(完整版)2013-2017年新课标I卷高考理科数学解答题—概率统计

1、2013-2017年新课标I卷高考理科数学解答题概率统计(随机变量及其分布列本小题满分12分)(2017全国1.理数.19 ) (12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm) .根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸 服从正态分布N( , 2).(1)假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3 ,3 )之外的零件数，求P(X 1)及X的数学期望；(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3 ,3 )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生

2、产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.951 161 16116经计算得 x Xi9.97, s J(xix)2J(X216x2 )20.212,其中为为16 i 1 16i 1,16 i 1抽取的第i个零件的尺寸，i 1,2, ,16 .用样本平均数x作为的估计值？，用样本标准差s作为 的估计值？，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(？ 3?,? 3?)之外的数据，用

3、剩下的数据估计和 (精确到 0.01 ).附：若随机变量 Z服从正态分布 N( , 2)iUP( 3 Z 3 ) 0.997 4, 0.997 416 0.959 2, -0.008 0.09 .【考点】：统计与概率。【思路】：(1)这是典型的二项分布，利用正态分布的性质计算即可。(2)考察正态分布，代入运算即可。【解析】：(1) P X 11 P X 01 0.997416 1 0.9592 0.0408由题意可得，X满足二项分布 X B 16,0.0016 ,因此可得 EX 16,0.001616 0.0016 0.0256(2)由(1)可得P X 10.0408 5%,属于小概率事件，

4、故而如果出现(3 ,3)的零件，需要进行检查。10.606,故而在 9.334,10.606 范由题意可得N9.97,然0.212 然3M 9.334,然3M围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。此时:9.97 16 9.221510.02 ,0.09。（2016全国1.理数.19）（本小题满分12分）某公司计划购买 2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数

5、得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数用表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I）求X的分布列;（II）若要求P（X n） 0.5，确定n的最小值;（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n 19与n 20之中选其一，应选用哪个？【答案】见解析（II） 19 （III ） n 19【解析】试题分析：（I）先确定X的取值分别为16,17,18,18,20,21,22,再用相互独立事件概率模型求概率，然后写出分布列；（II ）通过频率大小进行比较；（III ）分别求出n=9,n=20

6、的期望根据n 19时所需费用的期望值小于n 20时所需费用的期望值，应选n 19.试题解析：(I )由柱状图拜以频率代替概率可得.一台机器在三年内需更换的易损零件数为OJO U的概率分别为U204020Z从而= 16) = 0.2x02 =0,04 宁F(X=17) = 2xO.2xO.4 = 0.16 ;尸(X = 18) = 2乂02Mo二一0.4X。.4 =0.24 宁P(X= 19) = 2 x0.2 x0.2 + 2x0.4x0,2 =0.24 $P(X = 20) = 2x0.2x0.4+ 0.2x0.2 = 0,2 mP(X = 21) 2 x 0.2 x 0,2 0.0 8 ;

7、= 21)= 0.2 xa.2=0.(M.所以X的分布列为X 来源:学帏考网gkstk16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(n)由(I)知 P(X 18) 0.44,P(X 19) 0.68，故 n 的最小值为 19.(m)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元) 当 n 19时，EY 19 200 0.68 (19 200 500) 0.2 (19 200 2 500) 0.08(19 200 3 500) 0.04 4040.当n 20时，EY 20 200 0.88 (20 200 500) 0.08 (20 200 2 50

8、0) 0.04 4080.可知当n 19时所需费用的期望值小于 n 20时所需费用的期望值，故应选n 19.考点：概率与统计、随机变量的分布列【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查，有一定综合性但难度不是太大大，求解关键是读懂题意，所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题(2015全国1.理数.19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量 y (单位：t)和年利润z (单位：千元)白影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1 (i=1,2, 一，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。r XU yurWn(X

