2020中考数学专题15—方法技巧之乾坤大挪移

1、12020 中考专题 15方法技巧之“乾坤大挪移”班级姓名.【方法解读】“乾坤大挪移”即为旋转法。旋转变换是平面几何中常见的一种转化思想，通过旋转几何图形的某一部分可将几何图形中看似无关的线段作为等量转移，使题目中的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，有利于问题的解决。旋转一般用于等腰三角形、正方形和正多边形中，关键条件在于有“邻边相等”。选好旋转中心和旋转角是关键。【例题分析】一、当条件中出现“邻边相等对角互补半角”例 1. （1）如图，在四边形abcd 中，90abadbd， ef、分别是边 bccd、上的点，且12eaf =bad 求证：efbefd ;（ 2）如图在四边

2、形abcd 中，180abadb+d， ef、分别是边bccd、上的点，且12eafbad ，（ 1）中的结论是否仍然成立？不用证明（ 3）如图，在四边形abcd 中， abad ，180badc， ef， 分别是边 bccd，延长线上的点，且12eafbad ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明2二、当条件中出现“邻边相等半角”.例 2. 在 等 边abc 的 两 边 ab ， ac 所 在 直 线 上 分 别 有 两 点 mnd， ，为abc 外 一 点 ， 且60mdn，120bdc， bdcd ，探究：当点mn，分别爱直线abac，上

3、移动时，bmbnmn，之间的数量关系及amn的周长q与等边abc的周长l的关系（ 1）如图，当点mn， 在边 abac，上，且 dmdn 时， bmncmn，之间的数量关系式_；此时ql_（ 2）如图，当点mn， 在边 abac，上，且 dmdn 时，猜想 (1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（ 3）如图， 当点 mn，分别在边ab ca，的延长线上时， 若 anx，则 q_(用 xl，表示 )三、当条件中出现“邻边相等对角互补”.例 3.如图所示，在四边形abcd 中， abbc ，90ac，135b， k 、 n 分别是 ab 、bc 上的点，若bkn 的周长为ab 的 2

4、 倍，求ndk的度数3四、仅有“邻边相等”例 4.如图，在等边abc 中有一点p，pa23，pb4，pc27.（ 1）求 apb 的度数；（ 2）求 abp 的面积；（ 3）求 apc 的面积；（ 4）求 abc 的面积.五、“费马点”问题例 5. 背景资料 ：在已知abc 所在平面上求一点p ，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小这个问题是法国数学家费马1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“ 费 马 点 ” 如 图 ， 当abc 三 个 内 角 均 小 于 120时 ， 费 马 点 p 在abc 内 部 ， 此 时120apbbpccpa，此时， papbpc

5、的值最小解决问题 ：（ 1）如图 ，等边abc 内有一点 p ，若点 p 到顶点 a、 b 、c 的距离分别为3，4，5，求apb的度数为了解决本题，我们可以将abp 绕顶点 a 旋转到acp 处，此时acpabp ，这样就可以利用旋转变换，将三条线段pa ， pb ， pc 转化到一个三角形中，从而求出apb；基本运用 ：（ 2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图 ，abc 中，90cab， abac ，e ，f 为 bc 上的点， 且45eaf，判断 be ，ef ，fc 之间的数量关系并证明；能力提升 ：（ 3）如图 ，在 rtabc 中，90c，1ac，30abc，点

6、 p 为 rtabc 的费马点，连接ap ， bp ， cp ，求 papbpc 的值4【巩固训练】1. 如图 1，在四边形abcd 中， abc adc 180， abad，ae bc 于点 e. 若 ae18，bc10，cd6，则四边形abcd 的面积为.图 1图 2图 32. 如图 2，已知点 p 为等边 abc 内一点， apb 112， apc122，若以ap、bp、cp 为边长可以构成一个三角形，那么所构成三角形的各内角的度数是.3. 如图 3，p 为正方形abcd 内一点， 且 pc3，apb135，将 apb 绕点 b 顺时针旋转90得到 cpb，连接 pp. 若 bp 的长为

