线性代数4.4实对称矩阵的对角化-彭丽华知识分享

1、第四节第四节 实对称实对称(duchn)阵的对角阵的对角化化第四章二、实对称二、实对称(duchn)矩阵的对矩阵的对角化角化三、小结三、小结(xioji)一、实对称矩阵的性质一、实对称矩阵的性质第一页，共16页。定理1实对称矩阵(j zhn)的特征值为实数.证明证明(zhngmng), 对应的特征向量对应的特征向量为为复向量复向量的特征值的特征值为对称矩阵为对称矩阵设复数设复数xA . 0, xxAx 即即, 的的表示表示用用 共轭复数共轭复数xAxA 则则 . xxAx 一、实对称(duchn)矩阵的性质说明说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指明，

2、均指实对称矩阵实对称矩阵, 的的表示表示xx共轭复向量共轭复向量第二页，共16页。于是于是(ysh)有有AxxTAxxT 及及 AxxT xxT , xxT xAxTT xxAT xxT . xxT 两式相减，得两式相减，得 . 0 xxT , 0 x但因为但因为0, 即即.是实数是实数由此可得由此可得 211 0nnTiiiiix xx xx所所以以 ,()0,0,.iiiAEA xEA 由由于于实实对对称称矩矩阵阵 的的特特征征值值 为为实实数数所所以以齐齐次次线线性性方方程程组组是是实实系系数数方方程程组组 由由知知必必有有实实的的基基础础解解系系从从而而对对应应的的特特征征向向量量可可

3、以以取取实实向向量量定理定理(dngl)1的意义：的意义： 12,Tnxxxx 令令第三页，共16页。121212122 ,.Apppp 定定理理设设是是实实对对称称矩矩阵阵的的两两个个特特征征值值是是对对应应的的特特征征向向量量 若若则则 与与正正交交证明证明(zhngmng),21222111 AppApp,AAAT 对称对称 1111TTpp,11ApApTTT 于是于是(ysh)11212TTppp Ap ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交与与即即pp. 021 ppT 1TAp 122Tpp 第四页，共16页。14 , .AnPPAPAn 定定理理设设

4、为为 阶阶实实对对称称矩矩阵阵 则则必必有有正正交交矩矩阵阵使使其其中中是是以以 的的个个特特征征值值为为对对角角元元素素的的对对角角矩矩阵阵证明证明(zhngmng),21s 它们的重数依次为它们的重数依次为srrr,213 , , (), .AnArEAREAnrr 定定理理设设为为 阶阶实实对对称称矩矩阵阵是是 的的特特征征方方程程的的重重根根 则则矩矩阵阵的的秩秩从从而而对对应应特特征征值值恰恰有有个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量).(21nrrrs 设设 的互不相等的特征值为的互不相等的特征值为A .nn阶阶实实对对称称矩矩阵阵必必有有 个个线线性性无无关关的的特特征征向向量

5、量 n阶阶实实对对称称矩矩阵阵都都可可以以对对角角化化. .第五页，共16页。,21知知由由nrrrs 由定理由定理(dngl)2知对应于不同特征值的特征向量正交，知对应于不同特征值的特征向量正交，., ), 2 , 1( 单位正交的特征向量单位正交的特征向量个个即得即得把它们正交化并单位化把它们正交化并单位化关的实特征向量关的实特征向量个线性无个线性无恰有恰有对应特征值对应特征值rrsiiii PPAPP11.,11个特征值个特征值的的是是恰恰个个个个的对角元素含的对角元素含其中对角矩阵其中对角矩阵nArrss 这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得 个个.n故这故这 个单位特征向量两两正

6、交个单位特征向量两两正交.n以它们为列向量构成正交矩阵以它们为列向量构成正交矩阵 ，则，则P根据根据(gnj)定理定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定（对称矩阵的特征值为实数）和定理理3( 如上如上)可得：可得：APP第六页，共16页。根据上述结论，利用正交矩阵将对称根据上述结论，利用正交矩阵将对称(duchn)(duchn)矩阵化矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：为对角矩阵，其具体步骤为：二、利用(lyng)正交矩阵将实对称矩阵对角化将正交化后的特征向量单位化将正交化后的特征向量单位化.3.1.;的特征值的特征值求求A 2.0iiEA xA对对于于每每个个特特征征值值: :由由，求求出出 的的

