最全的矢量分析与场论讲义(必考)

1、矢量分析与场论第一章矢量分析一内容概要1矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函 数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究 过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析 中的推广。2本章所讨论的，仅限于一个口变量的矢性函数/(/),但在后边场论 部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个口变量的多元矢性函 数仏,)，)或者沁,)，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导 数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其 有关的相应概念加以推广而得出。3本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢力百)的几何意 义，即力百)是位

2、于/(/)的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线 上对应t值的点处，且恒指向t值增大的一方。如果将自变量取为矢端曲线的弧长s,即矢性函数成为a =,则力«)二冬不仅是一个恒指向s增大一方的切向矢量，而且是一个单位 as切向矢量。这一点在儿何和力学上都很重要。4矢量/(/)保持定长的充分必要条件是力(/)与其导矢/互相垂直。 因此单位矢量与其导矢互和垂直。比如圆函数e(f) = cosri + siin/为单 位矢量，故有曲)丄必)，此外又由于必)(/),故e(r)le,(r)o (圆函 数还可以用來简化较冗长的公式，注意灵活运用)。5在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和

3、两个矢性函 数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为：a-b'dt = a-b- b-a'dtaxbldt = axb+bxa'dt前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者由两项相减 变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。6在矢量代数中，在引进了矢量坐标之后，一个空间量就和三个数量 构成一一对应关系，而且有关矢量的一些运算，例如和、差以及数量 与矢量的乘积都可以转化为三个数量坐标的相应运算。同样，在矢量 分析中，若矢性函数采用坐标表示式，则一个矢性函数就和三个数性 函数构成一一对应关系，而且有关矢性函数的一些运算，例如计算极 限、求导数、求积分等

4、亦可以转化为对其三个坐标函数的相应运算。7矢性函数极限的基本运算公式(14)、导数运算公式(pll)、不定积分 的基本运算公式(pl6)典型例题：教材p6例2、plo例4、pl2例6、pl3例7。习题一(pl920) 此外还有上课所讲的例题。补充：1 )设尸=q勺(&)+ ,求s =* ("(尸')6/02) 一质点以常角加速度沿圆周r = ae)运动，试证明其加速度a)= -r ,其屮y为速度卩的模。a3) 已矢ii矢量力=-2(/ + in/ , b = r, + sin(/-3/,计算积分 pcbm。4) 已知矢量 a = ti + 2tj b = costi

5、+ sintj + e'k ,计算积分 x b'dt o第二章场论一内容概要1本章按其特点可以划分为三部分：第一部分为第一节，除介绍场的 概念外，主要讨论了如何从宏观上利用等值面（线）和欠量线描述场 的分布规律；第二部分为第二、三、四节，内容主要是从微观方面揭 示场的一些重要特性；第三部分为第五节，主要介绍三种具有某种特 性而又常见的矢量场。其中第二部分又为本章之重点。2空间数量场的等值面和平面数量场的等值线以及矢量场的矢量线 等，都是为了能够形象直观地体现所考察的数量（m）或矢量/（m）在 场中的宏观分布情况而引入的概念。比如温度场中的等温面，电位场中的等位面，都是空间数量场

6、中 等值面的例子；而地形图上的等高线即为平面数量场中等值线的例 子。在矢量场中，矢量线可以体现场矢量的分布状况，又能体现场矢 量的走向。例如流场中的流线，体现了流速的分布状况和它们的走向。 此外，由于矢量场中的每一点都有一条矢量线通过，因此对于场中的 任一条曲线c （非矢量线），在苴上的每一点也皆有一条矢量线通过, 这些矢量线的全体，就构成一曲血，称为矢量面，特別的，当曲线c 为封闭曲线时，矢量面就成为一管形曲面，称之为矢量管。3有一种空间场（矢量场或者数量场）具有这样的一种几何特点：就 是在场中存在一族充满场所在空间的平行平面，场在其中每一个平面 上的分布，都是完全相同的（若是矢量场，其场矢

