数学错解的主要类型及例析

1、数学错解的主要类型及例析北白象镇中学孙建克【内容提要】解数学题时，如果概念、定义理解不清；定理、公式、法则不注意它的适用范 r；方法、技巧不考虑它的使用条件，那么在解题中就必定要出现判断错误，就会产生数学 错解。本文通过阐明产生数学错解的原因及相关的典型例题分析，得出数学错解的主要七大 类型。旨在帮助同学们总结经验教训，防止今后再发生类似错误。【关键词语】数学解题 数学错解 错解原因 错解类型 错解例题学习数学必须解题。当今著名的数学家、教育家gu波利亚指出：掌握数学就是意味着 解题。解答数学问题离不开概念、定义、定理、公式、法则以及方法、技巧等等，如果概念、 定义理解不清；定理、公式、法则不

2、注意它的适用范i韦i;方法、技巧不考虑它的使用条件, 那么在解题中就必定要出现判断错误。这实际上就是违背了数学学科的“科学性、严密性和 完整性”。因此从广义上理解凡是违背此"三性”的解题过程及结果统称为数学题的错解， 简称数学错解（本文简称“错解”）。学习数学的过程中，出现一些解题失误是不可避免的。常言说'失败乃成功之母”，“错 误往往是正确的先导”，对同学们来说，重要的是如何正确对待自己的失误。一道题做错了， 首先要认真分析错在哪里，其次要反省自己为什么会出现这种错误，从中找出原因，吸取教 训，防止今后再发生类似错误。下面结合本人的教学实践和经验从七方面论述错解原因、错 解

3、例题和错解类型，以供同学们参考。一、模糊数学概念产生错解屮学数学教学大纲屮指岀：“正确理解数学概念是掌握基础知识的前提”这表明了数学 概念在学习中的重要性。然而，不少同学对此认识不足，认为基本概念单调乏味没什么好学 的，因此学习吋不求甚解轻易放过。这样势必造成对某些概念只知其表不知其里；只重形式, 不重实质；摸棱两可，似是而非。正是如此而在解题中常常暴露出这样那样的差错。下面的 例子可以说明问题。4例1兀为何值时，分式 的值是正整数。x + 2x +14错解 要使分式 的值是正整数，只要它的分母的值为1、2、4即可。x2 +2x + l当x2 +2 + 1 = 1 时，求得x = 0, 2；当

4、 x2 + 2x +1 = 2 时，求得 x = -± v2 ；当 x2 + 2x +1 = 4时，求得x = 1, 3 o所以，只当x分别取0, -2, -1 + v2 , -1-v2, 1, 一3等实数时，分式 + 2x + 1的值是正整数。分析 取x = -l-代入原分式中，得出该分式的值为就是正整数。这说明原解答不完整,3述有遗漏。其失误原因在于混淆“整数整除”与“两个实数相除得整数”这两个概念。原题.4并没有要求分母f+2兀+ 1是整数，因此，只要令 =n （斤是自然数）再求出兀 j + 2x +1的x值就完整了。则 x2+2x+1- = 0 n正解令=71(z7是任意自然

5、数)f + 2x + 1解得，x=_n±2麻(nw n)n_ +7厂所以，当兀=一"一 7" (mn)时，原分式的值是正整数。n二、混淆充要条件产生错解一道数学题一般地可分为题设和结论两部分，解题常从两方面考虑：一是从已知条件出 发，结合学过的定义、定理、公式、法则等基础知识，通过演算和推理得到结论；另一方面 也可以从结论出发逆推至题设条件。不论从已知出发还是从结论出发，在进行推理、演算过 程中，必须吋刻留心每一步的依据是什么，理由是否充分或必要，尤其逆推吋要注意步步可 逆，即注意条件的充要性。倘若在推理过程中忽视或混淆了条件所允许的范围，这就可能造 成失误。比如

6、下面的例题就可以说明此问题。x-3b = ,求話+丄的值。 ct错解 由已知可得是方程x2-3x-= 0的两个根。所以，由韦达定理知：d + /? = 3, cih = 1于是,ci b a" +/?' (a + b)(a + b)- 3ab 3x|3" 3x (1) b1 a2 («/?)2(ab(-1)2分析 方程_3x_ 1=0的判别式的值是13,故它有两相异实根。若a, b是该方程的两个根，则除了有a2-3a = , b2-3b = 成立外，还有ah这个隐含条件。因为已知条件屮没有告诉我们afb,所以“ /_3a = i,严一3b = ”仅仅是“a