9、i x)2i 1n2I 2(Wi w) i 1n(xi x)(yiy)i 1n(wi w)(yi y)i 146.656.36.8289.81.61469108.8nWi i 1uri表中 wi = Jx 1, w =8(I)根据散点图判断，y=a+bx与 y=c+d JX哪一个适宜作为年销售量 y关于年宣传费x的回归方程 类型？(给出判断即可，不必说明理由)(R )根据(I )的判断结果及表中数据，建立 y关于X的回归方程；(m)已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据(H )的结果回答下列 问题：(i ) 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ii )年

10、宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(Ui，Vi), (U2，V2),，(Un，Vn),其回归线v U的斜率和截距的最 小二乘估计分别为：n(Ui u)(Vi v)J -n,3 v U(U U)2i 1【答案】(I) y c dTX适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型(R)$ 100.6 68G (m) 46.24工解析】试题分析：（I）由散点图及听给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（II）令兄二五， 先求出建立下关于川的线性回归方程，即可尸关于天的回归方程孑QD U ）利用）关于工的回 归方程先求出年销售量厂的预报值I再根据年利率E与工、y的关系为了=0. 5

11、 即可年利润工 的题报值II）根据JD的结果知，牛利润£的预报值，列出关于黑的方程，利用二次函 数求最值的方法即可求出年利润取最K值时的华宣传费用.怯题解析（I）由散点图可以判断，y=1c+A/7适合作为拜销售了关于外宣传费甲工的回归方程类型.2分工（叫- wXVj -J）（II）令M=先建立尸关于M的线性回归方程，由于二 J-=63,E （嘱及/. ；=y-2w = !?&3-68X6. 8=HJ0t&h二A关于M的线1生叵归分程为=10。6+68%，、, y关于x的回归方程为y 100.6 68vx.6分（1）由（U）知，时，年销售量的预报值r卜= 100.6十6

12、8属二5T6. 6,z =576,6x02-49 =66.32.9 分< 11 ）根据（II ）的结果知，年利润工的预报值z = 0.2（100.6- 6叼T） - ” -4+13.6&'420.12 ,二当右二上=6.8,即工二4624时，”取得最大值2段宣传费用为46. 24千元时，年木屿河的预报值最大.12分n考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识（2014全国1.理数.18）（本小题满分12分）从某企业的某种产品中抽取 500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：2(1)求这500件产品质量指标值的样本平

13、均数x和样本方差s (同一组数据用该区间的中点值作代表);(2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N , 2 ,其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求 P 187.8 Z 212.2 ；(ii)某用户从该企业购买了 100件这种产品，记 X表示这100件产品中质量指标值位于区间 187.8,212.2的产品件数.利用(i)的结果，求 EX .附：，150 12.2 .若ZN , 2 ,则 P Z0.6826, P 2 Z 20.9544.解：(I) X 170 0.02+180 0.09+190 0.22+200 0.33+210 0.24+

14、220 0.08+230 0.02 200s2 ( 30)2 0.02 (20)2 0.09 ( 10)2 0.22 0 0.33 102 0.24 202 0.08 302 0.02 150(n) (i)因为Z服从正态分布N( , 2) ,200,2 150,所以V150 12.2所以 P(187.8 Z 212.2)P(200 12.2 Z 200 12.2) ( Z )2又若Z N( , 2),则 P( Z )0.6826,所以 P(187.8 Z 212.2)0.6826(ii)因为X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，服从二项 分布，即 X B

15、(100,0.6826),所以 EX 100 0.6826 68.26(2013全国1.理数.19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取 4件作检验，若都.为优质品，则这批产品通过 检验；如果n=4,再从这批产品中任取 1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情 况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为-,且各件产品是否2为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品检验费用为 100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X (单位：元)，求X的分布列及数学期望.【解析】设第一次取出的 4件产品中恰有3件优质品为事件 A,第一次取出的4件产品中全为优质 品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件 C,第二次取出的1件产品是优质品为事件 D, 这批产品通过检验为事件 E,根据题意有 E=(AB) U (CD),且AB与CD互斥，3 12114141