7、量同时也平行于这 些平面）。对于这种场，只要知道场在其中任一平面的中的特性，则 场在整个空间里的特性就知道了，因此，可以将这种场简化到这族平 面中的任意一个平面上来研究，因而，也把这种场称为平行平面场。 在平行平面场中，通常为了研究方便，通常取所研究的这一个平面为 xoy平面。此时，在平行平面场中，场矢量就口以表不成为平而矢量 /"£,曲+念（1）八在平行平面数量场中，其数量就可以表示成为 二元函数“ f心,y）,并且这样的研究结果适用于任何一块与xoy血平 行的平面。典型例题：习题2 （m好能全部做一下）（1）求数量场u = ln（x2 + y2 +刊通过点m（l,2,l

8、）的等值面。（2）求矢量场/ = / + j + （x + 2y）zr通过点m1,1）的矢量线方程。4数量场中函数“（m）的方向导数是一个数量。它表示在场中的一个点 处函数mm）沿某一方向的变化率。详细点说：其绝对值的大小，表示 沿该方向函数变化的快慢程度，其符号的正负，则表示沿该方向函数 的变化是增加还是减小的。若在点m处，函数mm）可微，则函数u沿/方向的方向导数在 迪卡尔坐标下的计算公式为：dudlduou 门 ducoscr + cos0 +cosy dxdydz5数量场的梯度是一个矢量，场中的每一点都对应着一个梯度矢量。 梯度矢量有两个重要性质：（1）梯度在任一方向上的投影，正好等于

9、函数在该方向上的方向导 数，gg 备 据此可以推出：梯度自身的方向就是方向导数最大 的方向，其模就是这个最大方向导数的数值。（2）数量场中每一点处的梯度都垂直于此数量场过该点的等值面， 且指向函数值增大的一方。梯度在直角坐标系中的表达式为：- du . du . ou -graau =i + / + k。oaa 丿 cox oy oz此外，从梯度的基本运算公式可以看出，他与一元函数中导数运算的 公式完全类似，这一点可以帮助大家掌握梯度的基木运算（p39）。典型例题p34例2, p37例3,例4, p38例5, 6,习题3。(1 )求函数u = 3x2 +z2 -2yz + 2xz在点 m(l,

10、2,3)处沿矢量« = yzi +呵+ xyk方向的方向导数。(2)求函数八粧在曲面在点m(2,3,3)处沿曲面下侧法线方向的方向(3) 求函数在点m(2,3)处沿曲线y = x2-l朝兀增大一方的 方向导数。(4) 设r是从点、m0(a,b,c)到任意一点m(x,y,z)的距离，求证gradr是 在r = m.m方向上的单位矢量。(5) 已知一可微的数量场%(x,y,z)在点mo(1,2,1)处，朝点(2,2,1)方向 的方向导数是4,朝点m2(1,3,1)方向的方向导数为2,朝点(1,2,0)方 向的方向导数为1,试确定在m()处的梯度，并求出朝点m4(4,4,7)方向 的方向导

11、数。(6) 求数量场=丄在点m(1,0,0)处沿过点m的等值面的外法线方向r的方向导数号，其中厂为矢径2勿+刃+汰的模。6矢量场力穿过某一曲面s的通量=a ds是从某些物理量，诸如s流速场屮的流量、电场屮的电通量、磁场屮的磁通量以及热流场屮的 热量等等概念中抽象出来形成的一个数学概念。因此通量是具有若干 物理意义的。如果s是一个封闭曲面，则矢量场/穿出s的总通量为二jp ds,（1）当0时，则s内必有产生通量的源头；（2）当v0时，则s内必有吸收通量的漏洞；这两种情况，合称为s内有源（源头为正源，漏洞为负源）。（3）当=0时，不能断言s内无源，因为这时，在s内正源和负源互相抵消，也可能恰好出现

12、总通量为零的情况。由此可见，从穿出某个封闭曲面的总通量，可以初步了解在s内通量 产生的情况，当然这仅仅是一种整体性的粗略了解，这由此引出了矢 量场屮散度的概念。7矢量场/的散度div a ,是指在场中的一点处，矢量场力穿出一个 包含该点在内的微小区域aq的边界曲面as的通量ao对aq的体积变 化率，即a-dsdiva = lim = lim 竺aq->oaqto jy它是一个数量，表示此矢量场在这个点处散发通量或者吸收通量的强 度。具体来说，散度以绝对值表示在该点处源的强度大小。当其不为 零时，以正负号表示该点处的源为正源或者负源；当其为零时，则表 示该点无源，从而将散度恒为零的矢量场称

