全等三角形全章热门考点与重点题型解题技巧整理(解析版)

1、全等三角形全章热门考点与重点题型解题技巧整理（解析版）考点1全等三角形判定的三种类型考点分析：一般三角形全等的判定方法有四种：SSS SAS, ASA, AAS;直角三角形是一种特殊的三角形，它的判定方法除了上述四种之外，还有一种特殊的方法，即HL”.具体到某一道题目时，要根据题目所给出的条件进行观察、分析，选择合适的、简单易行的方法来解题.题型1已知一边一角型应用1 一次全等型1.在 ABC 中，BD = DC, 1 = 2,求证：AD 平分 BAC.1.证明： BD = DC , DBC = DCB.又 1 = 2, 1 + DBC = 2 + DCB ,即 ABC = ACB. AB =

2、 AC.在厶ABD和厶ACD中，AB = AC ,/ 1 = 2,BD = CD , ABD ACD(SAS). BAD = CAD AD 平分 BAC.2.如图，在 ABC中，D是BC边上一点，连接 AD,过点B作BEAD 于点E,过点C作CF丄AD交AD的延长线于点F,且BE= CF.求证：AD是厶ABC的中线.证明：I BE丄AD , CF丄AD , BED = CFD = 90°又 BDE = CDF , BE = CF , DBE DCF. BD = CD. D是BC的中点，即 AD是厶ABC的中线.应用2二次全等型1 .如图， C= D, AC证明：过点A作AM丄BC ,

3、 AN丄BD ,分别交 BC, BD的延长线于点 M , N. M = N = 90°. ACB = ADB , ACM = ADN .在厶ACM和厶ADN中， M = N, ACM = ADN ,AC = AD , ACM ADN (AAS). AM = AN , CM = DN .在 Rt ABM 和 Rt ABN 中，AB = AB ,AM = AN , Rt ABM 也 Rt ABN (HL). BM = BN. BM CM = BN DN ,即 BC = BD.2.如图所示，D是厶ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB= EC, BAE= CAE.求证 ABE= ACE

4、.证明：过E作EF丄AB于F , EG AC于G, 则 AFE = AGE = 90°在厶AFE和 AGE中，/ AFE = AGE ,/ FAE = GAE ,AE = AE , AFE AGE(AAS), EF = EG.在 Rt BFE 和 Rt CGE 中，EB = EC ,EF = EG , Rt BFE 也 Rt CGE(HL), ABE = ACE.题型2已知两边型应用1 一次全等型1.如图，在 RtAABC 中， ACB= 90° CA= CB, D 是 AC 上一点，E 在BC的延长线上，且AE= BD，BD的延长线与AE交于点F,试通过观察、测量、猜想等

5、方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你的猜想的正确性.1.解：BF丄AE.理由如下: ACB = 90°, ACE = BCD = 90°.又 BC = AC, BD = AE , Rt BDC 也 Rt AEC (HL). CBD = CAE.又 CAE + E= 90° EBF + E= 90° BFE = 90° 即 BF 丄 AE.应用2两次全等型1.如图，AB= CB, AD= CD, E是BD上任意一点.求证：AE= CE.证明：在厶ABD和厶CBD中AB = CB ,AD = CD ,BD = BD , ABD CBD(

6、SSS). ABE = CBE在厶ABE和 CBE中，AB = CB , ABE = CBE ,BE = BE, ABE CBE(SAS). AE = CE.2 .如图， BAC是钝角,AB = AC,点D , E分别在AB , AC上，且CD =BE.求证： ADC = AEB.证明：过点B , C两点分别作CA , BA延长线的垂线,垂足分别为 F , G.在厶ABF和 ACG中， F = G = 90° FAB = GAC ,AB = AC , ABF ACG(AAS). BF = CG.在 Rt BEF 和 Rt CDG 中，BF = CG , BE = CD , Rt BE

