暑期辅导第八讲：圆与方程

1、第八讲:圆与方程一、曲线和方程1. 点p(x0,y0)在曲线c： /(x,y) = 0±o/(xo,yo) = o2. 曲线方程的求法(注意：轨迹与轨迹方程的区别)：(1) 直接法:建系；设点;列式;化简(小心范围)(2)代入法:(3)参数法;(4)交轨法(联立消参)二、圆的方程1. 标准方程：(x-z)斜率：如上是点(兀)与(0,0)连线的斜率;x 截距：如遇到2x+y,令2x+y = w,则比是宜线ly = -2x + u的纵截距； 距离：®(x-l)2+(y + 2)2是点(兀,y)到(1,-2)的距离的平方； +(y-z?)2 = r2(r>0),圆心为(d,

2、/?),半径为厂.2. 般方程：+£">0),圆心为 ，,半径为 r=-3+e-4f. 2 2 丿 2v z7 -1- >* co£ f)3. 参数方程：.(r为半径，&为参数)，圆心为(q").，= b+rsi n0三、点、直线、圆与圆的位置关系设hic： /(兀,y) = 0.其中/仗y)=(xg+(y矿一，或= f+屮+氐+场汁尸.1点p(如，)与圆的位置关系：点p(x0,y0)在圆内o .f (心)b) v ° ；点p(兀o,%)在圆上o /(勺,) = 0.点p(x0,儿)在圆夕卜o .f (心)b) > &

3、#176;2 .宜线l:ax+by + c = 0与圆c:f(x,y) = 0的位置关系：若c至畀距离为d ,半径为厂，贝u(1) d>r<=> i与dc相离；(2)d = ro /与dc相切;(3) d so/与dc相交(也可用判别式讨论).3. 圆m圆的位置关系：若圆心距为d ,两圆的半径为r,厂，则(l)d>/? +厂o 相离；(2)d = r +厂 o 夕卜切；(3)|/? "<</? + 厂0 相交；(4)d=|/? "o 内切；(5)dv|r "o 内含四、求圆的方程、切线方程、切线长、弦长1. 求圆的方程：待定系数

4、法；代入法；圆系法：(1) 过直线l:ax+by + c = 0与圆c:f +，2 +dt+e，+ f = 0的交点的圆系方程为x2 + y2 + dr + ey + f + 2 (ar + by + c)二 0.(2) 过圆6：爪尢？)=只+尸+砂:+殆，+斥=0与圆c2:f2(x,)=x2 +y+d2x+e1y+f1=q的交点的圆系方程为: f(x,y) + 2(%,y) = 0 (2ht)(不包括圆 c?) 特别地：两圆的公共弦所在直线的方程为(口 -q)尢+(g -e)y +斤-巧=o.2. 求圆的切线方程：过圆上一点)的圆的切线有u仅有-条，一般先求斜率，再用点斜式解决.也可肓接应用

5、公式：x2 -> xox, y2 -> yqy : x+ x； y _> aiz . (x-a)2 -> (x0； (y-z?)2 ->(y0 -b)(y-b) 过圆x2 + y2 =厂2上一点m(%0,y0)的圆的切线方程是：x()x-y()y = r2。 过圆(兀一a)? +(y-b=r2上一点m (x0,y0)的圆的切线方程是：(兀。一。)(兀一。)+(儿一b)(y -b) = r2。 过圆x2 + y2 + z)x+ey+f=0(d2+e2-4f>0)上一点m (心北)的圆的切线方程是：x0x+>v+d.+e.a±z+f = 0o2

6、2过圆外一点p(兀0，北)的圆的切线有两条，用点斜式设切线方程，用=厂求解，若只求得一条，则另一条为x = %0.3. 求切线长：勾股定理 4.求弦长：垂径定理五、圆中的最值问题：常用方法：参数方程；数形结合(是解析几何的灵魂)1. 要熟悉常见的一些表达式的几何意义|兀-2y + l|是点(x,y)到直线x-2y + l二0距离的苗倍等等.2. 与圆有关的距离的最值(抓心距：心点距、心线距、心心距)3点p在圆dc内，过点p的最长弦为肓径；最短弦ab丄pc.4. 动玄线斜率范围：界线斜率先计算，九十度线是关键，包含此线取两边，不含此线夹中间.点拨：降低运算量的常用方法：平儿知识；向虽知识；数形结

7、合；设而不求.例题讲解：例1平面上有半径为1的圆q和半径为2的圆q，且|o,o2| = 4,动点p向两圆所张视角相等，求点p的轨迹.圆周上有两个动点a,b,例2.指出方程xox+ yoy = r2 (厂> o,.r.xo,yo不同吋为0)的儿何意义.例3.已知圆的方程为x2+y2=r2f圆内有定点p(a,b). pa丄pb ,求矩形apbq的顶点q的轨迹方程.例 4.已知点 p(5,0)和圆 o： x2 + >,2=16.(1) 自p作圆o的切线，求切线的长及切线的方程；(2) 过p任意作直线/与圆o交于a, b两点，求弦ab的中点m的轨迹.例 5.己知圆 c: x2 +(y-1)

8、 = 5 ,直线/: nvc- y + 1 -m = 0.(1) 求证：对mwr,总线/与圆c总有两个不同的交点；(2) 设直线z少圆c交于两点，若|ab| =求直线/的倾斜角;(3) 若定点p(l,l)满足2ap = pb,求此时直线/的方程；(4) 求弦4b的中点m的轨迹方程.例6.已知实数x, y满足%2 + y2 +2x- 2羽y = 0 .(1)求f + b的最大值；(2)若x+y + 2n0恒成立，求兄的范围.例7.设圆满足:截y轴所得弦长为2;被兀轴分成两段圆弧,具弧长的比为3:1,在满足条件、的所有圆小，求圆 心到直线l:x-2y = 0的距离最小的圆的方程.作业一、选择题1.

9、 当点p在圆x2 + r = l±变动时，它与定点2(3,0)相连，线段pq的中点m的轨迹方程是()a. (x + 3)2 + y1 =4 b.(兀一3)2 + 尸二1 c. (2x-3)2+4yl d. (2兀 + 3)2+4尸=12. 若直线y = x + b与曲线y = 3-44x冇公共点，则方的取值范围是()a. 1-2血,1 + 2冋b. 1-v2,3 c. -1,1 + 2呵d. 1-272,33. 与圆f +y2 _仮一 2y+=0关于直线x_y_l=0对称的圆的方程为x1 +y2 -4x+b = 0,贝 ijq + /?=()a. 3b. 4c. 5d. 64. 直线

10、y = kx + 3与圆(3)2+(y-2)2二4相交于m,/v两点，若阿皿2能，则r的取值范围是(a.b.00.4u0,+oo)3 3d.-1°5. 若圆0-3)2+(y + 5)2 =厂2上有且仅有两个点到直线4x-3y = 2的距离为1,则半径厂的取值范围是()a.(4,6)b. 4,6)c.(4,6d. 4,6二、填空题6. 若直线y = x + b与曲线兀=jl_)，恰冇一个公共点，则实数b的取值范围是.7. 将直线2x-y + 2 = 0,沿兀轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2 + y2+2x-4y = 0相切，则实数/i的值为8. 己知圆c的方程为才+于2y 3=0,过点p(-1,2)的直线/与圆c交于a,b两点，若使小创最小，则直线/的方程是.9. 已知a(-1,2),b(加,0),且与两点的距离分别为1和2的肓线有且只有两条，则加的取值范围是三、解答题10. 己知动点m到点a(2,0)的距离是它到点5(8,0)的距