2019-2020年全国I卷TOP300尖子生高三上学期11月联考文科数学试题(解析版)

1、全国 i 卷文科数学一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合|1 ,|lg1mx xnxx，则mni() a. ,1b. ,10c. 0,1d. 0,10【答案】 c 【解析】【分析】先求出集合n中元素的范围，然后直接求mn. 【详解】|lg1|0100,10nxxxx，故0,1mni. 故选 c. 【点睛】本题考查集合的交集，是基础题. 2.已知ar且0a，复数21zaai在复平面内所对应的点在() a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】 d 【解析】【分析】判断出 z 在复平面内对应点的横纵坐标的

2、正负得答案【详解】20,10aa，所以210a，故点2,1aa在第四象限 . 故选 d. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.数列na的前n项和ns满足：13nnnss，则10a() a. 93b. 931c. 103d. 1031【答案】 a 【解析】【分析】由10109ass求解【详解】9101093ass。故选 a【点睛】本题考查数列的前n项和ns与项na之间的关系，掌握和的定义是解题基础1n时，nnas，2n时，1nnnass4.执行如图所示的程序框图，如果输出的240,300a，那么在判断框内的条件为() a. 5nb. 4nc. 4nd. 5n【答案】 c 【

3、解析】【分析】模拟程序运行，观察程序运行中的变量的变化情况【详解】5,1an；3 5411a，2n；3 11429,3an；329483,4an；3834245,5an。故选 c【点睛】本题考查程序框图，解题时可模拟程序运行，观察变量变化，确定结论5.甲、乙、丙、丁四人，只有一人是说谎者。甲说：乙丙说真话；乙说：甲丁有一人说假话；丙说：我说真话；丁说：我说真话。判定四人中，说谎者是() a. 甲b. 乙c. 丙d. 丁【答案】 d 【解析】【分析】分别假设其中一人说假话，进行推理【详解】 ( 1) 若丙说谎话，则甲也说谎话，与条件不符，故丙说真话；( 2) 若乙说谎话，则甲也说谎话，与条件不符

4、，故乙说真话；( 3) 由( 1)( 2) 已知：甲说真话；( 4) 故丁说谎话。故选 d【点睛】本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生6.双曲线2222:10,0 xycabab的右焦点为f，以f为圆心的圆2232xy与双曲线c的两条渐近线相切，则双曲线c的方程为 () a. 22172xyb. 22271xyc. 22181xyd. 22118xy【答案】 a 【解析】【分析】由已知圆的圆心即为焦点，可得c的值，利用渐近线和圆相切，列方程求出,a b，即可得双曲线的方程 . 【详解】由题意知：3c，有229ab，3,0到0bxay的距离为2232b

5、ab，得222292182babb，27a，故双曲线c的方程为22172xy. 故选 a. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程和性质，考查渐近线方程的应用，考查学生计算能力，是基础题. 7.xxeeyx的图象大致是 () a. b. c. d. 【答案】 c 【解析】【分析】研究函数的奇偶性，再研究函数值的变化趋势【详解】fx是偶函数，排除d，x时，fx，排除 a、b。故选 c【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象解题方法是排除法 可通过解析式研究函数的性质( 如奇偶性、单调性、对称性等) ，排除一些选项，研究函数的特殊值，函数值的正负、函数值的变化趋势等再排除一些选项，直到只剩下一个选项为正

6、确选项8.九章算术商功中有如下问题：今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积如何？“ 阳马 ” 这种几何体三视图如图所示，则体积为() a. 100b. 90 c. 2903d. 2803【答案】 d 【解析】【分析】由三视图得该几何体为底面是矩形，边长分别为7，5， 高为 8 的四棱锥， 利用体积公式求体积即可. 【详解】该几何体是四棱锥，底面是矩形，边长分别为7，5，三棱锥的高为8，故所求体积为：128057 833v. 故选 d. 【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原几何体，是基础题. 9.已知,a br，且216abab，则ab的最小值为 () a. 16 b. 32 c.

