高代题库试题与答案(共52页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上高等代数（下）试题(10) 一 填空题 （每小题三分共15分）1 A,B为n 阶可逆矩阵， C=，则C_。2 A为n 阶矩阵， =，则=_3 设f是一个n元负定的二次型，则二次型f 的秩等于_.4 设线性无关，W=L（），则W的维数为_ 。5 数量矩阵A=aE的 特征根 为 _。二 单项选择题（每小题三分共15分）1 设A是m矩阵, B是nm矩阵,则（ ） (A) 当m>n时，必有行列式0 （B）当m>n时，必有行列式=0（C）当n>m时，必有行列式0 （D）当n>m时，必有行列式=02设A，B，C均为n阶矩阵，且秩A=秩B，则 （ ）(A)

2、AB的秩与AC的秩不一定相等。(B) AB的秩与AC的秩一定相等。(C) AB的秩与AC的秩一定不相等。(D) AB的秩一定不超过C的秩。3 设向量空间V中含有r个向量，则下列结论成立的是 （ ）（ A）r=1； （B）r=2 ； （C） r=m （有限数）； （D）r=1或4 数域F上 n维向量空间V有（）个基（ A）； （B）n； （C） n!； （D）无穷多. 5 设向量空间W= (a,2a,3a) ,则W 的基为：（）（A）（ 1, 2, 3,）； （B）（a, a ,a）；（C）( a , 2a 3a) ； （D） (1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3)三 （

3、15分） X= 求X 四 （15分） 把二此型f (,x,x)= xx+ x,x+ xx 通过非退化线性替换化成平方和。五 （15分）求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间 交的基和维数 1）， 2），六（10分） 求矩阵 A= 的特征值与特征向量 七 证明题（15分） 1设A为n阶矩阵，A=2E, 证明B=A-2A+2E 可逆，并求 B2 设A，B都是n元正定矩阵，试证：A+B也是正定矩阵。3 设U是n维向量空间V的非平凡子空间， 证明：存在不止一个V的 高等代数（下）试题(9) 一 填空题 （每小题三分共15分）1 若=a，则=_.2 A=，则秩A=_。3 t 满足_时二次型 x+4 x

4、+x+2t xx+10 xx+6xx为正定二次型。 4 形如A=的矩阵（aF）作为M（F）的子空间，其维数为_ 。5 设n阶矩阵A满足A=A，则A的特征根只有_.二 单项选择题（每小题三分共15分）的1 A,B为 n 阶矩阵，则下列式子成立的是 （ ）（A） = + （B） (A+B) =A+B （C） AB=BA （D） 若AB=B+E，则有BA=B+E 2 A,B，C为n 阶矩阵，AB=BC=CA=E，则A+B+C= （ ）（A）3E （B）2E （C）E （D）O矩阵 3设与均为向量空间V中向量， L（）=L（），则下列结论成立的是 （ ）(A) S=m; (B) 可由线性表出；(C)

5、是L() 的一个基(D) 线性相关时，必有也相关+4设W，W都是V的子空间，则下列结论成立的是 （ ）（A）W+ （WW）= WW(B) W+ （WW）= W+W （C）W+ （WW）= W(D ) W+ （WW）= W5 设 A=，则A的特征根为 （ ）（A）1（二重） ； （B）5（二重） ；（C） -4，6 ； （D）1，5三 （15分） 已知A= ,求A 及(A)四 （15分） 把二此型f( x,x,x)= x+2 x+4x+2 xx+4xx 通过非退化线性替换化成平方和。五（15分）在 P中，求由向量（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数。 =（2，0，1，2） =（-1，1，

6、0，3）=（0，2，1，8） =（5，-1，2，1）六 (10分) 求矩阵 A= 的特征值与特征向量七 证明题（15分）1 A,B为n 阶方阵，ABA=B,证明秩（E-AB）+秩（E+AB）=n.2 证明：若A为正定阶矩阵，则A也为正定阶矩阵。3 设 V与V是V的互不相同的非平凡子空间，且V= V+V，证明：存在V的非平凡子空间WV，I=1,2,使得V= WW。高等代数（下）试题(8) 一 填空题 （每小题三分共15分）1 A=,B 为秩等于2三阶矩阵，则秩AB=_。2 A=, B=,=2,则=_。3实二次型f( x,x,x)= x+2 xx-2 x-x的秩为_ ；符号差为_ 。4 是向量空设

