八年级春季班-10-平行四边形判定及综合-教师版

1、八年级春季班初二数学春季班（教师版）教师日期学生课程编号10课型复习课课题四边形的判定及综合教学目标1 利用平行四边形的判定定理进行相关的证明；2利用平行四边形的性质，解决平行四边形的存在性问题教学重点1 平行四边形的判定定理；2.平行四边形的存在性问题；3 动点问题，判定边角关系 .教学安排版块时长1平行四边形的判定50min2综合40mi n3随堂检测20mi n4课后作业10mi n平行四边形的判定及综合本节主要根据平行四边形的判定定理进行证明四边形是平行四边形， 以及利 用平行四边形的性质得出边和角之间的关系，以证明题为主，让同学们更好的运 用判定定理.平行四边形判定定理 如果一个四边

2、形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形. 简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形. 简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形 如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形.简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形(S)例题解析【例1】判断题:（1） 夹在两平行线间的平行线段长度相等（）（2） 对角线互相平分的四边形的对边一定相等（）（3） 组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边

3、形是平行四边形（）（4） 一组对角相等，另一组对角互补的四边形是平行四边形（）【难度】【答案】（1）正确；（2）正确； （3）错误；（4）错误.【解析】（1）夹在两平行线间的平行线段组成平行四边形，故长度相等，正确；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形，对边一定相等，正确；（3）组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行四边形，错误；（4）一组对角相等，另一组对角互补的四边形不一定是平行四边形，错误.【总结】本题考查平行四边形的判定方法的运用.【例2】 如图，在平行四边形 ABCD中，EF是对角线BD的三等分点.求证：四边形AECF是平行四边形（请用两种方法证明）【难度】【

4、答案】略.【解析】（方法一）Q四边形ABCD是平行四边形，AD=BC, AD/BC, ADF = EBCQE、F 三等分 BD , BE=EF=FD易证 AFD与厶BEC全等， ABE与厶CDF全等AE=CF , AF=CE, 四边形AECF是平行四边形；（方法二）连接 AC,与BD交于点0,Q 平行四边形 ABCD ,AO = OC, BO = DOQE、F 三等分 BD , BE=EF=FDOB-BE=OD-DF , OE=OF, BO=DO , 四边形AECF是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形的判定定理与性质定理的综合运用.八年级春季班【例3】 如图，YABCD中，AF=CE, M

5、F / NE.求证：EF和MN互相平分.【难度】【答案】略【解析】设AB与CD相交于点0,连接EM、NF四边形ABCD是平行四边形， OA OC . AF=CE, OE OF . MF / NE, MFE NEF .NOE MOF , VNOE VMOF , NE MF . MF / NE,四边形 MFNE是平行四边形， EF和MN互相平分.【总结】本题考查平行四边形判定定理和性质定理的综合运用.【例4】 已知四边形 ABCD ,现有条件：AB/ DC;AB= DC ;AD / BC;AD = BC ; A = C :/ B = D .从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的

6、有哪几种情形巧青具体写出这些组合.【难度】【答案】；.【总结】本题考查平行四边形的判定方法的运用.【例5】 已知：AC是YABCD的一条对角线，BM丄AC, DN丄AC,垂足分别是 M、N. 求证：四边形BMDN是平行四边形.【难度】【答案】略.【解析】Q平行四边形ABCD , AB/CD , AB=CD , BAC = DCA . Q BM AC, DN 丄 AC, ABM CND ,BM = DN , BM/DN , 四边形BMDN是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形的判定方法与三角形全等的判定的运用.1【例6】 已知：如图，四边形 ABCD中，AD / BC, AD=- BC,点E是

7、BC的中点,2求证：AB/ DE , C= AEB.【难度】【答案】略.【解析】Q点E是BC中点， BE=CEQBC=2AD, AD=BE=EC, 又 QAD/BC, 四边形ABED与四边形AECD均为平行四边形AB/DE，AE/CD， C= AEB【总结】本题考查平行四边形判定方法与性质的综合运用【例7】 如图，在YABCD中， DAB=60°点E、F分别在 CD、AB的延长线上，且AE=AD,CF=CB. （1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的 DAB=60 上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.【难度】【答案】略.【解析】（1