7、 64 d. 128 【答案】 b 【解析】【分析】利用基本不等式得出关于ab的不等式，解这个不等式可得ab的最小值【详解】1622 2ababab，当且仅当ab时等号成立令abt，则22 2722 21604 22ttt，故32ab，即ab最小值为32故选 b【点睛】本题考查基本不等式求最值，解题关键是掌握基本不等式应用的条件。10.在长方体1111abcda b c d中，13,4,5abbccc，则1ac与11b d所成角的余弦值为() a. 750b. 7 250c. 750d. 7250【答案】 b 【解析】【分析】沿11c a平移1ac到与11b d相交，即连11ac交11b d于

8、点m，取1a a中点为n，则有1/ /mnac，1nmb( 或其补角 ) 即为所求角，在三角形中求解即得。【详解】连11ac交11b d于点m，取1a a中点为n，则1/ /mnac，1nmb( 或其补角 )即为所求角，5 22mn，152mb，1612nb，由余弦定理得150256172444cos505 2 5222nmbgg。故选 b。【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是作出异面直线所成的角，然后通过解三角形得出结论。11.函数sin 20,2fxx在,64上单调，则的取值范围是 () a. ,6b. 7,26c. ,26d. 7,266u【答案】 d 【解析】【分析】结合正弦函

9、数的单调区间，即存在0kz，使得002623242kk成立。【详解】由题意可知，存0kz满足：000026236242kkkk，00k时，6，01k时，726。故选 d。【点睛】本题考查正弦型函数的单调性，解题时只要结合正弦函数的单调区间求解即可。注意是单调区间可增可减。12.已知0a，过,0a作33yxx的三条切线，三个切点横坐标成等差数列，则a() a. 2b. 6c. 2 2d. 10【答案】 b 【解析】【分析】设 切 点 为,x y， 由 导 数 几 何 意 义 得2033yyxxa， 即32333xxxxa， 化 简 得 ：322330 xaxa，此方程有3个不同解，设为123xx

10、x、，然后由321232332xaxaxxxxxx结合1322xxx可求得a值。【详解】设切点一般形式为, x y，则2033yyxxa，即32333xxxxa，化简得：322330 xaxa，由题意知：此方程有3 个不同解，设123xxx、 、，则323212312312231312323322xaxaxxxxxxxxxxxx xx xx xxx x x，对应系数得：12312233112332032axxxx xx xx xax x x，把1322xxx代入得：223322aaxx，由得：213310 xxxx x，故22213132202xx xx xx代入得：32322xa，由：22a

11、x代入得：332622aaag。故选 b。【点睛】本题考查导数的几何意义、等差数列的性质，考查学生的运算求解能力。对学生分析问题解决问题的能力要求较高。二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分。13.已知向量,a br r的纵坐标相同，2,6ar，且abrr，则abrr_ . 【答案】 5 【解析】【分析】设1,6bxr，由abrr即0b arr，列方程求出1x，进而求出abrr，abrr也就可以求出来了. 【详解】设1,6bxr，则11,62,6260b axxr r，解得13x，则3,6br，(1,2 6)abrr，所以2212 65abrr. 故答案为5. 【点睛】本题考查向量的模的

12、坐标运算，将abrr转化为0a br r求出br是关键，是基础题. 14.命题0:pxr，使得220002210 xx yyxy，则命题p可以表述为_. 【答案】22,2210 xr xxyyxy【解析】分析】命题p是特称命题，直接写出其否定即可. 【详解】解：因为命题0:pxr，使得220002210 xx yyxy，所以命题p为：22,2210 xr xxyyxy，故答案为22,2210 xr xxyyxy. 【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题. 15.已知, x y满足不等式组2220 xyyxy，则2221xy的取值范围为_. 【答案】1,102【解析】【分析】作出可行域，利用2

13、221mxy的几何意义是点2,1与可行域中点的距离求解。最小值为点(2,1)到直线20 xy的距离。【详解】可行域如图阴影部分，2221mxy的几何意义是点2,1与可行域中点的距离，最小值为点2,1到20 xy的距离212222， 最大值为点2,1与点1,0的距离10，所求2m的取值范围是1,102。故答案为1,102。【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，考查两点间的距离公式，点到直线的距离公式，解题关键是理解代数式2221mxy的几何意义，它表示两点间的距离。16.椭圆222210 xyabab下顶点为b，右焦点为f，抛物线222:4cycx cab，线段bf交抛物线c于q，射线

14、bf交椭圆于n，:1: 2:bqqffnm，则m_. 【答案】95【解析】【分析】过点q作y轴垂线， 交y轴于点h， 延长qh交直线xc于点m。直线xc是抛物线的准线，qmqf，在bof中由ofc及12bqqf求得qh，从而可求得,qfqm，这样双可求得直线bf的倾斜角，于是可得其方程，代入抛物线方程求得n点坐标，得fn，从而得m值。【详解】过点q作y轴垂线，交y轴于点h，延长qh交直线xc于点m。则133hqbqchqofbf，故42233ccqfqmbqbfc，与060ofcofb，由:3bfyxc得：3yxc，代入椭圆：2222143xycc，整理得：2252 390ycyc，293 3