7、F 也 Rt CDG (HL ). ADC = AEB.点拨：判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据 三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.题型3已知两角型应用1 一次全等型1. 如图，已知 BDC = CEB= 90° BE, CD交于点O,且AO平分 BAC. 求证：OB= OC.证明： BDC = CEB = 90° OD 丄 AB, OE 丄 AC./ AO 平分 BAC , OD = OE.在厶OBD和厶OCE中， DOB = OEC ,OD = OE , OBD = COE , BOD OCE(ASA). OB = O

8、C.应用2两次全等型1.如图，在 ABC与厶DCB中，AC与BD交于点E,且 BAC= CDB, ACB= DBC,分别延长BA与CD交于点F.求证：BF = CF.证明：在厶ABC和厶DCB中,/ BAC = CDB ,/ ACB = DBC ,BC = CB , ABC DCB(AAS). AC = DB.又 BAC = CDB , FAC = FDB .在厶FAC和 FDB中，/ F = F,/ FAC = FDB ,AC = DB , FAC FDB (AAS). BF = CF.考点3:证明三角形全等的四种思路考点分析：全等三角形是初中几何的重要内容之一，是几何入门最关键的一步，学习

9、了判定三角形全等的几种方法之后，如何根据已知条件证明三角形全等，掌握证明全等的几种思路尤为重要.题型1条件充足时直接用判定方法1.如图，AC 和 BD 相交于点 O, OA= 0C, OB= OD ,求证：AB/ CD.证明：在厶AOB和厶COD中，OA = OC , AOB = COD ,OB = OD , AOB COD. A= C. AB / CD.题型2条件不足时添加条件用判定方法2 .如图，点A, F, C, D在一条直线上，AF = DC , BC/ EF ,请只补充一 个条件，使得 ABC DEF ,并说明理由.解：补充条件：EF = BC,可使得 ABC DEF .理由如下:A

10、F = DC,点A, F, C, D在一条直线上， AF + FC = DC + FC ,即 AC = DF. BC / EF , EFD = BCA.在厶DEF和厶ABC中，EF = BC , EFD = BCA ,DF = AC , DEF 也厶 ABC(SAS)题型3非三角形问题中构造全等三角形用判定方法3.如图，在四边形 OACB中，CM丄OA于M , 1 = 2, CA= CB ,求证:(1) 3+ 4= 180° (2)OA+ OB = 2OM.证明：如图，过C点作CE丄OB ,交OB的延长线于E点,(1) 1 = 2, CM 丄 OA, CE 丄 OE , CE = C

11、M ,又 I CA = CB , Rt BCE 也 Rt ACM (HL). 3= CBE , 3+ 4= CBE + 4 = 180°(2) V CE = CM , OC= OC , Rt OCE也 Rt OCM (HL ). OE = OM.由(1)知 BE = AM , OA + OB = OM + AM + OB = OM + BE + OB= OM + OE = 2OM .题型4实际问题中建立全等三角形模型用判定方法4. 如图，要测量AB的长，因为无法过河接近点 A,可以在AB所在直线外 任取一点D,在AB的延长线上任取一点E,连接ED和BD,并且延长BD到G, 使 DG

12、= BD ,延长 ED 至U F, 使 DF = ED ,连接 FG ,并延长 FG 至U H , 使 H、D、 A在一条直线上，则HG = AB,试说明理由.解：在厶DEB和厶DFG中，V DB = DG, BDE = GDF , DE = DF , DEB DFG (SAS). E = F , AE / FH , DBA = DGH .又V DB = DG, ADB = HDG . ADB HDG (ASA), HG = AB.考点4:构造全等三角形的六种常用方法考点分析：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中， 能比较容易找到一些量之间的关

13、系， 使数学问题较轻松地解决. 常 见的辅助线作法有：构造法、平移法、旋转法、翻折法、倍长中线法和截长补短法，目的都 是构造全等三角形.题型1翻折法1.如图，在 ABC中，BE是 ABC的平分线，AD丄BE,垂足为D.求证： 2= 1 + C.证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与 BC边重合，A点落 在F点处，折痕为BE) BE 平分 ABC， ABE = / CBE. BD 丄 AD，/ ADB = Z BDF = 90°在厶ABD和厶FBD中，/ ABD =/ FBD，BD = BD，/ ADB =/ FDB = 90° ABD FBD(ASA