8、） Q平行四边形ABCD ,AB/CD , AB=CD, AD = BC, ADC = ABCQ AE=AD=BC=CF , ADECBFED=BF , EC=AF, 四边形EAFC是平行四边形;（2）成立，证明同上.【总结】本题考查平行四边形的判定方法的运用.【例8】已知在YABCD中，E, F是对角线 BD上的两点,BE=DF ,点G、H分别在BA和DC的延长线上，且 AG=CH ,联结GE , EH , HF , FG ,求证：四边形 GEHF是平行四边形若G、H分别在线段BA, DC上，其余条件不变，则（1）结论否成立？（说明理由）【难度】【答案】略.【解析】（1） Q平行四边形ABC

9、D ,AB=CD , AB/CD , ABD = BDCQ AG=CH , BE=DF , BG=DH , BGE DFHGE=FH , BEG= DFH , GED= HFE ,GE/FH , 四边形GEHF是平行四边形；(2)成立，证明同(1)D【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的运用.【例9】 如图所示，平行四边形 ABCD中, 求证：EF与MN互相平分.【难度】【答案】略.【解析】联结 ME , EN , FN, MFAE 丄 BC、CF 丄 AD , DN = BM .Q平行四边形ABCD ,QAE 丄 BC、CF 丄 AD ,AB=CD, AD=BC,B= D , ABE C

10、DF ,BE=FDQ DN = BM, BEM 也厶 FDN , ME=FN同理可证 MF = EN,四边形MENF是平行四边形，EF与MN互相平分.【总结】本题考查三角形全等的判定方法与平行四边形性质与判定定理的综合运用.【例10】 如图，过YABCD的顶点A的直线I （形外），分别过B、C、D作直线|的垂线,E、F、G 为垂足.求证： CF = BE+DG .【难度】【答案】略.【解析】过点D作DH丄CF于点H .四边形 ABCD是平行四边形， AB= CD . BE I , DH 丄 CF, AEB DHC 90o .BCBE l ,CFl ,EBCBCF180o ,ABCBCD180o

11、,ABEDCH , VABE VDCH , BE = CH .DG l ,CF l,DHCF , DGFH .T CF FH CH , CF=BE + DG【总结】本题考查平行四边形性质的运用.【例11】如图,YABCD的对角线AC、BD交于点0,E、F分别在 BC、AD上,1 1且 BE=丄 BC, DF=丄 AD , AE、CF 分另IJ交 33行四边形.【难度】【答案】略.【解析】Q平行四边形ABCD ,BD于点M、N,求证：四边形 AMCN是平BC=AD, OA=OC, OB=OD, ABC ADC ,BE=DF ,ABECDF , BAE= DCF ,ABMDNC ,BM = DN

12、, OM=ON , 四边形AMCN是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的运用.【例12】 如图所示，平行四边形 ABCD中，对角线AC、BD交于点O, AE BD于E,BF丄AC于F，CG丄BD于G，DH丄AC于H .求证：四边形 EFGH是平行四边形.【难度】【答案】略.【解析】Q平行四边形ABCDAB=CD, OA=OC, OB = OD, DAC = BCAQ DH 丄 AC, BF 丄 AC, ADH CBFAH = CF, OH=OF ,同理可证 OE=OG四边形EHGF是平行四边形【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的综合运用.【例13】 如图，以厶ABC的三

13、边分别作等边 DAC、 ABE , BCF ,求证：四边形ADFE是平行四边形.【难度】【答案】略.【解析】Q等边 DAC , ABE , BCF , EBF= ABC, BE=AB, BF=BC,EF=AC=AD, BE=DF=AE, 四边形 BEF ABC,EFDA是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形判定方法与等边三角形性质的综合运用.【例14】已知：RtA ABC中， ACB=90°, CD丄AB于D, AE平分 CAB交CD于F,过F 作 FH / AB,交 BC 于 H . 求证：CE=BH .【难度】【答案】略.【解析】做FG/BH ,可得平行四边形 FHBG , B

