2019届高考数学(江苏卷)模拟冲刺卷(4)(含附加及详细解答)

1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省 )模拟试卷 (四) 数学(满分 160 分，考试时间120 分钟 ) 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上1. 复数2i1i(i 为虚数单位 )的模为 _2. 函数 f(x)12xln(x1)的定义域为 _ . 3. 某公司生产a，b，c 三种药品，产量分别为1 200 箱， 6 000 箱， 2 000箱为检验该公司的药品质量，现用分层抽样的方法抽取46 箱进行检验，则 a 药品应抽取 _箱4. 如图是一个算法的程序框图，当输入的x 值为 5 时，则输出的y 的值为_5.

2、已知集合a 0，6，4，3，2，23，34，56， .现从集合a 中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为正数的概率为_6. “ 4” 是“ cos 2 0” 的 _条件7. 已知 (0，2)， (2，)，cos 13，sin( )79.则 sin 的值为 _. 8. 若函数 f(x)x1（x1 ），kx x2（ x0，b0 则 ab 的最大值为_11. 在等比数列 an 中， an0 且 a1a3a5a7a932，则 a2a8的最小值是 _12. 已知函数f(x) x2cos x，x2，2，则满足f(x0)f(6)的 x0的取值范围是 _13. 已知向量 a， b是单位向量， 若 a b0，

3、且|c2b|2|ca|， 则|c2a|的最小值是 _14. 已知 a0 ，函数 f(x)exa(x 1)的图象与 x 轴相切若x1 时， f(x)mx2，则实数m 的取值范围是 _二、解答题：本大题共6 小题，共90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14 分) 如图，在四面体abcd 中， adbd， abc90 ，点 e，f 分别为棱ab，ac 上的点，点g 为棱 ad 的中点，且平面efg平面 bcd.求证：（1）ef12bc；（2）平面 efd 平面 abc. 16. (本小题满分14 分) 已知向量m(sin x，3sin x)，n (sin x

4、， cos x)，设函数f(x) m n. （1）求函数f(x)在区间 4，6上的最大值；（2）设 g(x)12f(x)，若 sin(2 6)13，0 b0)的焦距为2 6，且过点 (2, 2)（1）求椭圆 c 的方程；（2）设点 p 是椭圆 c 上横坐标大于2 的一点， 过点 p 作圆 (x1)2y21 的两条切线分别与y 轴交于点a，b，试确定点p 的坐标，使得pab 的面积最小19. (本小题满分16 分) 若存在非零常数p，对任意的正整数n，a2n1anan2p，则称数列 an 是“ 容数列 ” （1）若数列 an的前 n 项和 sn n2(nn*)，求证： an 是“ 容数列 ” ；

5、（2）设 an是各项均不为0 的“ 容数列 ” 若 p0，求证：当a1，a2，a3成等差数列时， an是等差数列 . 20. (本小题满分16 分) 设函数 f(x)2x，x4(a， b 为常数，且a 0) （1）若 b0 且 f(8)1，求 f(x)在 x0 处的切线方程；（2）设 a，b 互为相反数，且f(x)是 r 上的单调函数，求a 的取值范围；（3）若 a1，b r.试讨论函数g(x) f(x)b 的零点的个数，并说明理由2019 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省 )模拟试卷 (四) 数学附加分 (满分 40 分，考试时间30 分钟 )21. 【选做题】从 a，b，c 三题中选

6、做2 题，每小题10 分，共 20 分若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤a. ( 选修 42：矩阵与变换 ) 设矩阵 ma021的一个特征值为2，若曲线c 在矩阵m 变换下的方程为x2y21，求曲线 c 的方程b. (选修 44：坐标系与参数方程) 在极坐标系中，已知点p(23，6)，直线 l： cos( 4)22，求点 p 到直线 l 的距离c. (选修 45：不等式选讲) 已知函数f(x)|x1|x2|a2 2a|，若函数 f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围【必做题】第22 题、第 23 题，每小题10 分，共 20 分解答时应写出必

