 第二章 第21页/共29页引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为xx 0 xx 0关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为故称为函数在 的微分0 x当 x 在取得增量x时,0 x变到边长由其第22页/共29页的微分微分,)(xfy 在点 的增量可表示为0 x( A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为xA记作即定理定理: 函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x即在点0 x可微可微,第23页/共29页证证: “必要性必要性” 已知)(xfy 在点 可微 ,0 x则故)( xoxA)(xfy 在点 可导,0 x且)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且即xxfy)(d0第24页/共29页)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(xfy 即在点 的可导,0 x则线性主部的此项为时yxf0)(0第25页/共29页时 ,所以时yd很小时, 有近似公式与是等价无穷小,当故当第26页/共29页xxfy)(d0 xx0 xyO)(