14、)./ 2=/ DFB .又/ DFB =/ 1+/ C，/ 2=/ 1 + / C.题型2基础三角形法2.如图，在 RtAABC 中， ACB= 90° AC= BC, ABC = 45° 点 D 为BC的中点，CEAD于点E,其延长线交 AB于点F,连接DF.求证： ADC = BDF.a证明：如图，过点B作BG丄BC交CF的延长线于点 G. ACB = 90°， 2+ ACF = 90°. CE 丄 AD， AEC = 90°， 1 + ACF = 180° / AEC = 180° 90° = 90

15、6; 1 = / 2.在厶ACD和厶CBG中，/ 1 = /2，AC = CB，/ ACD =/ CBG = 90°, ACD CBG(ASA)./ ADC = / G，CD = BG.点D为BC的中点， CD = BD. BD = BG .又/ DBG = 90° / DBF = 45°/ GBF =/ DBG / DBF = 90° 45° = 45°./ DBF =/ GBF .在 BDF和 BGF中，BD = BG，/ DBF =/ GBF，BF = BF， BDF B BGF (SAS)./ BDF =/ G. / ADC

16、= / BDF .点拨：本题运用了构造法，通过作辅助线构造 CBG、 BGF是解题的关键.题型3旋转法3如图，在正方形 ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE + DF= EF,求 EAF的度数.解：如图，延长CB到点H， ABE = 90° / D = 90° D =/ ABH =90° 在厶ABH和厶ADF中,AB = AD，/ ABH = ADF = 90°BH = DF， ABH ADF . AH = AF，/ BAH = DAF . BAH + BAF = DAF + BAF ,即 HAF = BAD = 90° BE

17、+ DF = EF， BE + BH = EF ,即 HE = EF .AH = AF， 在厶AEH和厶AEF中， AE = AE，EH = EF， AEH AEF . EAH = EAF .1 EAF = -/ HAF = 45°2r E(点拨：图中所作辅助线，相当于将 ADF绕点A顺时针旋转90°使AD边与AB边重合，得到 ABH .题型4平移法4.在 ABC 中， BAC = 60° C= 40° AP 平分 BAC 交 BC 于点 P, BQ平分 ABC交AC于点Q,且AP与BQ相交于点0.求证：AB+ BP= BQ+AQ.证明：过点O作OD /

18、 BC交AB于点D , ADO = ABC. BAC = 60° / C= 40° ABC = 80° ADO = 80° BQ 平分 ABC , QBC = 40° AQB = C+ QBC = 80°. ADO = AQB.易知 DAO = QAO , OA = OA , ADO 也厶 AQO. OD = OQ , AD = AQ.又 OD / BP , PBO = DOB.又 PBO = DBO , DBO = DOB. DOB是等腰三角形. BD = OD. BD = OQ. BAC = 60°, / ABC = 8

19、0° ° BQ 平分 ABC , AP 平分 BAC , BAP = 30° / ABQ = 40° , BOP = 70° BAP = 30°, / ABC = 80° , APB = 70°. BOP = APB, BOP 是等腰三角形， BO = BP.° AB + BP = AD + DB + BP = AQ + OQ + BO = AQ + BQ.题型5倍长中线法5. 如图，在 ABC中，D为BC的中点.(1)求证：AB + AC>2AD;若AB = 5, AC = 3,求AD的取值范围.

