D114函数展开成幂级数48070学习教案

1、会计学1D114函数展开成幂级数函数展开成幂级数48070其中( 在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项拉格朗日余项 .则在若函数的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 ,该邻域内有 :第1页/共24页)(00 xxxf200)(!2)(xxxf 为f (x) 的泰勒级数泰勒级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数 .若函数的某邻域内具有任意阶导数, 0)(xxf在问题问题泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定不一定. .第2页/共24页.)()(级数的作出设例Maclaurin2xfxf00021xx

2、ex,)(:,级数可以形式地写出它的由可见例由例Taylor21xf由此例如，那么，什么时候泰勒级数一定收敛于f(x)呢？第3页/共24页各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:证明证明:令)(0 xx设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有第4页/共24页若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.证证: 设 f (x) 所展成的幂级数为则显然结论成立 .第5页/共24页1. 直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第

3、二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内是否为骤如下 :展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知级数展开式0. 的函数展开第6页/共24页展开成 x 的幂级数. 解解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足故( 在0与x 之间)故得级数 第7页/共24页展开成 x 的幂级数.解解: 得级数:其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足! ) 1( nn0第8页/共24页思考题：思考题：试将),(x),(x展开成 x 的幂级数.答案：答案：第9页/共24页称为二项展开式二项展开式 .说明：说明：(2) 在 x1

4、处的收敛性与 m 有关 ,由下列情形 可以看出.(1) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上 式就是代数学中的二项式定理二项式定理.类似例1，例2可得 ：第10页/共24页对应的二项展开式分别为第11页/共24页利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例例3. 将函数展开成 x 的幂级数.解解: 因为把 x 换成)11(x, 得将所给函数展开成 幂级数. 第12页/共24页展开成 x 的幂级数.解解: 从 0 到 x 积分, 得定义且连续, 区间为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛第13页/共24页展成解解: 的

5、幂级数. 第14页/共24页展成 x1 的幂级数. 解解: 第15页/共24页1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式x2!21x式的函数 .第16页/共24页x11nxnnmmm!) 1() 1(当 m = 1 时),(x),(x) 1, 1(x7531215753012xxxxxnxnnn)(arctanxe第17页/共24页快速思考题快速思考题第18页/共24页第19页/共24页)1 (lnxx1, 1(x221x331x441x11) 1(nnxn在x = 0处展为幂级数.解解:)(3232x因此备用题备用题第20页/共24页11x 2. 第21页/共24页11x11x