14、H=FG .Q ACB=90°, CD 丄 AB, B= ACF = FGA,Q EA 平分 CAB, ACFAGF , FG=CF .Q CAE+ AEC=90 ° , EAB+ AFD =90 ° , AFD= CEF= CFE ,CE=CF,CE=FG ,CE=BH.【总结】本题考查角平分线性质与平行四边形性质的综合运用.9 Z 26八年级春季班【例15】如图，ABC中， C = 90°点M在BC上，且BM = AC ,点N在AC上,且AN = MC , AM与BN相交于点 P.求证： BPM = 45°【难度】【答案】略.【解析】过点

15、M作MD / AN ,使得MD=AN ,联结DN、BD, 则四边形AMDN是平行四边形，MD=AN=CM .Q BMD C 90, BM =AC, BMD ACM ,BD=AM=DN , BDN 90°,BND 45° , AM /DN , BPM = BND = 45°【总结】本题考查平行四边形的性质与等腰直角三角形性质的综合运用.【例16】如图，ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD = BF ,以AD为边作等边ADE.(1) 求证：ACD B CBF ;(2) 当D在线段BC上何处时，四边形 CDEF为平行四边形，且 DEF = 30

16、76;证明你 ACD B BCF ;的结论.【难度】【答案】略.【解析】(I) Q ABC是等边三角形，AC=BC, B= ACB=60 ° , 又Q CD=BF ,(2)当D是BC中点时，四边形 CDEF是平行四边形，且 DEF=30QD 是 BC 中点，AB=AC,AD 丄 BC , CAD=30 Q ACD B BCF , DCF = CAD =30 ° , AD = CF = ED .Q ADE=60°, EDB=30°, EDB = FCB , DEzzCF .四边形EFCD是平行四边形， DEF= DCF=30 °【总结】本题考查平

17、行四边形判定方法与等边三角形性质的运用.【例17】 如图所示，平行四边形 ABCD中， BAD的角平分线 AF交BC于E,交DC的延长线于点 F ,若 ABC=120°, FG / CE ,度数.【答案】60°【解析】分别联结 GB, GE, GCQ AF 平分 BAD , BAF= DAFQ四边形ABCD是平行四边形，FG = CE,分另连接 DB、DG,求 BDG的AD/BC DAF = CEF , BAF= AFD , CEF = AFD , CE=CF .Q AB/CD , ABC=120° , ECF = ABC=120 ° .Q FG/CE且

18、FG=CE, 四边形CEGF是平行四边形，CE=CF , EG = EC.Q GCF = GCE=I ECF=60° , ECG 是等边三角形，2EG=CG, GEC= EGC=60 ° , GEC = GCF , BEG= DCG由 AD/BC 及 AF 平分 BAD 可得 BAE = AEB, AB=BE 在平行四边形 ABCD 中，AB=CD ,BE=CD , / BEG DCG ,BG=DG , BGD= EGC=60 ° , BDG=60°.【总结】本题综合性较强，主要考查平行四边形性质、等边三角形性质的综合运用.模块二：综合题【例18】 在Y

19、ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O,过O点任意作两条直线交 YABCD 的AB、CD边于E、F ,交BC、DA边于G、H ,那么四边形 EGFH是什么图形？证明你 的结论.【难度】【答案】略.【解析】Q平行四边形ABCD,OA=OC , OB=OD .AOH OCG , BEO DOF ,OH=OG , OE=OF ,四边形EGFH是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形判定方法，对角线互相平分的四边形是平行四边形.【例19】 如图，YABCD中，DE AB于E, BC=2AB, M是BC的中点.试求ZEMC与ZBEM的数量关系.【难度】【答案】Z EMC =3 Z BEM .【解析】延

20、长EM与DC的延长线交于点 N,连接DM .则易得 BEM NCM ,所以 EM=MN .又 AB/CD , DE 丄 AB,则Z EDN =90°,Z BEM= Z N , ME = MN=DMZ EMD=2 Z N=2 Z BEM由 MC=CD ,得Z MDC = Z CMD = Z N ,Z EMC=3 Z BEM .【总结】本题主要考查平行四边形性质、直角三角形性质的综合运用.【例20】平面直角坐标系中有三点A(2,1), B( 3,1), C(4,3),求平面内第四点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形.【难度】【答案】(1 , -1)或(3, 3)或(5,