7、属属于于特特征征值值 的的线线性性无无关关的的特特征征向向量量, ,再再将将其其正正交交化化第七页，共16页。解解22021202EA 412 0 . 2, 1, 4321 得得,020212022)1( A 310130004)2(A例例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.APP1 P(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值A第八页，共16页。 0,iEA xA 第第二二步步由由求求出出 的的特特征征向向量量 14,40EA x 当当解解方方程程组组解之得基础解之得基础(jch)解系解系 1221 21,0EA x 当当解解

8、方方程程组组解之得基础解之得基础(jch)解系解系21121 2204232024EA110012000120202021EA 120021000 32,20EA x 当当解解方方程程组组4202232022EA 210011000 解之得基础解之得基础(jch)解系解系31211 第九页，共16页。第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化.,3, 321321故它们必两两正交故它们必两两正交的特征向量的特征向量个不同特征值个不同特征值的的是属于是属于由于由于 A第四步第四步 将特征向量单位将特征向量单位(dnwi)(dnwi)化化,1,2,3iiii 令令12 32 3 ,1 3 得得

9、22 31 3 ,2 3 .3232313 1232211,212 ,3122P 作作1400 010002PAP 则则第十页，共16页。 310130004)2(A400031013EA 224. 4, 2321 得特征值得特征值 12,20,EA x 对对由由得得基基础础解解系系 1101 234,40,EA x 对对由由得得基基础础解解系系23100 ,101 23,由由于于与与恰恰好好正正交交故故不不需需对对其其正正交交化化对于(duy)实对称阵不同特征值的特征向量正交，.,321两两两两正正交交所所以以 第十一页，共16页。 得得令令单位化单位化再将再将3 , 2 , 1,321 i

10、iii ,212101 ,0012 .212103 于是于是(ysh)得正交阵得正交阵 2102121021010,321 P1200 040004PAP 则则第十二页，共16页。1.对称对称(duchn)矩阵的性质：矩阵的性质：三、小结(xioji) (1) (1)特征值为实数；特征值为实数； (2)(2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)特征值的重数和与之对应特征值的重数和与之对应(duyng)(duyng)的线性无关的的线性无关的特征向量的个数相等；特征向量的个数相等； (4)(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵

11、，且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)将特征向将特征向量正交化；量正交化；(4)最后单位化最后单位化第十三页，共16页。,111111111 A.00100100 nB思考题,A B1.1.判判断断下下列列两两矩矩阵阵是是否否相相似似: :1 det()(),nEAn 因因解解1,AP又又 是是实实对对称称矩矩阵阵 存存在在可可逆逆矩矩阵阵使使得得111( ,0,0)PAPdiag n 12,0nAn的的特特征征值值为为第十四页，共

12、16页。,1, 02特征向量特征向量个线性无关的个线性无关的有有对应特征值对应特征值 nn 使得使得故存在可逆矩阵故存在可逆矩阵,2P, 212 PBP, 212111PBPPAP 从而从而, 121112BPPAPP 即即.相似相似与与故故BA 2 2. ,det 2.nAAAArEA 设设 阶阶实实对对称称矩矩阵阵 满满足足且且 的的秩秩为为试试求求行行列列式式的的值值两个(lin )实对称矩阵若有相同的特征值，则它们相似.1det()()nEBn 还还可可求求得得.有相同的特征值有相同的特征值与与即即AB第十五页，共16页。10,.00ssEPAPEs 其其中中是是 阶阶单单位位阵阵 2EA 从从而而2000020200rrrn rn rEEEEE.2rn 说明(shumng)：此题也可转化成求矩阵的所有特征值.22A 2AA 又又，AA设设 为为矩矩阵阵 的的一一个个特特征征值值， 为为 的的属属于于特特征征值值