7、要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 如图， 在多面体abcdef 中，abcd 为正方形， ed平面 abcd，fbed，且 adde2bf2. （1）求证： acef；（2）求二面角cefd 的大小23. 已知 k，mn*，若存在互不相等的正整数a1，a2，am，使得 a1a2，a2a3， ，am1am，ama1同时小于k，则记 f(k)为满足条件的m 的最大值（1）求 f(6)的值；（2）对于给定的正整数n(n1)， 当 n(n2)k( n1)(n2)时，求 f(k)的解析式； 当 n(n1)k n(n2)时，求 f(k)的解析式2019 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省 )模拟

8、试卷 (四) 1.102解析：2i1i3i2，2i1i3i29414102. 2. (1，2)解析： 由题知2 x0，x10，解得 1x0，b0，从而 2ab 5，52ab2 2ab，ab258，当且仅当2a b，即 a54，b52时等号成立，从而ab 的最大值为258. 11. 4解析： a1a3a5a7a932，an0，a52，a2a82a2a84. 12.2，66，2解析： 函数 f(x)x2cos x，x 2，2为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故考虑函数在区间0，2上的情形，利用导数可得函数在0，2上单调递增，故在0，2上 f(x0)f6的 x0的取值范围是6，2，利用对称性质知，在

9、2，2上，x0的取值范围是2，6)6，2. 13.2010解析： 设oaa(1，0)，obb (0，1)，opc(x，y)，则由 |c2b|2|ca|，得x2(y2)22(x1)2y2，即 (x2)2(y2)210.又|c2a|（ x2）2y2， |c2a|min2010. 14. (， e2解析： f(x) ex a，依题意，设切点为(x0， 0)，则f（ x0） 0，f（ x0） 0，即ex0a（x01） 0，ex0a0.又 a0，x00，a1，f(x) exx 1.由题意，得ex x 1mx2，即exx1x2m 在(1， ) 上恒成立设h(x)exx 1x2，x1，则 h(x)（x2）e

10、x x2x3，x1. 设 s(x)(x2)exx2，x1, s (x)(x1)ex1，x1，s(x)0 在(1， )上恒成立，s(x)在(1， )上单调递增 s(1)3e0， s(x)0 即 h(x)0 在(1， )上恒成立， 故 h(x)在 (1， )上单调递增 h(1)e2，me 2，即实数 m 的取值范围是 (， e215. 证明：(1) 因为平面efg平面 bcd， 平面 abd平面 efgeg， 平面 abd平面 bcdbd，所以 egbd. 又 g 为 ad 的中点，故e 为 ab 的中点，同理可得f 为 ac 的中点，所以ef12bc.(7 分 ) (2) 因为 adbd，由 (

11、1)知， e 为 ab 的中点，所以 abde . 又 abc 90，即 abbc. 由(1)知， efbc，所以 abef. 又 deefe， de，ef? 平面 efd ，所以 ab平面 efd . 又 ab? 平面 abc，故平面efd 平面 abc.(14 分) 16. 解： (1) 由题意，得 f(x)sin 2x3sin xcos x1cos 2x232sin 2x12sin2x6. 32x62，f(x) 12，132， f(x)max132.(7 分 ) (2) 由(1)知 g(x)12 f(x)sin2x6， sin2613，04， 626n, 则直线 pa 的方程为 (y0m

12、)xx0yx0m0，则圆心 (1， 0)到直线 pa 的距离为|y0mx0m|（y0m）2x201，化简得 (x02)m22y0m x00，(8 分) 同理， (x02)n22y0nx00，所以 m， n为方程 (x02)x22y0 xx00 的两根，则(m n)2（2y0）24x0（x02）（x02）2，又 pab 的面积为 s12(mn)x0，所以 s2y20 x0（x02）（x02）2x20（x02）282（x02）2x20，令 tx02(0，2 32，记 f(t)（t28）（ t2）22t2，则 f(t)t（t2）（ t316）t40 在(0，23 2上恒成立，所以 f(t)在(0,