21、3).【解析】当AB为对角线时，由AC=BD , BC=AD ,得：D (1 , -1);当AC为对角线时，D ( 3, 3);当AD为对角线时，D (5, 3). 【总结】本题考查平行四边形性质，注意分类讨论，利用平移的性质去求坐标.【例21】 已知平面内有两点 A ( 1 , 0)、B (3, 0) , P点在y轴上，M点在直线y X 1 上，若以A、B、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求M点的坐标.【难度】【答案】(2, 1)或(-4, -5)或(4, 3).【解析】当AB为对角线时，M (2, 1);当AP为对角线时，M (-4, -5);当AM为对角线时，M (4, 3).【总结】

22、本题考查平行四边形性质，注意分类讨论，利用平移的性质去求坐标.【例22】 在RtA ABC中， C=90 ° , AC=6, BC=6 3 ,动点P从点A开始沿边 AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，顶点 Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单 位长度的速度运动，过点P作PD / BC,交AB于点D,联结PQ,点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止移动，设运动的时间是t秒(t 0).(1) 直接用含t的代数式分别表示： BQ=, PD=;(2) 是否存在t的值，使四边形PDBQ是平行四边形？若存在，求出t的值，若不存在, 试说明理由.【难度】【答案】

23、(1) BQ= 6.3 2t , PD= . 3t ;(2) t=12.3 18 .【解析】(1)由题意，可得：AC=6 , BC= 6 3 , AB=12, B=30CQ=2t,所以 BQ= 6 3 2t , AP=t, PD= . 3t ;(2).平行四边形 PDBQ ,BQ = PD,即 6 3 2t 3t ,解得：t 12,3 18 ,Q tV 3 2 , 当t 12.3 18时，四边形PDBQ是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形性质与直角三角形性质的综合运用，注意分析动点的运动轨迹.【例23】 如图，在平面直角坐标系中，点 O是坐标原点，四边形 ABCO是平行四边形，点 A的坐标

24、为(3,4),点C在X轴的正半轴上，且OA=OC,直线AC交y轴于点M , AB 边交y轴于点H .(1)求直线AC的解析式；【解析】(1)QA( 3,-4),0A=5=0C, C (5, 0)设直线AC的解析式为：y=kx+b,代入A、C两点的坐标,得解析式为：y（2）平行四边形 ABCO中，AB=OC=5,B ( 2，4)，BC=5=0C.易知点M坐标为（0, 2.5）.当点P在AB上，即卩0 tv 2.5时，AP=2t,贝V BP 5 2t ,. HM =4-OM=1.5,1 13153S= × BP × HM=(52t)t ；2 2242'当 P 在 BC

25、上，即卩 2.5v t 5 时，BP=2t-5,平行四边形ABCO 中，AB=BC,四边形ABCO是菱形,BCMOCM ,.VBCMVOCM ,BM OM5， MBC MOCo90，1 15525. S= × BP × BM=(2t 5) t2 2224,3-t(0 t 2.5)综上S 2525-t (2.5 t 5)24由动点引起的三【总结】本题主要考查两点之间距离的确定以及平行四边形的性质的运用, 角形的面积，需要分类讨论.# / 26八年级春季班【例24】直线y冷X 6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q同时从o点出发,同时到达A点，运动停止.点 Q沿线段OA运动,

26、速度为每秒1个单位长度，点 P沿(3)当S 6.3时，求出点Q的坐标.S,T Q从O到A的时间是6 3秒， P的运动速度为:6 123 (单位长度/秒)63当P在OB上，即0 t 2 3时，OQt , OP= 3t, 1 AQ 6 3 t , S= _ OP AQ2-(6.3 t) . 3t2-t2 9t ;2当点P在AB上，即2 3 t 6 3时,OQ=t,AP=18- 3t过点P做PH丄AQ于点H ,则PH= IAP 9 22 (6 3 t)(9 乎t) =寻224则 S IAQ ? PH9t 27 3 ,综上：St29t(0 t 2 3) 9t 27 3(2 3 t63)(3)当P在OB