13、为无源场。与散度相对应 的场称为散度场。由于散度场为数量场，故亦可通过其等值面、方向 导数和梯度等来揭示其分布规律和变化情况。在直角坐标系屮，矢量场a = p（m）iq（m）j + r（m）k在点m处的散度表不式为:dx dy dz由此可以得出奥氏公式(高斯定理)的矢量形式为：a-ds=divadvsq此式表明了通量和散度之间的一种关系：穿出封闭曲面s的通量，等于s所包围的区域q上的散度在上g的三重积分。p52散度的基本运算公式。典型例题p44例,p52例4,例5,习题4。(1) 设s为由圆柱面x2 + y2 = a2及平面z = 0和z =力所围成的封闭曲面，求r = xi + yj+zk穿

14、出s的柱面部分的通量。(2) 已知 a = (axz + x2)/ + (/?v + x>,2)/ + (z - z2 + cxz - 2xyzk ,试确定阿 a, b, c使得/是一个无源场。(3 )求矢量场 a =(3x2 - 2yz)i + (y3 + yz2)j + (xyz -3xz2)k 所产生的散度场 通过点m(2,-i,l)的等值面及其在点m处沿ox轴正向的变化率。(4)已知 grad(divf(r)r) = 0 9 其中/ = +» + /, r = r ,求 /(r) o8矢量场昇沿有向闭曲线/的环量r = a-dl也是从某些物理量，如力 i场中的功、流场中

15、的环流以及磁场中的电流强度等概念抽象形成的一 个数学概念，和通量概念的形成极为类似，通量是一个曲面积分，环 量是一个曲线积分。二者在矢量场中都是一种整体性的概念，为了研 究矢量场的局部性质，前面从通量引入了散度，这里又可以从环量引 入环量面密度的概念：在矢量场力中的一点m处，取定一个方向为，再经过点m处 以为法矢作一微小曲面as,同吋以a5表示其面积，其边界d之正 向与法矢构成右手螺旋关系，则场/沿d之正向的环量a与面积 as之比，当as沿其自身缩向m点时，其极限就称为矢量场力在点m 处沿方向的环量面密度（就是环量对面积的变化率），ip：sa-ciiaf/lin = lim =lim a5r

16、as "tm as可见，环量面密度概念与散度概念（通量的体密度）的构成是非常类 似的，二者都是一种局部性的概念。设矢量场a = p（m）i + q（m）j + r（m）k ,则场/在点m处沿方向的 环量面密度在直角坐标系下的计算公式为：=底- q jcos a + （pz - /? jcos 0 +（2 - py ）cos y9环量面密度与散度这两个概念的构成虽然很相似，且都是一种变化 率，但二者有着重要的差别，这就是：散度和矢量场中之点能构成一 一对应关系，二环量面密度不仅与场中的点位置有关，而且还与从该 点出发的方向有关，从一个点岀发的方向有无穷多个方向，对应的也 有无穷多个环量

17、面密度的值，所以，换辆面密度与矢量中的点不能构 成 对应的关系。环量面密度和散度的上述差别正是环量面密度和方向导数相一 致的地方。这就诱导我们去寻找一种矢量，使它在一个点处和环量面 密度之间的关系恰如梯度和方向导数之间的关系一样，循此探索，就 得出了旋度的概念。10矢量场力在m点处的旋度rota ,是这样一个矢量，它在任一方向上的投影，就等于场/沿该方向的环量面密度，即有：rotna =儿由此可知：旋度的方向就是环量面密度最大的方向，其模也就是这个 最人环量面密度的数值。如果把旋度8以与矢量场力中的点 对应 起來，又得到一个矢量场，叫做有矢量场/产生的旋度场。对于那种恒有rota= 0的矢量场