7、整数，则ap.图 4图 5图 6图 74. 如图 4，e 是正方形abcd 内一点， e 到点 a、d、b 的距离 ea、ed、eb 分别为 1、32、25，延长 ae 交 cd 于点 f，则四边形bcfe 的面积为.5. 如图 5，等边 abc 中，点 p，q 在边 bc 上，且 paq30. 若 bp2，qc3，则 abc 的边长为.6.如图 6，在菱形 abcd 中， a60，点 e、f 分别是 ab、ad 上任意的点（不与端点重合），且 aedf ，连接 bf 与 de 相交于点g，连接 cg 与 bd 相交于点h. 给出如下几个结论： aed dfb；s四边形bcdg32cg2；若

8、af2df，则 bg6gf；cg 与 bd 一定不垂直； bge的大小为定值 . 其中正确的结论是.7. 如图 7，在 o 的内接四边形abcd 中， ab 3，ad5， bad60，点 c 为弧 bd 的中点，则 ac 的长是.8. 正方形 abcd 的四个顶点都在o 上， e 是 o 上的一点.（ 1）如图 8- 1，若点 e 在弧 ab 上， f 是 de 上的一点， df be. 求证： adf abe；（ 2）在（ 1）的条件下，小明还发现线段de、be、ae 之间满足等量关系：debe2 ae.请你说明理由；（ 3）如图 8- 2，若点 e 在弧 ad 上. 写出线段de、be、

9、ae 之间的等量关系 . （不必证明）.59已知：2ad，4bd，以 ab 为一边作等边三角形abc 使 c 、 d 两点落在直线ab 的两侧（ 1）如图，当60adb时，求 ab 及 cd 的长；（ 2）当adb 变化，且其它条件不变时，求cd 的最大值，及相应adb 的大小10阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1，abc 中，30acb，6bc，5ac，在abc 内部有一点 p ，连接 pa 、 pb 、 pc ，求 papbpc 的最小值小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两

10、点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是，如图2，将apc 绕点 c 顺时针旋转60 ，得到edc ，连接 pd 、 be ，则be 的长即为所求（ 1）请你写出图2 中， papbpc 的最小值为；（ 2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题： 如图 3，菱形 abcd 中，60abc，在菱形abcd 内部有一点p ，请在图3中画出并指明长度等于 papbpc 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）； 若中菱形 abcd 的边长为4，请直接写出当papbpc 值最小时 pb 的长62020中考专题 1

11、5方法技巧之“乾坤大挪移”参考答案例 1. 证明：延长eb 到 g ，使 bg = df ，联结 ag 90abgabc =dabad，abgadf12agaf，113232eafbad gae =eaf 又 aeae ，aegaef egef eg = be + bg ef befd(2)(1) 中的结论ef befd 仍然成立(3) 结论 ef befd 不成立，应当是ef befd证明：在be 上截取 bg ，使 bg= df ，连接 ag 180badc，180adfadc，badf abad ，abgadfbagdafagaf，12bag +eaddaf +ead =eaf =bad

12、gaeeaf aeae ，aegaef egef例 2.解：（ 1）如图 1， bm 、 nc 、 mn 之间的数量关系bmncmn 此时23ql 理由：dmdn ，60mdn，mdn 是等边三角形，abc 是等边三角形，60a，bdcd，120bdc，30dbcdcb，90mbdncd，dmdn，bdcd，rtbdmrt cdn，30bdmcdn， bmcn ，2dmbm，2dncn，22mnbmcnbmcn；aman ，amn 是等边三角形，abambm ，:2:3amab，23ql；（ 2）猜想：结论仍然成立证明：在nc 的延长线上截取1cmbm ，连接1dm 190mbdm cd， b