7、间V中的一个向量，则的负向量由_ 唯一确定。5 齐次线性方程组(X=0的_都是A的_特征向量。 二 单项选择题（每小题三分共15分）1 A ,B，C都是n阶矩阵，且ABC=I，则（ ）成立(A) CBA=I (B) BAC=I (C) ACB=I (D) BCA=I 2 A,B为n 阶对称矩阵，下列命题不正确的为 （ ） （A）A+B对称 ; （B）AB对称; （C）A+B对称 ; （D）AB+BA对称 。3 设向量空间V中含有r个向量，则下列结论成立的是 （ ）（ A）r=1； （B）r=2 ； （C） r=m （有限数）； （D）r=1或 4 数域F上 n维向量空间V有（）个基（ A）；

8、（B）n； （C） n!； （D）无穷多5设 A=，则A的特征根为 （ ）（A）1（二重） ； （B）5（二重） ；（C） -4，6 ； （D）1，5三 （15分） 解矩阵方程XA=B+2X，其中A= B= 四（15分） 把二此型 f( x,x,x)=xx+4xx-6x 通过非退化线性替换化成平方和。五 （15分）求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间 交的基和维数 ，六 (10分) 求矩阵 A= 的特征值与特征向量七 证明题（15分）1 设A为 n 阶矩阵，A0，且A=0，B为 n 阶可逆矩阵，证明 当 AX=XB时，必有 B=0 2设A实对称矩阵，证明：当t 充分大后，t E +A是正定

9、矩阵。3证明：如果V=VV，V=VV，则V= VV V. 高等代数（下）试题(7) 1 A=, B=,=2,则=_。2 A= ,B为秩等于2的三阶矩阵，则秩AB=_。3 二次型 f(x ,x, x)= x+2xx+2 xx则f 的秩为_。正惯性指标为_。4 t 满足_时二次型2 x+ x+5x+2t xx-2 xx+4xx为正定二次型。5 A=特征值为_。二 单项选择题（每小题三分共15分）的1 A,B，C为n 阶矩阵，AB=BC=CA=E，则A+B+C=（ ）（A）3E （B）2E （C）E （D）O矩阵 2 设A为n 阶矩阵，A是A的伴随矩阵，则一定有 （ ）（A） (A)=A （B）A=

10、 A（C） AA= A A=I （D）(A)= 3 设W，W都是V的子空间，则不一定V的子空间的是 （ ）（A）WW (B) WW ( C) W+W (D) W+V 4 设是矩阵A的 特征根，并且有，则 是 的_特征根 （ ） （A） -A （B） A （C）A （D） A 5 设向量空间W= (a,2a,3a) ,则W 的基为：（）（A）（ 1, 2, 3,）； （B）（a, a ,a）；（C）( a , 2a 3a) ； （D） (1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3) 三（15分）A= 求A 四（15分） 把二此型 f( x,x,x)= x-3 x-2 xx+2 x

11、x-6xx 通过非退化线性替换化成平方和。五 （15分）求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间 交的基和维数， ,六 (10分) 求矩阵 A= 的特征值与特征向量七 证明题（15分）1 设A,B为n阶矩阵，A=B=1 且+=0，证明 （A+B）不可逆。2 为m n阶实矩阵， B=E+ AA, 证明： 当0时，B为正定阶矩阵。3 A为n阶实反对称矩阵， 即A= - A，证明：若是矩阵A的特征根，则-也是矩阵A的特征根高等代数（下）试题(6) 一 填空题 （每小题三分共15分）1 A为n 阶矩阵，A是A的伴随矩阵，则AA=_。2 A=，则秩A=_。3 实二次型f( x,x,x)= x+2 xx-

12、2 x-x的秩为_；符号差为_。4 数域F上任意n维向量空间V都可表为_个一维子空间的直和5 设n阶矩阵A满足A=A，则A的特征根只有_。二 单项选择题（每小题三分共15分）1 设A是3矩阵,则等于 （ ） (A) -2 （B）2（C） -8（D）82 A ,B，C都是n阶矩阵，且ABC=I，则（ ）成立(A) CBA=I (B) BAC=I (C) ACB=I (D) BCA=I3 设与均为向量空间V中向量， L（）=L（），则下列结论成立的是 （ ）(A) S=m; (B) 可由线性表出；(C) 是L() 的一个基(D) 线性相关时，必有也相关 4 设向量空间W= (a,2a,3a) ,则