18、，叫做无旋场。矢量场a二p（m）i + q（m）j + r（m）k的旋度，在宜角坐标系下的计算公 式为：ta =（r、,-q）+（p厂 rx）j +（2 - py >i j k或者写为：rota =?dxdxdxpqr据此可以将斯托克斯公式写成矢量形式：护 dl = ds/s此式表明了环量和旋度之间的一种关系：即沿有向封闭曲线/的环量, 等于旋度沿与i的方向构成右手螺旋的方向穿过以i为边界的曲面5 的通量。旋度之所以得名是因为在流场中速度的旋度恰好是流场中该点旋转角速度矢量乘上一个常数2,即rotv = 2co op65旋度的基本运算公式。典型例题：p58例1, p60例2, p63例3

19、, p65例6,习题5。(1 )设力=xy2z2i + z2 sin yj + x2eyk ,求 div a 和 rota。11三种特殊的矢量场。即有势场、管形场和调和场。其中以有势场 为重点。设矢量场/为有势场，是指在场中存在单值函数“（m）满足：a = gradu ,称函数u =-弘为这个场的势函数。从而矢量昇与其势函数u 之间存在下列关系：a = -gradv ,但在流体力学中，也直接把u定义为 矢量场力的势函数。12具有曲线积分/与路径无关性质的矢量场/称为保守场。如 jab静电场、引力场、重力场都是保守场。根据第五节定理1及其证明， 可知：在线单连域内，“场有势”，“场无旋”，“场保

20、守”以及“表达 式a dl = pdx + qdy + rdz为某个函数的全微分（这个函数叫做表达式 /的原函数）”这四者是等价的。一般通过考察场力是否无旋，即 是否有rota = 0来判断其余三者是否成立。由此知：若有rota = 0,则存在原函数，且此原函数就是满 足/ = gradu的函数u（m）,它可以用如下公式来计算出："（x,y,z）= r p（x,）dzom+ p q（x，y，s0y+ r（x,y,zlz + c%oo丈 0其屮（勺,儿,）为场中任意一点，为了计算简便通常取为坐标原点；c 为任意常数。容易看出，在求得况后，有势场力的势函数v-t就随z得到了。此外，若/为

21、保守场，则曲线积分其中讥m）为力的一个原函数，可用上面公式求出。计算曲线积分 的这个公式与计算定积分的牛顿一莱布尼茨公式完全相似，都是通过 原函数来计算，用起来很方便。13矢量场/为管形场，是指它恒有散度diva=o,即力为无源场。管 形场中存在矢量满足rotb = a ,矢量3叫做管形场/的矢势量。教 材为了说明它的存在，直接给出了从已知管形场矢量/ = p（m）z + 0（m）/ + /?（m）r计算其矢势量b = ui + vj + wk的如下计算公 式:=r（x,y,z0）clyv = - p（x,y,z）dzw = c简要给出其推证：由rotb = a,有dwdv5ydzdudw&a

22、mp;dxdvdudxp=qr，为简便起见,我们取w二c （c为常数），然后在（1）与（2）式两边对z积分，得:v = - pdz +（p（x, t/=-f qdz + 0（x,y）,这里 ©（兀,y）, 0（x,y）都是，无，七）匕）y的任意函数，将此两式带入（3）可得：乙（6兀dy） dx dy带入上式得:再由条件小“0即兰+越+竺=0=飲dzdx dy dz(5)为简单起见，再在其中取处,)#0(7)乙 dz 8x dy或者/?(x,y,z)-/?(x,y,z() +学一乎二 r ,即ox dy譽一学网“5)(6)ox dy即得：0(无,y) = - £ 恥,” 5

23、)dy + e(x)(8)其中血)为兀的任意函数，再取处) = 0,就得到: 血歹)=-尺(兀)沁0处将(7), (8)依次带入(5)与(6)即可得岀u, v,再由w=0既可得出所推证的矢势量的计算公式。从上面的推证过程也可以看出，如果不取w二c,族兀,y) = (), e(x) = 0而将之取为别的合于条件的函数，则计算矢势量的公式随 之变化，这表明同一个管形场存在着无穷多的矢势量，而不限于有这里所推证的公式计算出来的。14若矢量场昇彳旦有div a = 0和“口=0,则称/为调和场。简而言 z调和场是一个既无源乂无旋的矢量场。在调和场中，由于有 rot a = 0 ,故调和场也是有势场，因