27、上时，由6 3 ,得：t 3.3.15 , Q ( 3.3.15 , 0);当P在AB上时，由1249t 27 36 3 ,得:t 6.3-2 6 , Q ( 6 3-2 6 , 0),综上Q点的坐标为(3 315 , 0)或(6 3-2 6 , 0).路线O B A运动.(1) 直接写出A、B两点的坐标；(2) 设点Q的运动时间为t秒， APQ的面积为【答案】见解析.【解析】(1)由题可得：A ( 6 3 , 0), B (0, 6);(2) A ( 6羽,0), B ( 0, 6), AB=12 , OB=6 , OB+AB=18 .P点不同位置进行分类讨论.【总结】本题主要考查动点与一次

28、函数的综合运用，注意对k【例25】 已知：反比例函数y 和一次函数y 2x 1 ,其中一次函数的图形经过点2x(1)求反比例函数的解析式;(2)已知反比例函数和一次函数的图像交于第一象限的点A、P(2，0)，平面内存在一点Q，使得四边形 AoPQ是平行四边形，求 Q点的坐标.【难度】【答案】(1) y - ；( 2)(3, 1).X【解析】把(a, b), (a+1 , b+k)代入 y=2x-1 ,得 2a-仁b, 2 (a+1) -1 = b+k,则2a+2-1=2a-1 + k,解得：k=2 ,故此反比例函数的解析式是:(2)两函数的交点为1y X ,解得：A (1, 1),y 2x 1

29、平行四边形 AOPQ , AQ/OP, AQ=OP,故 Q (3, 1).【总结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,以及平行四边形的性质， 本题中四边形AOPQ是有顺序的，因此满足条件的Q点只有1个，解题时注意认真审题.【例26】 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AB =BC, AB 6 , B MAN 60 .绕顶点A逆时针旋转 MAN ,边AM与射线BC相交于点E (点E与点B不重合)，边AN与射线CD相交于点F .(1)当点E在线段BC上时，求证： BE CF ;(2)设BE X , ADF的面积为y .当点E在线段BC上时，求y与X之间的函数关系式，写出函数的定义域;(

30、3)联结BD ,如果以A、D为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE的长.【答案】(1 )略；(2) y3、3X2(3) BE=12.DD9 3 (OV XV 6);14 Z 26八年级春季班【解析】（1）联结AC,易证 BA=BC , BAC= DAC=60 °, ACB= ACD=60 ° ABC是等边三角形，AB=AC又Q BAE+ MAC=60° CAF + MAC=60 °， BAE= CAF ABE ACF , BE=CF;（2）过点A作AH丄CD ,垂足为H ,在 RtAADH 中， DAH =30° ,DH =3, AH=3 3

31、, CF = BE=x, DF =6-x1 1Q SADF -DF ? AH ,y=2 (6 x) 3 .3 ,即 y3-3 X 9 3 ( OV X V 6);2(3)当F点在CD的延长线时，连 BD ,易得 ADB=30 ° .当四边形BDFA是平行四边形时，AF/BD, FAD= ADB=30 ° , DAE=30°, BAE=90°,在 RtA ABE 中， B=60°, BEA=30 ° , AB=6 ,易得 BE=12 , 当点F与点C重合时，此时点 E与点B重合，不合题意，舍.【总结】本题主要考查平行四边形的性质及全等三

32、角形判定与性质的综合运用【例27】 如图1, P为RtA ABC所在平面内任意一点(不在直线AC 上) , ACB=90 ° ,M为AB边中点操作：以 PA、PC为邻边作平行四边形 PADC ,连接PM并延长到点 E, 使 ME=PM ,联结 DE (1) 请你利用图2,选择RtAABC内的任意一点 P按上述方法操作；(2) 经历(1)之后，观察两图形，猜想线段DE和线段AC之间有怎样的位置关系 ？ 请选择其中的一个图形证明你的猜想；【答案】（1）略；（2） DE 丄 AC;（3） DE/BC , DE=BC 【解析】(1)根据要求画图即可.(2)联结BE,Q PM=ME , AM=