7、, b是方程x2-3x- 1 =()的两个根”的必要条件而不是充分条件。上述解答中将必要条件当做充分条 件使用，结果无形屮缩小了已知条件屮a, b所能允许的取值范围，从而导致其结论不完整。正解 (1)当a#b时，结合已知条件可知g, b是方程x2-3x- 1=0的两个根。所以，由韦达定理知：a +/? = 3, cih = 1 o于是,(a + b)(a + b)2 -3ab3x33x(-1)当x"呼时,a h(3)当“"呼时,三、忽视隐含条件产生错解有些数学题目除了给出的明显条件外，常常在题设或题断的字里行间或式子中隐藏着 某些事实，我们称这样的暗藏事实为隐含条件。隐含条

8、件在解题中容易被忽视，其后杲轻则 得出结论有漏洞，重则面目全非。数学题目中的隐含条件的反映形式是多种多样的，通常可 以从概念定义中的某些特殊规定、公式定理法则和性质中的某些特定限制、题忖的结构特征 和数字图形特征等四个方面来挖掘。例3就是忽视概念定义屮的隐含条件而产生错解的。例3将中根号外的因式q移至根号内。错解 d j = j 6t = ycl o分析上述错解误把q当做非负因式移到根号内。实际上本题中包含着两个隐含条件: “二次根号下的被开方式为非负数”和“分式的分母不为零”，故有-丄>0得d<0,应先 a将q变为-(-。)，再将正因式移到根号内。正解 * > 0 , .*

9、 6/ < 0 o 因此，aj = _(_a) j = _j (。)_ = jd o av ci a a四、遗漏添加条件产生错解有些同学在解题时不考虑题给条件是否都用上了或者不考虑所用条件是否都是题目屮 给定的(含隐含条件)，表现在解题吋常常遗漏某个条件限制或随意地凭主观想象外加一些 条件，其后果必然是出现偏差甚至答案完全错误。请看例4和例5。例4非负数x, y, z适合关系式兰二1 =上二2二斗，求/+ 2_z?的最小值。432x 1 v 2 z + 3错解 令二二=k,则x = 4k + l, y = 3r + 2, z = 2k 3°432"设 u = x2 +

10、 y2 - z2 9则 w = (4fe +1)2 + (3k + 2)2 一(2k 3尸=21/ + 32k 4 = 21伙 + 罟尸 一 16善。164所以当k = 时，wmin =-16o21 m,n 21分析 题冃中给的兀，y, z是非负数这个条件在解题中被遗漏，因此的取值范阖被扩 大化，造成结论完全错误。正解 当得出弘二21伙+兰)2-16土时，应继续讨论e的取值范围。21 21x = 4zr + l>03因为兀，y, z都是非负数，所以y = 3k + 2>0k>-., 2z = 2k-3>q因此,当 k =-时,u. =21(- + )2-16= 91-(

11、此时 x = 7,y = 6-,z = 0)2 min 2212142例5加取什么实数时，方程2（m + l）x2-4/?u + 3/7?-2 = 0有实数根?错解 要使方程2（/77 + l）x2- 4mx + 3加- 2 = 0有实数根,必须+解之，得一 2 < m < _ 1或一 is加51。 = (4m) 4 2(m + l)(3m - 2) > 0所以，当-2 < m < -1或一 1 < m < 1时，原方程有实数根。分析 题设中并没有说方程2（加+ l）x2 -+ 3m-2 = 0是一元二次方程，而上述解答屮却添加了 “原方程是二次方程”

12、这个条件，因此得到不完整的结论。正解 分两步讨论。当原方程为二次方程时，要使它有实根，可推出-2 < m < -1或 -1 < m < 1 ；当m = 一1时，原方程化为4兀一 5 = 0,显然它有实根。综上所述，当一2 < m < 1 时，原方程有实数根。五、乱套公式定理产生错解解一道数学题常常要用上某些公式和定理，因为每一个公式、定理都只在一定条件下 成立的，它们的适用范围是有条件限制的。如果运用它们解题时不顾及该公式、定理的条件 和适用范围，而是机械地套用，其结果往往是貌合神离，发生差错。例6若£±2 = 2±£