15、55nbnyycycg，335nbymy，故95m。故答案为95。【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，考查椭圆的几何性质。掌握抛物线的几何性质是解题关键。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.abc的内角,a b c的对边分别为, ,a b c，d为bc中点 . ( 1) 若222224bca，求ad；( 2) 若22cbad，求cosbac. 【答案】 (1)1ad(2)34【解析】【分析】( 1) 设adb，则adc，在adb中，针对adb用余弦定理，在adc中，针对adc用余弦定理，两式综合即可求出ad；( 2) 延长ad到m，使addm，则四边形abmc是平行四边

16、形，在在acm中，利用余弦定理求出cos acm，bac 与acm互补，进而可求cosbac. 【详解】 ( 1)如图：在adb中，设adb，则2222cos22aaadadc在adc中则2222cos22aaadadb，+得：222222aadbc，故222212214adbca，1ad；( 2) 如图，延长ad到m，使addm，则四边形abmc是平行四边形，在acm中，22222222 223cos2224bbbbcadacmbcbbg，即33coscos44bacbac. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，利用abc被中线ad一分为二，在两个三角形中同时使用余弦定理，可方便求解，本题是一

17、道基础题. 18.数列na中，12nna-=，nb满足：121nnbaaal。( 1) 求nb的通项公式；( 2) 求证：1211111112nbbbl。【答案】 ( 1)121nnb( 2) 证明见解析【解析】【分析】( 1) 由等比数列的前n项和公式求得nb；( 2) 计算11nb，再计算12111111nbbbl后由可证。【详解】 ( 1)1011122222112nnnnbl；( 2)1111112221112212121nnnnnnbg，故1223111121112121212211112222121212122nnnnnnnbbblgggg lg。【点睛】 本题考查等比数列的前n项

18、和公式， 考查与数列有关的不等式的证明，掌握等比数列前n项和公式是解题基础。19.已知函数2xexfxa。(1) 若在0,上，fx最小值为0，求a；( 2) 若fx在0,上有两个零点12,x x，证明：124xx。【答案】 ( 1)24ea( 2) 证明见解析【解析】【分析】( 1) 函数( )f x 变形为22( )()xef xxax，则2( )xeg xax最小值为0，求导数( )g x，由( )0g x求得极小值点，从而也是最小值点，然后可得。( 2) 先对( )f x 的零点进行处理，则由121xeax，得0a，取对数得11ln2lnxax，同理22ln2lnxax，消去参数a，得1

19、2122lnlnxxxx，不等式124xx就变为121212lnln2xxxxxx，即1122112122212ln1xxxxxxxxxx，设12xtx，不妨设12xx，则1t，这样问题转化为证明则21ln11tttt，令21ln1th ttt，利用导数求得函数的单调性后可证结论成立。【详解】 ( 1)22xefxxax的最小值为0，即2xeg xax最小值为0，32xexgxx，2x时，)(0g x，( )g x递减，2x时，( )0gx，( )g x递增，仅当2x时，g x取最小值，即222044eegaa；( 2)1122110 xxeaxeax，故可知：0a，两边取对数得11ln2ln

20、xax，同理，22ln2lnxax，两式相减并整理得：12122lnlnxxxx，欲证124xx，只须证：121212lnln2xxxxxx，不妨设12xx，原式化为：1122112122212ln1xxxxxxxxxx，令12xtx，则21ln11tttt，令21ln1th ttt，222114011th tttt t，故h t为增函数，10h th，故原式得证。【点睛】本题考查用导数研究函数的最值，用导数证明不等式。解题关键是问题的转化。第一小题中直接对( )f x 求导，求最小值不方便，但变形为22xefxxax的最小值为0，即2xeg xax最小值为0，对( )g x求最小值就比较简单

21、。第二题证明不等式124xx，可能没法下手。因此对12,x x进行深入的认识，利用零点变形得11ln2lnxax，22ln2lnxax，消去参数a得12122lnlnxxxx，从而题设不等式变为121212lnln2xxxxxx，这类不等式可通过设12xtx可转化为研究函数的单调性和最值。20.在三棱台111abca b c中，abc为正三角形，112,1aba b，1bb平面1abc，0190ab c。( 1) 若h为bc中点，求证：bc 平面1b ha；( 2) 求1b到平面11acc a的距离。【答案】 ( 1)证明见解析( 2)63【解析】【分析】( 1) 由1bb平面1ab c，01