33、MB , PMA = EMB ,丄 PMA EMBPA=BE, MPA= MEB , PA/BE.PA/DC，PA=DC，DE/BC，DE=BCQ四边形FADC是平行四边形,BE/CD，BE=DC四边形DEBC是平行四边形,Q ACB=90 °，BC 丄AC，即卩 DE 丄 AC(3) DE/BC, DE=BC.【总结】本题考察平行四边形的性质的运用，解题关键是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关的证明随堂检测25 Z 26【习题1】 若AD是ABC的中线，延长AD到E使DE=AD,联结BE、CE,那么四边形 ABEC是四边形.【难度】【答案】平行四边形【解析】AE与BC互相

34、平分，所以四边形 ABEC是平行四边形【总结】本题考查平行四边形的判定方法，对角线互相平分的四边形是平行四边形.【习题2】如图，直线I与双曲线交于A、C两点，将直线I绕点O顺时针旋转o(0°< 45),与双曲线交于 D两点，则四边形 ABCD的形状一定是 ,理由是.【难度】【答案】平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形.【解析】Q反比例函数图像关于原点对称，OA=OC, OB=OD ,四边形ABCD是平行四边形.【总结】本题考查了反比例函数的性质及平行四边形的判定方法。了解和熟练掌握反比例函数的性质是解答此类题目的关键所在，注意反比例函数图像关于原点对称.【习题3】四边

35、形的四条边长分别是a, b, e, d,其中a, C为对边，且满足2 a2 2 2bed 2ab 2cd ,则这个四边形一定是（: )A.两组角分别相等的四边形B.平行四边形C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形【难度】【答案】C【解析】由 a2 b2 e2 d2 2ab2ed 可得(a-b) 2+(c-d) 2=0,即卩 a=b 且 e=d,所以四边形的两条对角线互相垂直【总结】本题考查了因式分解的应用，解题时首先利用因式分解把等式变形，然后利用非负数的性质即可解决问题.【习题4】已知四边形ABCD的对角线相交于 0,给出下列5个条件AB / CD ,AD / BC,AB=CD ,

36、 BAD= DCB ,从这四个条件中任选 2个一组，能推出四边形 ABCD为 平行四边形的有（）A 6组B 5组C 4组D 3组【难度】【答案】C【解析】根据平行四边形判定方法，能推出四边形为平行四边形的有四组，分别是，.【总结】本题考查平行四边形判定方法的运用.AE=CF , M、N 分另IJ是 DE、EB【习题5】如图，在YABCD中，E、F分别是AB、CD上点,BF的中点，求证：四边形 ENFM是平行四边形.【难度】【答案】见解析.【解析】Q平行四边形 ABCD , AB CD , AB=CD .QAE=CF, BE=DF ,四边形EBFD是平行四边形，DE=BF, DE/BF,又QM、

37、N分别是DE、BF的中点， ME = FN ,四边形MENF是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形性质及判定方法的综合运用.【习题6】 已知：如图，在 ABC中，BD平分 ABC, ED / BC,【难度】【答案】见解析.【解析】QBD平分 ABC, ABD = CBD ,又Q ED/BC, ABD= DBC= EDB ,EB = ED .又Q DE/BC, EF/CD , 四边形EFCD是平行四边形,CF=ED=BE.【总结】本题考查平行四边形性质及判定方法的综合运用.EF / AC,求证：EB=FC.【习题7】如图，四边形EFGH是平行四边形 ABCD的内接平行四边形， 即顶点E、F、G

38、、H分别在平行四边形 ABCD的四边上.求证：这两个平行四边形的对角线交于同一点.【难度】【答案】见解析.【解析】连接AC, HF交于点O平行四边形ABCD与平行四边形EFGH AEHCGF , AH = CF . AHO CFO , M 是 AC 与 HF 的中点同理BD , EG也过点M ,所以这两个平行四边形的对角线交于同一点.【总结】本题考查平行四边形的性质的运用，注意认真审题.【习题8】如图，在YABCD中，E、F是对角线 求证：四边形 AECF是平行四边形.【难度】【答案】见解析.【解析】Q平行四边形ABCDBD上的两点，AE丄BC, CF丄AD .AB/CD , AD/BC, A