20、(1) 证明：延长AD至点E ,使DE = AD ,连接BE.D为BC的中点， CD = BD.又 AD = ED, ADC = EDB , ADC EDB. AC= EB./ AB + BE>AE , AB + AC>2AD.(2) 解: I AB BE <AE <AB + BE , AB AC <2AD <AB + AC .TAB = 5, AC = 3 , 2<2AD<8. 1<AD <4.点拨：本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的 问题转化为证全等，从而利用全等三角形的性质解决问题.题型6截长补

21、短法6.如图，AB/ CD, CE,BE分别平分 BCD和 CBA,点E在AD上.求证：BC = AB+ CD.证明:如图，在BC上取一点BCF , 使 BF = BA.连接EF. T CE , BE分别平分 BCD和 CBA , 3= 4, 1 = 2.在厶ABE和 FBE中，BA = BF, 1 = 2BE = BE, ABE FBE(SAS). A = 5.TAB / CD , A + D= 180°又 5+ 6 = 180° 6 = D.在厶EFC和厶EDC中， 6 = D, 3 = 4,EC = EC , EFC EDC(AAS), FC = DC. BC= BF

22、 + CF = AB + CD.点拨：证明一条线段等于两条线段的和的方法：截长法”或 补短法”.截长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；补短法”的基本思路是延长短线段，使之延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段.考点5:角平分线中常用作辅助线的方法考点分析：因为角的平分线已经具备了全等三角形的两个条件(角相等和公共边)，所以在处理角的平分线的问题时，常作出全等三角形的第三个条件，截两边相等(SAS)或向两边作垂线段(AAS)或延长线段等来构造全等三角形.题型1作一边的垂线段1.如图，已知 ABC的周长是20 cm, BO, C

23、O分别平分 ABC和 ACB, ODBC于点D ,且OD = 3。口，求厶ABC的面积.解：连接OA,过点O作OE丄AB , OF丄AC,垂足分别为 E, F. BO是 ABC的平分线，且 0D BC , OE丄AB ,. OE = OD= 3 cm.同理 OF = OD = 3 cm. SABC = S BOC + S ABO + SACO = IBC OD + AB OE + AC OF = *BC + AB +AC) OD = 1×20 >3= 30(cm2).题型2作两边的垂线段2. 如图，已知 AOB= 90° OM是 AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在

24、射线OM上滑动，两直角边分别与 OA, OB交于点C, D ,证明：PC= PD.进JAO= OB, AOB= 90°, BD 平分 ABO, AEBD,证明：如图，过点 P作PE丄OA于点E, PF丄OB于点F , PEC = PFD = 90°OM是 AOB的平分线, PE= PF. AOB = 90° CPD = 90° PCE + PDO = 360° 90°- 90° = 180°而 PDO + PDF = 180° PCE = PDF .在厶PCE和 PDF中, PCE = PDF , PEC

25、 = PFD ,PE = PF, PC= PD.延长作对称图形法3. 如图，在 AOB中, 求证：BD = 2AE.解：如图，延长 AE交BO的延长线于点F./ AE 丄 BE , AEB = FEB = 90° BD 平分 ABO , ABE = FBE .又 BE = BE , ABE FBE . AE = FE . AF = 2AE. AEB = AOB = 90° OAF + AFO = 90° OBD + AFO = 90°. OAF = OBD.又 OA = OB, AOF = BOD = 90° AOF BoD(ASA). AF

26、= BD. BD = 2AE.题型4截取作对称图形法4.如图，AD ABC的中线，DE, DF分别是 ADB和厶ADC的角平分 线，求证：BE+ CF>EF.证明：在AD上截取DH = BD , AD是BC边上的中线， BD = CD = DH ./ DE 平分 ADB , BDE = HDE .又 DE = DE , BDE 也厶 HDE (SAS). BE = HE.同理 CDF HDF (SAS). CF = HF.在厶 HEF 中，I HE + HF >EF , BE + CF>EF.考点6:六种常见的实际应用考点分析：利用三角形全等解决实际问题的步骤：(1)明确应用