22、90abc。得011190abcab bbb c，从而有1b a平面11b bcb abc，在正abc中又有ahbc，这样证得bc 平面1b ha；(2) 注意到三棱台的底面是正三角形，且1bb平面1ab c，取ac中点11,m ac中点n，可证得平面11acc a平面1bb nm，从而作1bqmn于q，则1bq平面1acc a，1b q即为所求，先由勾股定理列方程组求得111,b b b a b c，取mb中点o，可证1omnb是平行四边形，因此可求得mn的长及n到1b m的距离，从而把1b mn的面积用两种方法表示后可求得1b q。【详解】 ( 1)由题意，011190abcab bbbc

23、，故1b a平面11b bcb abc，又h为bc中点，故ahbc，又因为1b hahhi，故 bc 平面1b ha；( 2) 设111,b bx b ay bcz，则2222224424xyyzxyzzx，取ac中点11,m ac中点n，mb中点o，则由ac平面1bb nm得：平面11acc a平面1bb nm，作1bqmn于q，则1bq平面1acc a，1b q即为所求，连1b m，在1rt bb m中，求得3bm，112,1bbb m，1b o为斜边中线，132bo，而1b n平行且等于om四边形1ob nm为平行四边形，故1132nmb omob n， 且n到1b m的距离等于o到1b

24、 m的距离也等于1bb的一半为22。11111221622423b nmsb mmn bqbqgggg。所以点1b到平面11acc a的距离为63。【点睛】本题考查线面垂直的证明以及求点到平面的距离。证明线面垂直可通过判定定理证明，即证明直线bc与平面内的两条相交直线垂直，这由已知垂直易证得；而求点到平面的距离，一般要作出点到平面的垂线段，这又可通过构造面面垂直，利用面面垂直的性质作出。计算这个距离也就是线段的长可通过把三角形面积用两种方法表示而求出。在立体几何中求点到平面的距离还有一种常用方法，即体积法，把这个距离看作是一个三棱锥的高，用这个高表示出体积，而这个三棱锥又可通过换底的方法求出体

25、积，从而求得这个高。21.已知222:oxyre，直线:80lxy，过直线l上点m引oe切线,ma mb，切线段长最小值为4。( 1) 求圆o的方程；( 2) 若ab中点为00,q xy，求0 x的取值范围。【答案】 ( 1)2216xy( 2)02121x【解析】【分析】( 1) 切线长最短，则om与直线l垂直， 这样易求得圆半径；( 2) 关键是求出q点的轨迹方程， 设( , )m a b，由,o q m共线得00ybxa，再由obqomb:得2oboq omoq omuu u r uuuu rgg，从而有0016axby(这一步比较巧妙) ，结合80ab消去,a b得q点坐标满足的关系：

26、2200112xy，从而可得0 x的取值范围。【详解】 ( 1)222mamor，c为原点(0,0)。故当mo最小时，ma取最小值。此时84 22mo，故2224 2416r圆o的方程为2216xy。( 2) 设,m a b，则有：2obqomboboq omoq omuuu r uuuu r:gg，即0016axby ，又0000ybaybxxa，将8ab代入两式得：00001688b xbyb ybx消去参数b得：点q的轨迹方程：220000220 xyxy( 不过原点 ) 化为2200112xy，即2200012122121xyx。【点睛】本题考查圆的切线的性质，考查求点的轨迹方程。掌握

27、结论“过圆c外一直线上的点p作圆的切线，切线长最短时，pc必与此直线垂直( 就是要pc最小 ) ”即可求解。求点的轨迹方程，本题所用方法可称为动点转移法，或消参法。这是一个点在已知曲线上运动，而引起另一个点的运动，要求另一点的轨迹方程所常用的方法。22.已知函数22sincos0 ,22xxfxxxxxg xx。( 1) 证明：0fx；( 2) 设f xfxg x，f x在0,上的极值点从小到大排列为12,na aall，求证：kn时，212241kkaak。【答案】 ( 1)证明见解析( 2) 证明见解析【解析】【分析】( 1) 利用导数求得( )f x 的最大值；(2)1sin1sinfxxxxxx，( )f x的极值点就是1( )sinh xxx的零点，计算出21coshxxx，32sinhxxx， 在区间2,22kk上，( )0f x，( )fx无零点，kn，在区间2,