2018宁夏高考理科数学真题及答案

1、2018宁夏高考理科数学真题及答案注意事项:1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 .作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.1 2i1 2i2.已知集合A. 93. -i 5B.2y <3B. 83.-i53 4.一 一 i 5 5Z ,则A中元素的个数为D.D.4.i53.函数f xx目的图像大致为 x4.已知向量ab满足|a| 1贝U a (2ab)5.6.7.A. 4双曲线A. y2x在 ABC中,

2、A. 4 2为计算S 11(aC cos2则在空白框中应填入A.B.C.D.B.C.D.0,bB./55B.0）的离心率为73,则其渐近线方程为C.D.BC301991100ACABC.,29D.,设计了右侧的程序框图,2 5哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 7 23.在不超过30的素数中，随8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.机选取两个不同的数，其和等于30的概率是1A .121B. 一14C.1151D.一189.在长方体ABCDABCD 中，AB BC 1 ,AA1展,则异面直线 ADi与DBi所成角的余弦值为A.C.D. JI

3、210.若f(x) cosxsin x在a, a是减函数，则a的最大值是A.B.-2C.D. Tt11 .已知f(x)是定义域为 ()的奇函数，满足f(1 x)f (1 x) .若 f(1) 2 ,则f (1) f (2) f (3)f(50)A.50B. 0C.D. 50212.已知F1 , B是椭圆C: xr a2与 1(a b 0)的左、 b右焦点,A是C的左顶点，点P在过A且斜率为 立的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P 120，则C的离心率为6A. 2二、填空题:本题共 4小题，每小题5分，共20分.13.曲线y2ln(x 1)在点(0, 0)处的切线方程为14.若x, y满

4、足约束条件x 2yx 2yx 55 0,3 0 ,则z x y的最大值为0,15.已知 sin a cos 3 1cos asin 3 0 ,则 sin( *3)16.已知圆锥的顶点为 S母线SA, SB所成角的余弦值为-,SA与圆锥底面所成角为 45。，8若4SAB的面积为5相,则该圆锥的侧面积为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 60分。17. (12 分)记Sn为等差数列an的前n项和，已知ai7, S315.(1)求a。的通项公式；(2)求Sn ,并

5、求&的最小值.18. (12 分)y与时间变量t的两个线性回下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 y (单位：亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,，17)建立模型：y? 30.4 13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2, ,7) 建立模型：？ 99 17.5t .(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.19. (12 分)设抛物线C： y2 4x的焦

6、点为F ,过F且斜率为k(k 0)的直线l与C交于A , B两点,|AB| 8 .(1)求l的方程(2)求过点A , B且与C的准线相切的圆的方程.20. (12 分)如图，在三棱锥P ABC中，ab bc 2& , PA PB PC AC 4 ,。为AC的中与 八、(1)证明：PO 平面ABC ;(2)若点M在BC上，且二面角M PA C为30 ,求PC与平面PAM所成角的正弦值.ACBM21 （12分）已知函数 f （ x） ex ax2 1）若 a 1 ，证明：当x 0 时， f （x） 1 ；（2）若f（x）在（0,）只有一个零点，求a .10分请考生在第22、 23 题中任选

7、一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22 选修 4 4 ：坐标系与参数方程 （ 10 分）x 2cos 0,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（。为参数），直线l的参数y 4sin 0方程为t cos a,tsin at 为参数）（ 1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（ 2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 （1, 2） ，求 l 的斜率23 选修 4 5：不等式选讲 （ 10 分）设函数 f （ x） 5 | x a | | x 2| （ 1）当 a 1 时，求不等式f （x） 0 的解集；（ 2）若f （x） 1 ，求 a 的取值范围绝密启用前2018年普通高等学校

8、招生全国统一考试B4.B5. AC10.A11. C15.116.40衣冗2一、选择题1. D2.A37. B8.C96. A12. D由题意得3a1 3d 15 .理科数学试题参考答案二、填空题13. y 2x 14. 9三、解答题17 .解：(1)设an的公差为d,由 a17 得 d=2.所以烝的通项公式为an 2n 9.22(2)由(1)得 Sn n 8n (n 4)16 .所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为-16.18 .解:(1)利用模型，该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值为y? 30.4 13.5 19 226.1 (亿元).利用模型，该地区 2018年的环境基础