24、此存在函数u满足a = gradu , 又由于有div a = 0 ,既有：div(gradu) = 0或者写为:这是一个二阶偏微分方程，叫做拉普拉斯方程，对于满足拉普拉 斯方程且有二阶连续偏导数的函数，叫做调和函数，可见上述函 数比以及势函数都是调和函数。15特别应注意的是平面调和场，就是既无源又无旋的平面矢量 场，它与空间调和场相比，有其特殊性。设力=y）i + 2（x,y）j为平面调和场，则有rota =0 ,故存在 势函数卩满足a = -gradv ,又因其有diva = 0,由此可以推出满足 -qi-pj = graclu的函数这个函数u叫做/的力函数。函数u 和卩可用下面公式来求出

25、：（无,y） = - q（x，0 肚 + f p（x, y）dyao（兀,y）=-f p&，y0 加-2（ yy兀ao函数n和v还满足如下的关系式:由此可以得到:dx2 dy2这说明函数比和v均为满足二维拉普拉斯方程的调和函数，故又 称二者为共轨调和函数。应用这个共轨条件，便可以从比和中 的一个求出另一个。此外，力函数和势函数的等值线依次叫做平面调和场的力线和等势线，其屮力线就是矢量场/的矢量线，而势线就是与矢量线相互正交的一族曲线。典型例题：p71-73 例 1, 2, 3, 4, p76 例 5, p78 例 6, p80 例 7, 习题6。(1 )证明力=(y2 + 2xz2)r

26、 +(2xy-z)j +(2x2z-y + 2z)k 为有势场，并 求其势函数。(2) 解微分方程(z3 -4xy)rfx +(6y-2x2ly +(3xz2 + )dz = 0 o(3) 证明八(2xy + 3)/ + (x2-4z)；-4必为保守场，并计算曲线积分其中1是从点a(3,-到点b(2,l,-1)的任意路径。(4) 证明a = yzi + zxj-i- xyk为调和场，并求出场的调和函数和矢 势量各一个。(5) 己知 a = (x3 +3y2z)i + 6xyz/rk ,其中函数 r 适合=0,且dz当x = y = 0时r = 0,求r使矢量场a存在函数u满足 a = grad

27、u ,并判断力是否为管形场。(6) 矢量场a = (x2 - y2 +x)r -(2xy + yj是否为平面调和场？若 是，求其力函数比和势函数5第三章哈密顿算子 1哈密顿算子糾歎是一个矢性微分算子。就是说它在运算中具有矢量和微分的双重性质，其运算规则是:l du . du . du.vm = 1 + 1 + k dx dy dzdy dzvxa8axdx労）&丿ox丿由此可见，场论中的梯度、散度、旋度都可以用哈密顿算子来表gradu = vw，div a = / , rota = vx a从而场论中的一些公式，也可以通过该算子来表示。此外，为了某些公式中应用方便，又结合哈密顿算子引入

28、 了 一个数性微分算子：a v = a i + a 1 + a kox oy dz其运算规则是：（/哄磴7釣+磴5）(ab = ax-uay此处的/ 与/是完全不同的。2教材中把场论中的一些常见公式用算子表示，并将其汇集列出便于查用（p85）, k中：(1) 公式(1)(11)前八个是最基本的公式，后三个则是比 较常用的。(2) 公式(15)(17)公式(15)表示：div(sradu)=u,说明“梯度场的散度就是调和 量”,而公式(16)和(17)分别表不：rotgradu) = 0div(rota) = 0 分别说明“梯度场无旋”，“旋度场无源”。(3) 公式(19)(21)是一组关于矢径的基本公式，是经常 用到的。此外(27), (28)分别是奥氏公式与斯托克斯公式用哈密顿算子 表达的形式。典型例题：例1