39、B=CD , BAD = BCD , ABD= CDBAE AD , CF丄 BC , BAE = DCF , ABE CDFAE=CF , AEB= DFC , AEF= CFE, AE/CF .四边形AECF是平行四边形【总结】本题考查平行四边形性质及判定方法的综合运用.八年级春季班C【习题9】已知平行四边形ABCD和平行四边形DCEF ,求证： ADE BCF 【难度】【答案】见解析【解析】Q平行四边形ABCD ,平行四边形DCEF，AB=DC = EF，AB/DC/EF，DE = CF，AD=BC四边形AEFB是平行四边形AE=BF , ADE BCF , ADE= BCF .【总结】

40、本题考查平行四边形性质的运用.31 Z 26【习题10】 如图，在平行四边形ABCD 中，BC AB ,A B的平分线交于点E ,D、 C的平分线交于点 F ,联结EF.求证：EF【难度】【答案】见解析.【解析】延长 AE交BC于点G,延长CF交AD于点HBCAB .Q 平行四边形 ABCD , BAD= BCD , AD/BC.QAE 平分 BAD , CF 平分 BCD ,D AEB= CFD=90 °, BAG = DAG = AGB = BCH = DCH = DHCAB=BG, CD = DH ,CG=AH ,即四边形 AGCH是平行四边形易知 E、F 分别是 AG、CH

41、的中点， AH=EF=CG=BC-BG ,即卩 EF=BC-AB .【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的综合运用.【习题11】 如图，在四边 ABCD中，形AD Z ZBC且AD BC , BC 6cm ,点P Q分别 从A、C同时出发，点P以IcmZs的速度由A向D运动，点Q以2cmZ S的速度由C向B 运动，几秒时，四边形 ABQP是平行四边形？【难度】【答案】2秒.【解析】设t秒后，四边形 ABQP为平行四边形，则 AP=t, QC=2t, BQ=6-2tY一QCQADZZBC,AP=BQ时，四边形 ABQP就是平行四边形，即：t =6-2t, t =2当 t=2 时，AP=BQ=

42、2 V BC V AD ,符合题意，综上，当t=2时，四边形 ABQP是平行四边形.【总结】本题主要考查平四边形与动点的简单结合，主要利用性质解题即可.【习题12】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为A(3, 0),点B的坐标为A(0, 4).(1)求直线AB的解析式;(2) 点C是线段AB上一点，点O为坐标原点，点 D在第二象限，且四边形 BCoD 为平行四边形，且 BC=BD ,求点D坐标；(3) 在(2)的条件下，点 E在X轴上，点P在直线AB上，且以B、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点【难度】43【答案】(1)y -X 4 ；( 2)D(-，2)；3 29

43、3t 3(3)(9，2)或(3，2)或(3 ,6).2 2 2【解析】(1)设AB的解析式为y=kx+b,代入点 A (3, 0), B (0, 4), 得直线AB的解析式为：y -X 4 ;3(2) Q平行四边形 BCOD中，BC=BD ,OB垂直平分CD ,3点C的纵坐标是2 ,代入AB的解析式得C ( 3 , 2),22, 2)；(3)当BD为对角线时，P( 3 , 6)；2当BE为对角线时，P(3 , 2)；当BP为对角线时，P(9 ,2)；综上所述,P点的坐标为(92)或(3 , 2)或(36)2 ' 2 2 ,【总结】本题考查的综合性很强，第一问待定系数求函数解析式是常考内

44、容，较简单，最后-问需要分类讨论，可以以对角线和边为分类标准进行讨论.Iz【习题13】如图所示，在平行四边形 ABCD中，BC=2AB, DE丄AB, M是BC边的中点, BEM=50 °,则 B的大小是多少？【难度】【答案】100°.【解析】取AD的中点N,连接MN、MD、NE. 1Q DE 丄 AB 于点 E,NE=ND=-AD2又Q四边形ABCD是平行四边形，点 M为BC中点,AB/CD/MN , BEM= EMN , NMD = MDC , ED 丄 MN ,MN 是 DE 的中垂线， BEM = NMD =50 ° .Q BC=2AB ,点 M 是 BC

45、 的中点， MC=CD , CDM = CMD , CMD = DMN =50 °, B= CMD + NMD=Ioo ° .【总结】本题考查平行四边形的性质及直角三角形性质的综合运用.（S） 课后作业【作业1】 下面给出了四边形 ABCD中 A、/ B、/ C、/ D的度数之比，其中能判定四 边形是平行四边形的是（）A. 1:2:3:4B. 2: 2: 3: 3C. 2: 3: 2: 3D . 2:3:3:2.【难度】【答案】C【解析】平行四边形对角相等，邻角互补.【总结】本题考查平行四边形对角相等的性质.【作业2】 下列给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）