13、dcd ，1dbmdcm ，1dmdm ，1mbdm cd ，1m cbm ，60mdn，120bdc，160m dnmdn，mdn1m dn ，11mnm nm cncbmnc ，7amn 的周长为：ammnanambmcnanabac ，23ql；（ 3）证明：在cn 上截取1cmbm ，连接1dm 可证1dbmdcm ，1dmdm ，可证160m dnmdn，mdn1m dn ，1mnm n ，ncbmmn 例 3.延长 ka到 m ，使 am=cn,在 rtabd和 rtcbd中,ab=bc,bd=bdrtabd rtcbd. ad=cd, 又am=cnrtamd rtcnd, adk

14、= cdn,dm=dnadc= mdnab=bc ，bkn 的周长为ab的 2倍ka+cn=nk,即 km=nk.dm=dn,dk=dkkmd knd, ndk= mdk=21mdna=c=90 , b=135 adc= mdn=45, ndk=22.5 例 4.【解析 】（ 1）如图， abc 为等边三角形，abac， bac60；将 abp 绕点 a 逆时针旋转60，到 acq 的位置，连接pq；则 aq ap23，cqbp4； paq60， apq 为等边三角形，pqpa23， aqp60；在 pqc 中，满足pc2pq2cq2， pqc90， aqc150， apb aqc150，故答

15、案为150.（ 2）由（ 1）可知 apb150，如图，延长bp，过点 a 作 adbd，交 bp 延长线于点d. apd30， ad12ap3， sapb12bp ad124323.（ 3）可知 sabp sapcs四边形apcq. s四边形apcqsapqspqc， sabpsapcsapqspqc， 23sapc34（ 23）21242373. sapc53，（ 4）在 rtabd 中， ad3 ，bd43 7， ab( )2237+ 213.由等边三角形面积公式可得sabc34（ 213）2133.例 5.解：（ 1）acpabp，3apap、4cpbp、apcapb ，由题意知旋转角

16、pa60p， ap p 为等边三角形，p3pap，a60p p，易证p p c为直角三角形，且p90p c，apbap cap pp6090150p c；故答案为： 150 ；8（ 2）222efbefc ，理由如下：如图 2，把abe 绕点 a逆时针旋转90 得到ace ，由 旋 转 的 性 质 得 ， aeae ， cebe ，caebae ，aceb，90eae，45eaf，904545e afcaecafbaecafbaceaf，eafe af ，在eaf 和 e af 中，aeaeeafe afafaf，eaf()e af sas ，e fef ，90cab， abac ，45bac

17、b，454590e cf，由勾股定理得，222e fcefc，即222efbefc（ 3）如图 3，将apb 绕点 b 顺时针旋转 60 至 a p b 处，连接 pp ，在 rtabc 中，90c，1ac，30abc，2ab，223bcabac，apb 绕点 b 顺时针方向旋转60 ， a p b如图所示；60306090abcabc，90c，1ac，30abc，22abac，apb 绕点 b 顺时针方向旋转60 ，得到a p b，2a bab， bpbp ， a pap ，bpp 是等边三角形，bppp ，60bppbp p，120apccpbbpa，12060180copbppbp ab

18、p p，c 、 p 、 a 、 p 四点共线，在 rt a bc 中，2222/(3)27aca bbc，7papbpca ppppcac【巩固训练】参考答案1.解：如图，过点a 作 af cd 交 cd 的延长线于f，连接 ac，则 adf adc180， abc adc 180， abc adf ，易证 abe adf （aas）， afae19， s四边形abcds abcs acd12bc?ae12cd?af121019126 199557152.故答案为： 1522.解：如图，将apc 绕点 a 顺时针旋转60得到 abe，连接 pe9 aeap， eap bac60， eap 是等