13、W 的基为： （）（A）（ 1, 2, 3,）； （B）（a, a ,a）；（C）( a , 2a 3a) ； （D） (1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3)5 设 A=则A的特征根是 （ ） （ A）1（四重） ； （B）1（二重），2（二重） ；（C）2（二重），3（二重）； （D）1（二重），2，3 三（15分） 设A是A的伴随矩阵，X满足 AX= A+2X，求矩阵X，其中A= 四 （15分） 把二此型f (,x,x)= 2xx+2x,x-6 xx 通过非退化线性替换化成平方和。五 （10分） 在 P中，求由向量（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数。，六

14、(15分) 求矩阵 A=的特征值与特征向量 七 证明题（15分）1设A为 n 阶反对称矩阵，（即A= -A），E-A，E+A 皆可逆，2 如果AA是n 阶正定矩阵，kk 是正数， 证明：k A+ + k A也是正定矩阵。3证明：每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和 高等代数（下）试题(5) 一 填空题 （每小题三分共15分）1 A=，为n 阶单位矩阵，则A_。2 A为n 阶矩阵， =，则=_。3 正定二次型的特征根都是_。4 设线性无关，W=L（），则W的维数为_ 。5 齐次线性方程组(X=0的_都是A的特征向量。二 单项选择题（每小题三分共15分）1 设A是m矩阵, B是nm矩阵

15、,则 （ ） (A) 当m>n时，必有行列式0 （B）当m>n时，必有行列式=0（C）当n>m时，必有行列式0 （D）当n>m时，必有行列式=02 A,B为3 阶矩阵，A=() B=(),三维列向量，=18，=2, = （ ）3 设向量空间V中含有r个向量，则下列结论成立的是 （ ）（ A）r=1； （B）r=2 ； （C） r=m （有限数）； （D）r=1或4 设与均为向量空间V中向量， L（）=L（），则下列结论成立的是 （ ）(A) S=m; (B) 可由线性表出；(C) 是L() 的一个基(D) 线性相关时，必有也相关 5 设向量空间W= (a,2a,3a)

16、,则W 的基为： （）（A）（ 1, 2, 3,）； （B）（a, a ,a）；（C）( a , 2a 3a) ； （D） (1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3)三 （15分） 解矩阵方程XA=B+2X，其中A= B= 四 （15分） 把二此型f( x,x,x)= x+2 x+4x+2 xx+4xx 通过非退化线性替换化成平方和。五 （15分）在 P中，求由向量（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数。 =（2，0，1，2） =（-1，1，0，3）=（0，2，1，8） =（5，-1，2，1）六 (10分) 求矩阵 A= 的特征值与特征向量七 证明题（15分）1设A为

17、 n 阶反对称矩阵，（即A= -A），E-A，E+A 皆可逆，2 设A，B都是n元正定矩阵，试证：A+B也是正定矩阵。3 设U是n维向量空间V的非平凡子空间， 证明：存在不止一个V的子空间W，使得V=UW。 高等代数（下）试题(4) 一 填空题 （每小题三分共15分）1 若=，则=_.2 设A为n 阶矩阵，秩A=n-1,B非零，n 阶矩阵，AB=0,则秩B=_。3 t 满足_时二次型 x+4 x+x+2t xx+10 xx+6xx为正定二次型。 4 形如A=的矩阵（aF）作为M（F）的子空间，其维数为_。5 数量矩阵A=aE的 特征根 为 _。二 单项选择题（每小题三分共15分）的1 A,B为

18、 n 阶矩阵，则下列式子成立的是 （ ）（E） = + （F） (A+B) =A+B （G） AB=BA （H） 若AB=B+E，则有BA=B+E 2 A,B，C为n 阶矩阵，AB=BC=CA=E，则A+B+C= （ ）（A）3E （B）2E （C）E （D）O矩阵 3设与均为向量空间V中向量， L（）=L（），则下列结论成立的是 （ ）(A) S=m; (B) 可由线性表出；(C) 是L() 的一个基(D) 线性相关时，必有也相关+4设W，W都是V的子空间，则下列结论成立的是 （ ）（A）W+ （WW）= WW(B) W+ （WW）= W+W （C）W+ （WW）= W(D ) W+ （WW