27、哪些知识来解决实际问题；根据实际问题抽象出几何图形；结合图形和题意分析已知条件；找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚.题型1利用三角形全等测量池塘两端的距离1 如图，为了测量出池塘两端 A, B之间的距离，在地面上找到一点 C, 连接BC, AC,使 ACB= 90°然后在BC的延长线上确定点 D ,使CD = BC, 那么只要测量出AD的长度就得到了 A, B两点之间的距离你能说明其中的道 理吗？解：因为 ACB = 90°所以 ACD = 180° / ACB = 90° 在厶ABC和 ADC中，BC = DC ,Z ACB =Z A

28、CD ,AC = AC ,所以 ABC ADC(SAS).所以AB = AD.题型2利用三角形全等测量物体的内径2.如图，已知零件的外径为a,要求它的厚度X,动手制作一个简单的工具, 利用三角形全等的知识，求出X.2.解：可设计如图所示的工具，其中O为AC, BD的中点.Ao = CO , 在厶AOB 和厶COD 中， AOB = COD ,BO = DO ,所以 AOB 也厶 COD(SAS).所以AB = CD ,即CD的长就是A , B间的距离.因为AB = a 2x ,所以X=a AB =2=a CD-2-题型3利用三角形全等判断三点共线3.如图，公园里有一条 Z”字形道路ABCD ,

29、其中AB/ CD ,在AB, BC, CD三段路旁各有一个小石凳 E, M , F ,且BE= CF, M在BC的中点，试判断 三个石凳E, M , F是否恰好在一条直线上？为什么？E Ii解：三个石凳E , M , F恰好在一条直线上.理由： AB / CD, B = C , M 是 BC 的中点， BM = CM ,BE = CF,在厶BEM 和厶CFM 中， B = C ,BM = CM , BEM CFM (SAS). BME = CMF .又 BMF + CMF = 180° BMF + BME = 180°三个石凳E , M , F恰好在一条直线上.利用三角形全

30、等解决工程中的问题4. 如图，工人师傅要在墙壁的点 O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚35 cm,点B与点O的垂直距离AB长20 cm,在点O处作一 直线平行于地面，再在直线上截取 OC = 35 cm,过点C作OC的垂线，在垂线上截取CD= 20 cm，连接OD,然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从点 B处打出，这是什么道理?20033解：在厶AOB和厶COD中,OA = OC , OAB = OCD = 90°,AB = CD ,所以 AOB COD(SAS).所以 AOB = COD.又因为 AOB + BOC = 180°, 所以 BOC + C

31、OD = 180°,即 BOD = 180°所以 D, O,B三点在同一条直线上.所以钻头沿着DO的方向打孔，一定从点 B处打出题型5利用角平分线的性质求面积5. 育新中学校园内有一块直角三角形（RtAABC）空地，如图所示，园艺师 傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在 ABD区域内种 植了一串红，在 ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边 AB = 20 m, AC=10 m,求两种花草各种植的面积.解：过点D作DE丄AB于E, DF丄AC于F./ AD 是 BAC 的平分线， DE = DF .T AB = 20 m, AC = 10 m,CII1

32、SaABC = 2×20 ×0= 2>20 XDE + 尹0 XDF ,解得 DE = DF = 20 m,31 20 100 ACD 的面积=1 ×0 ×20=誉°(m2), ABD 的面积=* >20 晋=200(m2).答:串红的种植面积是m2,鸡冠花的种植面积是点拨：本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质、三角形的面积及作辅助线，利用三角形的面积求出 DE的长度是解题的关键。题型6利用角平分线的判定和性质设计方案6如图，三条公路两两相交于 A, B, C三点，现计划修建一个商品超市, 要求这个超市到三条公路的距离相

33、等，则可供选择的地方有多少处？解：如图所示. 作出 ABC的两个内角的平分线，其交点为Oi； 分别作出 ABC两外角平分线，其交点分别为02，O3.故满足条件的修建点有三处，即点01，02，03.点拨：解题的关键是分情况讨论：所选位置在三条公路所围三角形的内部和外部.考点6:四种常见的几何关系的探究考点分析：全等三角形的性质和判定是初中数学的重点内容， 也是学习其他几何知识 的基础，三角形全等的判定和性质是证明线段相等、 角相等的重要依据， 并由此还可以获得 直线之间的垂直（平行）关系，线段（面积）的和、差、倍、分关系.题型1位置关系1.如图，已知 BE AC，CF AB，BM = AC，CN