46、A. 组对边平行，另一组对边相等B. 一组对边平行，一组对角互补C. 一组对角相等，一组邻角互补D . 一组对角相等，另一组对角互补【难度】【答案】C【解析】A中可能是梯形；B中不可证平行四边形； C可证两组对边分别平行，正确； D不是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形性质【作业3】 下面有四个命题： 一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形； 一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； 一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平 行四边形； 一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正

47、确的命题的个数是（）A. 1个B.2个C. 3个D . 4个【难度】【答案】A【解析】（1）错误；（2）错误； （3）错误；（4）正确.【总结】本题考查了平行四边形的性质与判定，解决本题的关键要学会举反例.【作业4】 如图，在YABCD中， B、/ D的平分线分别交对边于点 E、F,交四边形的对角线 AC于点G、H ,求证：AH=CG .【难度】【答案】见解析.【解析】Q平行四边形ABCD , ADC = ABC, AD=BC , DAC= BCA.又Q DF、BE分别平分 ADC与 ABC, ADF = FDC = ABE= EBC, ADH BCG ,AH =CG .【总结】本题考查了平行

48、四边形的性质的运用.【作业5】如图，YABCD的两边AB、DC的中点分别是使 AG=CH .求证：EH / GF .【难度】【答案】见解析.【解析】Q平行四边形 ABCD , AB=CD , AB/CD .QE、F分别是AB、CD的中点，AE=CF .E、F ,延长 BA、DC 至U G、H ,Q AG=CH , GE=FH , 四边形GEHF是平行四边形，EH/GF .【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的综合运用.八年级春季班【作业6】 如图，YABCD中，E、G分别为AD、BC的三等分点，DH = BF,求证： FEH = HGF .【难度】【答案】见解析.【解析】Q平行四边形ABC

49、D ,AD=BC, AD/BC, EDH = GBF . EHF = GFHQE、G分别是AD、BC的三等分点，DE=BG ,又Q DH=BF , EDH BFG , DHE = BFG ,EH/FG , 四边形EHGF是平行四边形， FEH = HGF .【总结】本题考查三角形全等与平行四边形的性质与判定的综合运用.【作业7】 E为 ABC中AC边上一点，EDzzAB交BC于点D ,F为AB边上一点，AF DE ,延长FD到点G,使DG FD ,联结AG,求证：DE、AG互相平分.A【难度】【答案】见解析.【解析】联结AD , EGQ DEZZAF , DE=AF, 四边形AEDF是平行四边

50、形，AE=DF , AEZZDF , 又Q DF=DG , AE=DG四边形ADGE是平行四边形，DE、AG互相平分.【总结】本题考查三角形全等与平行四边形的性质与判定的综合运用.【作业8】 如图，E、F分别是YABCD的边AD、BC的中点，且 AG=CH.求证：EF与HG互相平分.【难度】【答案】见解析.【解析】QABCD是平行四边形，AD = BC, A= C.又Q E、F分别是AD、BC中点， AE=CF, AEG也厶 CHF ,同理可得： DEH BFG , EH=GF , EG=HF , 四边形HEGF是平行四边形, EF与HG互相平分.【总结】本题考查了平行四边形的性质和判定方法的

51、综合运用.八年级春季班【作业11】如图，在平面直角坐标系中，函数y= 2x+ 12的图像分别交X轴、y轴于A、B39 Z 26平分线相交于点 E , EF AB 求EF的长.【难度】【答案】EF 2 3 【解析】Q四边形ABCD是平行四边形 DAB + ABC=180 °Q A的角平分线与B的角平分线相交于点 E, EAB+ EBA=180°÷ 2=90 °, AEB是直角三角形.Q C=60°, ABC=120 ° , ABE=60 ° , EAB=30 ° .A在直角 EAB 中，EB= -AB =4, AE 4.3 ,2所以 EF -AE 2 3 .2【总结