19、）= W5 设 A=，则A的特征根为 （ ）（A）1（二重） ； （B）5（二重） ；（C） -4，6 ； （D）1，5 三（15分）A= 求A 四（15分） 把二此型 f( x,x,x)= x-3 x-2 xx+2 xx-6xx 通过非退化线性替换化成平方和。五 （15分）求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间 交的基和维数 1）， 2），六 (10分) 求矩阵 A=的特征值与特征向量七 证明题（15分） 1设A为n阶矩阵，A=2E, 证明B=A-2A+2E 可逆，并求 B2 设A是实对称矩阵，证明：当t 充分大后，t E +A是正定矩阵。3 设 V与V是V的互不相同的非平凡子空间，且V=

20、 V+V，证明：存在V的非平凡子空间WV，I=1,2,使得V= WW。高等代数（下）试题(3) 一 填空题 （每小题三分共15分）1 设A为n 阶矩阵，A=(B+E),且A=A,则B=_。2 A=, B=,=2,则=_。3 二次型f( x,x,x)= x-2 xx + x+3 xx的矩阵是_ 。4 是向量空设间V中的一个向量，则的负向量由_唯一确定。5 设是F的两个 线性变换, =（x，x，x，x），=（0，x，x，x）则=_。二 单项选择题（每小题三分共15分）1 A,B，C为n 阶矩阵，AB=BC=CA=E，则A+B+C=（ ）（A）3E （B）2E （C）E （D）O矩阵2 A,B为n

21、阶对称矩阵，下列命题不正确的为（ ） （A）A+B对称 ; （B）AB对称; （C）A+B对称 ; （D）AB+BA对称 。3 复数域C对于数的乘法与加法可以构成（）上的向量空间。（ A）复数域 C； （B）实数域C； （C）有理数域Q； （D）任意数域F4 数域F上 n维向量空间V有（）个基（ A）； （B）n； （C） n!； （D）无穷多5 数域F上 n维向量空间 的维数为r, V, 且任意V中向量可由 线性表出，则下列结论成立的是 （ ） （ A）r=n； （B）r ； （C） r <n； （D） r >n三 （15分） X= 求X 四 （15分） 把二此型f( x,x,x

22、)= xx+ xx+xx 通过非退化线性替换化成平方和。五 （15分）求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间 交的基和维数 ，六 (10分) 求矩阵 A= 的特征值与特征向量 七 证明题（15分） 1 设A为 n 阶矩阵，A0，且A=0，B为 n 阶可逆矩阵，证明 当 AX=XB时，必有 B=0 2 设A，B都是n元正定矩阵，试证：A也是正定矩阵。 3 证明：每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和 高等代数（下）试题(2) 一 填空题 （每小题三分共15分）1设A为n 阶矩阵，A=（B+I），且A=A，则B=_ 。2 A= ,B为秩等于2的三阶矩阵，则秩AB=_。3 二次型 f(x

23、 ,x, x)= x+2xx+2 xx则f 的秩为_。正惯性指标为_。4 A= 的一个特征值为2，则 t=_。 5 A=特征值为_。二 单项选择题（每小题三分共15分）的1设A，B分别是mn, np矩阵，则BA 是 （ ） （A） m p 矩阵 (B) pm 矩阵 （C） n n 矩阵 （D）n m 矩阵 2 设A为n 阶矩阵，A是A的伴随矩阵，则一定有 （ ）（A） AA= A A=I （B）A= A（C） (A)=A （D）(A)= 3 W, W都 是线性空间V的子空间,则下列关系式不一定成立的是 （ ） （A） W W W , W W W(B) W W+W , W W+W (C) W+W

24、 WW, (D) WW W+W4设是矩阵A的 特征根，并且有，则 是 （ ） 特征根 （A） -A （B） A （C）A （D） A 5 B为mn矩阵，则方程组BX=0只有零解是BB=O为正定矩阵的 （ ）（ A） 充分条件 （B）必要条件 （C ）充分必要条件 （D非充分条件也非必要条件 三（15分）设A是A的伴随矩阵，X满足 AX= A+2X，求矩阵X，其中A= 四（15分） 把二此型 f( x,x,x)=xx+4xx-6x 通过非退化线性替换化成平方和。 五 （15分）求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间 交的基和维数， , 六 (10分) 求矩阵 A= 的特征值与特征向量七 证明题