19、边三角形，eab pac， aep ape60， pape，易证 eap pac， ebpc， pa、pb、pc 组成的三角形就是peb， apb112， ape60， epb52， aeb apc122， aep62， peb66， ebp180 bep epb66故答案为52、 62、 663.解： bp c 是由 bpa 旋转得到， apb cp b135， abp cbp ，bpbp ， apcp ， abp pbc90， cbp pbc 90，即 pbp 90， bpp 是等腰直角三角形，bp p45， apb cp b135， pp c90，设 bpbp a，apcp b，则 pp

20、 2a，在 rtpp c 中， pp2p c2 pc2，且 pc3， cp 22pcp p-292a-， bp 的长 a 为整数，满足上式的a 为 1 或 2，当 a1 时， apcp7，当 a2 时， apcp 1，故答案为：7或 1.4.解：如图，将ade 绕点 a 顺时针旋转90得到 abm ，作 dnaf 垂足为 n， amae1， mae90， me22amae+2211+2， bm2me2（ 32）2（2）220，be2（ 25）220， bm2me2be2， bme90， ame aem45， amb aed 135在 rtden 中， de32， den45， dnen3， a

21、n4， ad22andn+22345， dan daf ， and adf 90， adn afd ，adafanad， 5af45， af254，nf94， s abes adesabmsabes ames bme12111223274，s edf12（ 394） 3638， s四边形bcfes正方形abcd（ s abes aed） sefd25726381098.故答案为1098.5.将 abp 绕点 a 逆时针旋转60，得到 acp，连接 qp，易证 aqp aqp， p cd60，过 pd 作 pdbc，交 bc 延长线于点d，在 rtpcd 中，可得cd1，pd2，10在 rtpq

22、d 中，可计算出qp19， pq19 ，边长为519.6.解： abcd 为菱形， abad， abbd， abd 为等边三角形， a bdf60，又 aedf ，ad bd， aed dfb ，故本选项正确； bge bdg dbf bdg gdf 60 bcd，即 bgd bcd180，点 b、c、d、g 四点共圆， bgc bdc60， dgc dbc 60， bgc dgc60，过点 c 作 cmgb 于 m，cngd 于 n（如图 1），则 cbm cdn （aas）， s四边形bcdgs四边形cmgns四边形cmgn2s cmg， cgm60， gm12cg，cm32cg， s四边

23、形cmgn 2s cmg21212cg32cg34cg2，故本选项错误；过点 f 作 fpae 交 de 于 p 点（如图 2）， af2fd， fp：aedf：da1：3， aedf ，abad， be2ae， fp：befp：2ae1：6， fpae， pfbe， fg：bgfp： be1：6，即 bg 6gf，故本选项正确，当点 e，f 分别是 ab，ad 中点时（如图3），由（ 1）知， abd， bdc 为等边三角形，点 e， f 分别是 ab，ad 中点， bde dbg30， dgbg，易证 gdc bgc， dcg bcg， chbd，即 cgbd，故本选项错误； bge bd

24、g dbf bdg gdf 60，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有，共3 个7.由点 c 为弧 bd 中点，可得bccd， bac cad ，即出现“邻边相等”，所以将abc 绕点 c 旋转至 bc 与 cd 重合，如图可得ace 为等腰三角形，顶角ace bcd120，底边长 aeaddeadab358，所以在底角为30的等腰 ace 中即可求出ac8 33.8.（1）证明：在正方形abcd 中， ab ad， 1 和 2 都对ae， 1 2，易证 adf abe（ sas）；11（ 2）由（ 1）有 adf abe， afae， 3 4.在正方形abcd 中， bad90. baf 390. baf 490. eaf90. eaf 是等腰直角三角形. ef2 ae2af2.ef2 2ae2. ef2ae. 即 dedf 2ae. debe2ae.（ 3）bede2ae理由如下：在 be 上取点 f，使 bfde，连接 af. 易证 ade abf， afae， dae baf.在正方形abcd 中， bad90. baf daf 90. dae daf 90. eaf90. eaf 是等腰直角三角形ef2 ae2af2. ef22ae2.ef2ae.即 bebf2ae