13、232上单调递减，故t 2 32，即 x02 3时， f(t)最小，此时 pab 的面积最小，当 x0 2 3时， y00，即 p(23，0)(16 分) 19. 证明： (1) 当 n1 时， a1s11；当 n2 时， ansnsn1 n2(n1)22n 1，所以 an2n1，nn*，则an是“容数列”? 存在非零常数p，使得 (2n1)2(2n1)(2n3)p，显然 p4 满足题意，所以 an是“容数列”(4 分) (2) 假设 an是等差数列，设ana1(n1)d，则由 a2n1anan2p，得 (a1nd)2a1 (n1)da1(n1)dp，解得 pd20，这与 p0)，所以 a2n

14、an1an1p(n2)，两式相减得a2n1a2nanan2an1an1(n2)因为 an的各项均不为0， 所以an1an1ananan2an1(n2)， 从而an1an1an(n2)是常数列因为 a1，a2，a3成等差数列，所以a3a1a22，从而an1an1an2(n2)，即 an1 an12an(n2)，即证 (16 分) 20. 解： (1) f(8)1，a2. 又 b0，f(0)1， f(0)14， f(x)在 x0 处的切线方程为x4y40.(4 分) (2) y12x是减函数，且f(x)是 r 上的单调函数， 在 ya(log4x1)中，应该有yaxln 4 0，故 a0.(5 分

15、) 在 yax3(b4a)x2 4b14x1 中，其中ab0，y 3ax210ax4a14，导函数的对称轴为x53，故 100a212a4a140，解得352a0，即 a 的取值范围是 352，0)(8 分) (3) 函数 f(x)2x，x4，则 f(x)3x22(b4)x4b14(0 x4)，其判别式 4b216b670，记 f(x)0 的两根为x1，x2(x10 时，12xb0无解， log4x1b 无解，又 f(0)b1b0, f(4)b b0, f(2)b 84(b4)24b141b152 3b0，方程在 (0， 4)上有两解，方程一共有两个解；(10 分 ) 当 b1 时，12xb0

16、 有一解 xlog0.5(b)，log4x 1b0 有一解 x41b, 又 f(0)b1b0，f(4)bb0, 故方程在 (0，4)上有两解，方程共有4 个解； (12 分 ) 当 1b0，f(4)bb1 时， g(x)有 2 个零点；当 b 1 时， g(x)有 3 个零点；当 b1 时， g(x)有 4 个零点 (16 分) 2019 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省 )模拟试卷 (四) 21. a. 解： 由题意得矩阵m 的特征多项式f( )( a)( 1)因为矩阵m 有一个特征值为2，f(2)0，所以 a2.(2 分 ) 所以 mxy2021xyxy，即x 2x，y 2xy，代入

17、方程x2y21，得 (2x)2 (2xy)21，即曲线 c 的方程为8x2 4xyy21.(10 分) b. 解： 点 p 的直角坐标为 (3，3) (2 分) 直线 l 的普通方程为xy40，(4 分) 从而点 p 到直线 l 的距离为|334|2262.(10 分) c. 解： 因为 |x1|x2|x1(x2)|3，所以 f(x)的最小值为3|a2 2a|.(4 分 ) 由题设，得 |a22a|3，解得 1a3，即 a 的取值范围是(1，3)(10 分) 22. (1) 证明： 连结 bd ，fbed， f，b，e，d 共面 ed平面 abcd ， ac? 平面 abcd ， edac.又

18、 abcd 为正方形， bd ac，而 ed dbd， ac 平面 dbfe，而 ef? 平面 dbfe ， ac ef.(4 分) (2) 解： 如图建立空间直角坐标系，则 a(2 ，0，0)， b(2，2，0)，c(0，2，0)，f(2， 2，1)，e(0，0，2)由(1)知ac为平面 dbfe 的法向量，即 ac( 2，2，0)，又ce(0， 2，2)，cf(2，0， 1)，设平面 cef 的法向量为n(x，y，z)，则有cen0，cfn 0，即2y2z 0，2xz0，取 z1，则 x12，y1， n 12， 1，1 . 设二面角cefd 的大小为 ，则 cosn，acn ac|n|ac|1 2322 222. 又二面角cefd 为锐角， 4.(10 分) 23. 解： (1) 由题意，取a1 1，a22，a1a26，满足题意；若?a33，则必有a2a3 6，不满足题意，综上所述， m 的最大值为2，即 f(6)2.(2 分 )