25、（15分）1 设A,B为n阶矩阵，A=B=I, 且+=0，证明 （A+B）不可逆。 2 设A为m n阶实矩阵， B=E+ AA, 证明： 当0时，B为正定矩阵。3 A为n阶实反对称矩阵， 即A= - A，证明：若是矩阵A的特征根，则-也是矩阵A的特征根 高等代数（下）试题(1) 一 填空题 （每小题三分共15分）1 设A 是一个n阶方阵，且A=0，则（E-A）(E+A+A)=_2 设A为n 阶矩阵，且秩A=r, P,Q为n阶可逆矩阵，则秩（AQ）=_秩（APQ）=_3 二次型 f(x ,x, x)=-6 x x 的矩阵是_4 设 W, W是有限维线性空间V的子空间，W, W ,W WW+ W之

26、间的维数公式为_。5 设是矩阵A的一个特征根，且0，则是 _的一个特征根。 二 单项选择题（每小题三分共15分）1 设A，B，C均为n阶矩阵，则下列论断正确的有 （ ）若AB=BA，则（A） 若AB=AC，则B=C（B） A（B+C）=（B+C）A（C） A A =A（D） （A+B）（A-B）=A-B2 设A，B，C均为n阶矩阵，且秩A=秩B，则 （ ）（A） AB的秩与AC的秩不一定相等。（B） AB的秩与AC的秩一定相等。（C） AB的秩与AC的秩一定不相等。（D） AB的秩一定不超过C的秩。3 设W，W都是V的子空间，则不一定V的子空间的是 （ ）（A）WW (B) WW ( C) W

27、+W (D) W+V4 设W=，W=， W=， 则下列结论不成立的是 （ ）（A）dimW+W=F (B) W+W是直和（C）W+W+ W= F （D） W+W是直和4 设是向量空间V的一个线性变换，则下列结论成立的是 （ ）（A） 一定有特征根，从而有特征向量。（B）有特征根，但无有特征向量。（C）若有特征根，则一定有特征向量。（D）不一定有特征根，但一定有特征向量。 三 （15分） 已知A= ,求A 及(A) 四（15分） 把二次型 f (x,x,x)=2 xx+2 x,x-6 xx 通过非退化线性替换化成平方和。 五（10分） 在 P中，求由向量（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维

28、数。， ，六（15分） 求矩阵 A= 的特征值与特征向量七 证明题（15分）1 设A,B为n阶矩阵，且ABA=B ，证明 秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n2 如果AA是n 阶正定矩阵，kk 是正数， 证明：k A+ + k A也是正定矩阵。3 证明：如果V=VV，V=VV，则V= VV V. 高等代数（下）答案 (1) 一1，E 2 , r 3, 4, dimW+ dimW=dim(W+ W)+dim(W W) 5 二 1，C 2，A 3，A 4，B 5，C 三 （15分） 已知A= ,求A 及(A)解：（AE） 4分 4分 A=， =27 (A)= = 四（15分） 把二次型 f (x,

29、x,x)= 2xx+2 x,x-6xx 通过非退化线性替换化成平方和。 解：二次型f (x,x,x)的矩阵 A= 5分 6分 f (x,x,x)=2w-2w-6w 2分 2分 五（10分） 在 P中，求由向量（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数。， ， 解： 4分 3分，是L(，,，)的一组基 维数为3 3分六（15分） 求矩阵 A= 的特征值与特征向量解：=（）=0 6分 矩阵的特征值与特征向量 =2 3分解方程组 3分A 的特征向量为k (1, 3, 0 ) + k(0, 1, 1 )七 证明题（15分）1设A,B为n阶矩阵，且ABA=B ，证明 秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=

30、n证明：因为ABA=B，所以ABAB=E （E-AB）（E+AB）=0 秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n 2分秩(E-AB)+ 秩(E+AB) 秩（(E-AB+ E+AB)=n 2分所以,秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n 1分2如果AA是n 阶正定矩阵，kk 是正数， 证明：k A+ + k A也是正定矩阵。 证明：AA是n 阶正定矩阵， 所以XAX XAX 2分X(k A+ + k A)X 2分所以，k A+ + k A也是正定矩阵。 1分3证明：如果V=VV，V=VV，则V= VV V. 证明：显然有V= VV +V. 设 +=0 因为（ ）+=0 ，V=VV 所 以 =0 ，=0