34、= AB.求证：AM 丄AN.Z ,1.证明：如图， BE丄AC，CF丄AB， 1 + BAC = 90° 2 + BAC = 90° 1 = 2.又 BM = CA，AB = NC， ABM NCA. 3= N. N + 4 = 90° 3+ 4= 90° 即 MAN = 90° AM 丄AN.相等关系2 .已知 ABC, AB=人。将厶ABC沿BC方向平移得到 DEF.如图，连接BD，AF，则BD=AF.傾“”或=”号)(2)如图，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC, DE, DF 于点 G，H，N,连接 BH，GF.求证

35、：BA= GF.U CE F B CE F(2)证明：将厶DEF沿FE方向平移，使点 E与点C重合，设ED平移后与MN相交于 R如图, MN / BC, RC / EH , GRC = RHE = DEF , RGC = GCB,易得 GRC = RGC,A CGR 是等腰三角形. CG = CR.又 MN / BF , CR/ EH ,四边形 RCEH为平行四边形， CR= EH . CG= HE.由平移的性质得 BC = EF , BC + CE = CE + EF ,即 BE = CF.建 MPl' Brf J易得 HEB = GCF , BEH FCG (SAS), BH =

36、FG.题型3和差关系3.如图，/ BCA= , CA= CB, C, E, F分别是直线 CD上的三点，且 BEC = CFA= ,请提出对EF , BE , AF三条线段之间数量关系的合理猜想,并证 明.题型4倍数关系4.如图，在 RtA ABC 中， ABC= A, ACB = 90° D 为 AB 边的中点， EDF = 90° EDF绕点D旋转，它的两边分别交 AC, CB（或它们的延长线） 于点E， F.1当 EDF绕点D旋转到DE丄AC于点E时（如图），易证Sdef+ SaCEF = 2 Saabc;当 EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图 和图（3）这两

37、种情况 下，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，Sa def，Sacef, SaABC 又有怎样的关系？请说明你的猜想，不需证明.解：在题图中结论仍成立；在题图（3）中不成立.对于题图证明如下：如图，过点 D作DM丄AC，DN丄BC，垂足分别为 M，N，则 DME = DNF = MDN = 90°.又 A = ABC，/ AMD = BND = 90° 且易知 DA = DB， ADM BA BDN，二 DM = DN. MDE + EDN = MDN = 90° / EDN + NDF = EDF = 90°， MDE = NDF .

38、A DME BA DNF . S四边形DMCN = S四边形DECF = SA DEF + SACEF.由题图可知S四边形DMCN=2Sa ABC， SA DEFA CEF = 2SA ABC.1在题图（3）中， SA DEF ， S CEF， SAABC 之间 的关系SA DEF SACEF = qSaABC .考点7:四类常见的热门题型考点分析：本章主要学习了全等三角形的性质与判定及角平分线的性质与判定，对于三角形全等主要考查利用全等三角形证明线段或角的等量关系，以及判断位置关系等， 对于角平分线主要考查利用角平分线的性质求距离、证线段相等.题型1全等三角形的性质与判定1 如图所示, 角形有(AA. 3对AB/ EF/ CD, ABC= 90,AB= DC,那么图中的全等三C. 1对B. 2对在厶ABC中，AC= 5, F是高AD和BE的交点，AD = BD ,贝U BF )=DN.2. 如图， 的长是(CA. 7 B. 6 C. 5 D. 43. 如图，在 ABC中，已知 AB = AC, AD平分 BAC,点 M , N分别在 AB, AC 边上，AM = 2MB, AN证明：I AM = 2MB , AN = 2NC ,2 2AM = 3A