二项式定理复习ppt课件

1、 二项式定理复习二项式定理复习：t./ ；:；2nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)(通项第r+1项：1rT I.在二项展开式中，与首末两端“等间隔的两项的二项式系数相等. .假设二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；假设二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大. .在二项展开式中，一切二项式系数的和等于 ；奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于n2.21nrnCrrnba概念复习概念复习：t./ ；:；2nxx2)1(84)21(xx (一一)通项公式的运用通项公式的运用注注: 在在 的展开式中，知前三项的系数的展开式中，知前三

2、项的系数成等差数列，问这个展开式中能否存在常数项？假设成等差数列，问这个展开式中能否存在常数项？假设有，求出常数项，假设没有，求出展开式的中间项。有，求出常数项，假设没有，求出展开式的中间项。nxx)21(4 解：二项展开式中，解：二项展开式中， 由知，由知，2 = 2 = ，解得解得n=8n=8或或n=n=1 1舍去舍去设展开式中第设展开式中第r+1r+1项为常数项，那么项为常数项，那么，令，令 0 0，得，得r= r= 不是整数，故二项不是整数，故二项展开式中不存在常数项。由展开式中不存在常数项。由=8=8知中间项为第知中间项为第5 5项项，所以第，所以第5 5项为项为 。201nnxCT

3、 41211221xxCTnn21222341xxCTnn121nC2041nnCC 428848812)21()(rrrrrrrrxxCxxCT428rr316x835nx)221(解法一解法一 由于由于x2十十3x十十25(x2十十3x)十十25 (x2十十3x)5十十 十十 十十 2)3(4215 xxC555424522)3(CxxC例例3.求求x2十十3x十十25的展开式中的展开式中x的系数的系数。44523C所以所以x的系数为的系数为 240例例3.求求x2十十3x十十25的展开式中的展开式中x的系数的系数。 解法二 由于x2十3x十25x2十3x十2x2十3x十2x2十3x十2x

4、2十3x十2x2十3x十2所以x2十3x十25 展开式的各项是由五个因式中各选一项相乘后得到的，那么它的一次项只能从五个因式中的一个取次项3x，另四个因式中取常数项2相乘得到，即3x24240 x所以x的系数为240三展开式中各项系数和三展开式中各项系数和例例4.(2x2-1)n的展开式的各项系数和为的展开式的各项系数和为 A.2n+1 B.2n C.0 D.1分析：设分析：设(2x2-1)n=a0 x2n+a1x2(n-1)+an， 展开式各项系数和为展开式各项系数和为a0+a1+a2+an 上式是恒等式，所以当且仅当上式是恒等式，所以当且仅当x=1时，时， (2-1)n=a0+a1+a2+

5、an a0+a1+a2+an=2-1n=1D求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项 式中的字母为式中的字母为1例例5 知知: 展开式的系数之和比展开式的系数之和比 展开式的系数之和小展开式的系数之和小240,求展开式求展开式nxx 31 nba2 nxx 31中系数最大的项中系数最大的项. 832yx 展开式的二项式系数的和为展开式的二项式系数的和为多少多少?系数的和为多少系数的和为多少?1.(1+x)+(1+x)2+(1+x)n的展开式的各项系数的展开式的各项系数 和是和是 A.2n+1-2 B.2n+1-1 C. 2n+1 D. 2n+1+12.A四求

6、展开式中各奇数项与各四求展开式中各奇数项与各偶偶 数项的系数和数项的系数和例例6.知：知：(2- )100=a0+a1x+a2x2+a100 x100， A=a0+a2+a4+a100，B=a1+a3+a5+a99， 求：求： A+B、A-B、A2-B2.x3小结：小结：(a+b)n=a0an+a1an-1b+a2an-2b2+anbn， 设设 A=a0+a2+a4+，B=a1+a3+a5+， 即即A为展开式中各奇数项的系数为展开式中各奇数项的系数和，和， B为展开式中各偶数项的系数为展开式中各偶数项的系数和和. 那么：令那么：令a=b=1，得，得A+B=2n(1) 令令a=1，b=-1，得，

7、得A-B=0(2) 由由12可分别解得可分别解得A、B这是求奇数项系数和与偶数项系数和的根这是求奇数项系数和与偶数项系数和的根本本思绪思绪.(五五)整除性的证明、求余数；整除性的证明、求余数；例例7 7 假设今天是星期一，那么对于恣意自然数假设今天是星期一，那么对于恣意自然数n n，经过，经过23n+323n+37n7n5 5天后的那一天是星期几？天后的那一天是星期几？解：由于解：由于23n+323n+37n7n5=8n+15=8n+17n7n5=5=7 71 1n+1n+17n+5=7n+1+7n+5=7(7n 7n+5=7n+1+7n+5=7(7n +n)+6+n)+6那么那么 23n+3

8、 23n+37n7n5 5被被7 7除所得余数为除所得余数为6 6所以对于恣意自然数所以对于恣意自然数n n，经过，经过23n+323n+37n7n5 5后的后的一天是星期日一天是星期日77771能被能被19整除吗？整除吗？ 六近似计算六近似计算 |x|1时，时， 要留意误差绝对值应小于准确度的一半，要留意误差绝对值应小于准确度的一半，否那么应该加项。否那么应该加项。nxxn 1)1()0001. 0(997. 15精精确确到到例例：计计算算解：解：1.9975=1.9975=2 20.0030.0035 5=25-5=25-52424 0.003+100.003+10 2323 0.0032

9、-0.0032-101022220.0030.003由于由于|T6|T6|T5|T5|T4|1.08|T4|1.0810-610-6，那么，那么|T4|T4|T5T5T6|T6|0.0000040.000004所以所以1.9975321.9975320.24+0.000 7231.7610.24+0.000 7231.761这道题仍可以用二项式定了解，为了把左式与这道题仍可以用二项式定了解，为了把左式与右式发生联络，将右式发生联络，将3 3换成换成2 21 1留意到：留意到： 2n+n2n-1=2n-1 2n+n2n-1=2n-12 2n n=2n-1=2n-1n+2n+2； n2 n2，右式

10、至少三项；，右式至少三项；这样，可以得到这样，可以得到3n3n2n-12n-1n n2 2nNnN，且，且n2n2 (七七)其它运用其它运用例例 9 9 求证：求证：3n3n2n-12n-1n n2 2nNnN，且，且n2n2),1,(112qNnqqqann.2211nnnnnnaCaCaCAnA),(321NnnannA例例1 1 求证：求证： 3 3 9 9 3n =22n3n =22n0nC1nC2nCnnC证明：在证明：在a+ba+bn n的展开式中令的展开式中令a=1a=1，b=3b=3得：得：(1(1十十3)n= 3)n= 3 3 9 9 3n3n即即4n = 4n = 3 3

11、9 9 3n 3n ， 3 3 9 9 3n =22n3n =22n。0nC1nC2nCnnC0nC1nC2nCnnC0nC1nC2nCnnC 显然，适中选取显然，适中选取a a，b b之值是解这一类题的关键，之值是解这一类题的关键，再看练习题再看练习题 求求 9 9 92 92 93 93 94 94 的值。的值。 26C36C46C56C66C分析分析 应对原题做以下变换：应对原题做以下变换：1 1取取n=6n=6。 2 2把原式除以把原式除以92 92 。3 3添加添加 9 9 两项。两项。06C16C)10()2)(1(xxx9x16)2(yxyx7.kyx2)( 810610410210CCCC01