31、有因为，V=VV，所以 = =0 从而，V= VV V. 高等代数（下）答案 (2)一 I 2 , 2 3, 3 2 4, 6 5，=1-（n-1）a, =1-a二 1 B，2，A 3，C 4，D 5，C三（15分）设A是A的伴随矩阵，X满足 AX= A+2X，求矩阵X，其中A= 解：A= 4 分 A= 3 分 X = A（A-2E） 3分 X= 5分 四（15分） 把二此型 f( x,x,x)=xx+4xx-6x 通过非退化线性替换化成平方和。解A= 3分 6分P=， X=PY ， 3分f( x,x,x)=y-+24y 3分 五 （15分）求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间 交的基和维

32、数， , 解：=x+x= -y-y-y 4分 解方组组的秩为4 6分所以dim(W W)=1， 2分（53，119，-19，-134）是W W的一组基 。 3分六 (10分) 求矩阵 A= 的特征值与特征向量解：=（）(=0 3分 矩阵的特征值与特征向量 =1,=-2 2分解方程组 , 3分得A的征向量为 k (-2, 1, 0 )+k(0, 0, 1 ) 2分七 证明题（15分）2 设A,B为n阶矩阵，A=B=1 且+=0，证明 （A+B）不可逆。证明：= = 2分 （ +）=0 所以=-1，= - 2分所以（A+B）=0，（A+B）不可逆。 1分2 设A为m n阶实矩阵， B=E+ AA,

33、 证明： 当0时，B为正定矩阵证明： XBX=X（E+ AA）X 1分 XEX X AAX 2分 XBX=X（E+ AA）X 所以，当0时，B为正定矩阵 2分 3 A为n阶实反对称矩阵， 即A= - A，证明：若是矩阵A的特征根，则-也是矩阵A的特征根证明： = 2分 =（-1） 2分 若是矩阵A的特征根，则-也是矩阵A的特征根 1分高等代数（下）答案 (3)一 1，E 2， 12 3， 4 5， （0，0，x，x）二 1,B, 2,A 3,A,4,B,5,A三 （15分） X= 求X 解：（AE） 2分 4分 4分 A=， X= A= 四 （15分） 把二此型f( x,x,x)=xx+ xx

34、+xx通过非退化线性替换化成平方和。解：令 3分 f( x,x,x)= （）-y-y 4分f( x,x,x)= z-z-z 4分非退化线性替换为 4分五 （15分）求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间 交的基和维数 ，解：=x+x= -y-y 4分 解方组组的秩为3 4分所以dim(W W)=1， 2分+= W W， 3分+是W W的一组基 。 2分六 (10分) 求矩阵 A= 的特征值与特征向量解：=（）（-）（+）=0 5分 矩阵的特征值=2， =2+，=2-， 3分解方程组得特征向量为=（1，0，-1），=（1，-，1）=（1，1） 5分A的特征向量为k+k+k 2分 七 证明题（1

35、5分） 1 设A为 n 阶矩阵，A0，且A=0，B为 n 阶可逆矩阵，证明 当 AX=XB时，必有 X=0 证明： AX=XB AX=XB=0 3分 B可逆，所以必有 X=0 2分2 设A 是 n元正定矩阵，试证：A也是正定矩阵。 证明：A可逆，存在可逆矩阵C使得 A = CC 2分 A = C（C）= （C）（C） 2分 所以，A也是正定矩阵。 3证明：每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和 证明：设V为n维向量空间，而，为它的一组基， 则L（） 都是V的一维子空间，且L（）+ L（）+L（）= L（，）=V 2分而，为它的一组基，所以零向量的表示方法唯一 2分故以上的和为直和所以，每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和 1分 高等代数（下）答案 (4)一 1 2 , 2 2, 3 - 4, 1 5， a二 1 D，2，A 3，B 4，C 5，C三（15分）A= 求A 解： = 1 3分A= 6分A= A 4分 = 2分四（15分） 把二此型 f( x,x,x)= x-3 x-2 xx+2 xx-6xx 通过非退化线性替换化成平方和。解：二次型f (x,x,x)的矩阵 A= 5分 6分 f (x,x,x)=w+2w-3w 2分 2分五 （15分）求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间 交的基和维数 1）， 2），解：=x+x= -y-y