9、设施投资额的预测值为y 99 17.5 9 256.5(亿元).(2)利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：(i)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y 30.4 13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y? 99 17.5t可以较好地描述 2010年以后的环境基础设

10、施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠.（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型得到的预测值更可靠.以上给出了 2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19 .解：(1)由题意得F(1,0) , l的方程为yk(x 1)(k 0).设 A(x1，y1), Bd, y2),由 y2 k(x D招 k2,2y 4x(2k24) xk2一 2 一 一 .一16k16 。，故 x1X22k2 n7所以 | AB | | AF |BF |(x11) (

11、X2 1)4k2 4k2,“ 4k2 4由题设知竺一k28,解得k1 （舍去）因此l的方程为y(2)由（1）得AB的中点坐标为(3,2)AB的垂直平分线方程为y 2 （x 3）,设所求圆的圆心坐标为（x0,y0）,则y。x。5,(x。1)2（y。x。1）2 16 解得XoV。3,或2XoV。11,6.因此所求圆的方程为（x 3）2 （y 2）2一，2_ 216或(x 11) (y 6)144 .20 .解:(1)因为AP CP AC 4, O为AC的中点，所以OP AC,且OP 2 J3 .连结OB .因为AB BC AC ,所以ZXABC为等腰直角三角形,2且OB1 AC , OB -AC

12、2.2由OP2OB2 PB2 知 PO OB .由OPOB,OP AC 知 PO 平面 ABC .uur(2)如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系 O xyz .uur由已知得取平面 PAC的法向量OB (2,0,0).uuur设 M(a,2 a,0)(0 a 2),则 AM (a,4 a,0).设平面PAM的法向量为n (x, y,z).uur uuu2V 2 sz 0一一由 APn 0,AM n 0得 2y 2"0 ，可取 n (g(a 4),V3a, a),ax (4 a)y 0uuu :2 . 3( a 4)所以 cos (OB, n)j.23(a

13、 4)2 3a2 a2uur . 3由已知可得|cos(OB,n)| .所以 2石1a 4|=2/3 .解得a 4 (舍去)，a 4 .2*3(a 4)2 3a2 a223uuu_uur .3又 PC (0,2, 2,3) ,所以 cos：； PC,n :所以PC与平面PAM所成角的正弦值为 宁.21 .解：(1)当 a 1 时，f(x) 1 等价于(x2 1)ex 1 0.设函数 g(x) (x2 1)e x 1,则 g'(x)(x2 2x 1)e x (x 1)2e x当x 1时，g'(x) 0,所以g(x)在(0,)单调递减.而 g(0) 0,故当 x 0 时，g(x)

14、0,即 f(x) 1.(2)设函数 h(x) 1 ax2e x.f (x)在(0,)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,)只有一个零点.(i)当a 0时，h(x) 0, h(x)没有零点；(ii )当 a 0时，h'(x) ax(x 2)e x .当 x (0,2)时，h'(x) 0；当 x (2,)时，h'(x) 0.所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增.故 h(2) 1绛是h(x)在0, e)的最小值.若h(2)2,h(x)在(0,4)没有零点;若h(2)2,h(x)在(0, 4)只有一个零点;若h(2)2 e 一,由于4h(0),所以h(x)在(0

15、,2)有一个零点,时，ex x2,h(4a) 116a34ae16a3/ 2a 2(e )16a314(2 a)故h(x)在(2,4 a)有一个零点，因此h(x)在(0,)有两个零点.2综上，f(x)在(0,)只有一个零点时，a e .422 .解:22(1)曲线C的直角坐标方程为土匕1.416当cos0时，l的直角坐标方程为 y tanx 2 tan当cos 0时，l的直角坐标方程为 x 1 .(2)将l的参数方程代入 C的直角坐标方程，整理得关于 t的方程22(1 3cos )t 4(2cos sin )t 8 0 .因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为 t2,则