13、二土斗，戦的值。 z x y错解（兀+y）+（y+z）+（z+x）二土*（等比定理）讥=2（兀+y+ 2 x+y+zy兀+y+z分析等比定理的条件之一是若干相等的比的后项和不能为零。运用等比定理解题时, 如果忽视这个条件，十有八九要岀差错，上述解法就犯此病。正解 当x+y+zo时，依等比定理可求得k =兀 + y = -z, 当兀+y + z = 0时，由已知条件知x, y , z都不为0,此时对得：y + z =-兀, z + x 二一y,=2+z =£+x=_k 此时 k：综上所述，k = 2 或鸟=一1。 z x y六、错犯以偏概全产生错解某些数学题的题设条件包含着多种不同的情

14、况。如果是证明题，必须证明在题设条件 的所有可能的情况下，命题的结论都成立；如果是计算求解题，必须考虑在题设条件的所有 各种可能的情况下进行求解。倘若只考虑题设条件屮的某些特殊情况下进行论证或计算求 解，那么从逻辑上看，就是犯了 “以偏概全”的错误。例7从圆的直径的一端a引两弦ap. aq,过点b引这圆的切线和直线ap,aq分别交于m , n点、。求证：zmpn = zmqn错解如图7-1,连结pq, pb。因为ab是口0的直径，zapb = 90°。又因为mn是口 0的切线， zpmb = zpba = zpqa。因此，p、m、n、q四点共圆。a图7-1所以zmpn = amqn

15、o (证毕)分析 由题设“从圆的直径ab的一端a引两眩ap. aq-可有如下两种情形：其一,分居于的两侧，如图7-1；其二，位于的同侧，如图7-2o上述证明只证其一，而且其理由 还不完全适用于第二种情形。因此，上述证明犯了 “以偏概全”的错误。正解可采用分情形分别证z,而后综述结论正确。下面给岀两种情形的一致证明方法，可省去一些麻烦。如图7-1和图7-2,连结pq, pb。因为43是口 0的直径zap3 = 90°。又 mn 切 口0 于 b, /. zabm = 90° o所以3p是rtabm斜边上的高。于是有 ap.am =ab2.图7-2同理有 aq-an = ab

16、a apam = aq-ano故p、m、n、q四点共圆。所以zmpn = zmqn七、引用循环论证产生错解在推理论证过程屮，如果直接或间接地利用要证明的结论作为推理论证的前提，这样 的证明方法在逻辑上称为“循环论证”。循环论证常常表现为以待证命题自身或者它的等价 命题为依据来证明待证命题。例 8 已知：在 abc 中，ac = 2ab , za = 2zc。求证：zb = 90° sin c =ab _ 1ac2 zc = 30 或 150二 za = 2zc ,/. zc = 30 , za = 2x30 =60/. zb = 180 -(za + zc) = 90分析 上述证明的

17、第一步就已承认了为，其实就已用上作为推理的依据。这是明显地 用待证结论作为依据去推理论证待证结论，犯了循环论证的错误。正解如图&2, ac = 2ab ,ac > ab.zabc > zc。作z1 = zc,边bd交ac于d, 则 cd = db. zadb = zc + z1 = 2zc = za ab = bd , cd = ab。故 b d = da = ab.于是，aabq为等边三角形。 za = 60 = 2zc, zc = 30 zb = 90 o以上介绍了七种常见的解题毛病，应当指出它们之间并非严格的划分，从不同的角度 审视，可能会得出不同的错解类型。比如是同一种错解，既可以划入“乱套公式定理”类型 又可划入“混淆充要条件”类型，或者还可划入其它类型，甚至更多类型等等。此外，同学 们在解题中还可能犯其它毛病。比如“审题马虎，歪曲题意”“某字某词理解错误”“忽视某 种特例”等等引出差错，这里不一一例举。学习数学，解题是中心。在解决大量的数学问题中，要做到完全不出差错是不可能的。 但是，要求自己尽量避免出现差错却是共同的愿望。怎样才能在解题过程中少出差错呢？借 鉴一些经验教训是很好的学习捷径！以上提到的七种