数学与应用数学专业毕业论文-向量在立体几何中的应用

1、向量在立体几何中的应用i摘 要iiii!作为现代数学的重要标志z的向量已进入了屮学数学教学，为用代数方法|研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高屮几何的代数化而在高屮数学体i系屮，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，!运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化向量法应用于平面几何屮|时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学i屮数与形的完美结合立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向!量解决立体几何屮的这些问题，其独到z处，在于用向量來处理空间问题，淡化'了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.装

2、关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用订abstractas one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. and in the high school mathemati

3、cs system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. vector method was used the plane geometry, it will be when the plane

4、geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of numbers and forms. three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its un

5、ique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are hformn to hformu reasoning process, causes the problem-solving become programmed.keywords： vector; solid geometry; proof; calculation; use目录摘 要iabstract i1向量方法在研究几何问题中的作用12向量方法解决度量问题的直接应用22. 1两点间的距离22. 2点与直线距离2

6、2. 3点到面的距离32. 4求两异面直线的距离32. 5求面积42. 6求体积53向量在立体几何中应用的反思63. 1对比综合法与向量法的利弊73. 2向量法解决立体几何问题的步骤73. 3向量法能解决所有立体几何问题吗7参考文献81向量方法在研究几何问题中的作用向量是高中数学新增加的内容，在作用上它取代了以往复数在高中数学教材 中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数一个复数所 对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何 （尤其是立体几何）的联系上表现得更加突出向量知识、向量观点在数学、物 理等学科的很多分支上都有着广泛的应用，它具有代数形式和

7、几何形式的“双重 身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合，形 成知识交汇点.向量进入高中数学教材，为用代数方法研究几何问题提供了强有 力的工具，促进了高中几何的代数化.著名教育家布鲁纳说过'学习的最好刺激 是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.”这 充分揭示了方法求变的重要性.向量方法在解决几何问题吋充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的 工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某 些问题，还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相 切、角相等）与求值（距离、角、比值等）问题.不

8、难看出向量法应用于平面几 何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了 数学中数与形的完美结合.向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题立体几何的证明与 计算常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成的角， 面面所成角等.用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空 间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化. 那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体 几何问题，引入向量工具之后，可

9、提供一些通法.2向量方法解决度量问题的直接应用2. 1两点间的距离两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题利用 向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点片（刃，儿可）£（吃,旳4），则 =|耳可| =丿（兀2一西）2+（）'2一）1+匕2一召）2 例1在三棱锥s-abc中，面sac丄面abc 9 sa丄ac, bc丄acsa = 6, ac = q,bc = 8,求 sb的长.分析 如图，本题可以用几何法求出sb,但需要证明若用向量法，注意到场，ac, bc 之间的关系建立以a点为原点的空间直角坐标则无须证明就有如下巧解.解如图，建立以力为原点

10、的空间直角坐标系，则a(0,0,0),b(8,q,0),s(0,0,6),所以 sb = sb = j(0-8)2 +(0-vi1)2 +(6-0)2 =11.本题用向量法巧妙地把与sb有关元素的位置关系转化为相应向量是丽的数量关系，构造向量的空间距离模型，然后通过数值计算将问题加以解决.如图求得向量丽在向量丽的射影长为d,2. 2点与直线距离则点p到直线ab的距离等于加匸d7.例2设"为矩形力弘刀所在平面外的一点，直线必垂直平面外的一点, 直线/为垂直平面力弘 ab-3, bb4,必二1求点"到直线必的距离.解 |bp-bd| = |（ba+ap）-（bc+ba）| =

11、|ab|_ =9 |bd|=5所以丽在丽上的射影长为2,又bp = vio,5所以点"到直线劭的距离135-2 、 丿9 - 5 zruko- dp2. 3点到面的距罔任取一点qea得p0,万是平面q的法向量，则有：点p到平面。的距离（向量甩在法向量万的投影的长度）.方法思路：求出平面的任一法向量万（方程组可求），在平面内任取一点q与 点p得一向量转化为甩在法向量的投影长度，套公式.2. 4求两异面直线的距离知a,b是两异面直线，a,be a,c,de b ,找一向量与两异面直线都垂直的向量加，则两异面直线的距离d二ac - mm例3如图，三棱柱中，已知a bcd是边长为1的正方形，

12、四边形aa'b'b是矩形，平面人4空2丄平面abcd。若a" = 1 ,求直线ab到面dac的距离.d4'=（l,l,d）, dc = （0,1,0） >设面da'c的法向量为斤=（兀1），贝'jdcn. =0得兀=（0,0,1）,直线ab到面dac的距离d就等于点a到面dac的距离,也等于向量ad在面d4'c的法向量上的投影的绝对二adnv|2方法思路：求异面直线的距离，先找一向量与两异面直线都垂直的向量方,距禺d =然后分别在两异面直线上任取一点a,c ,则距离d就是忑在向量恳上的投影长度,2. 5求面积由于平行四边形力救面积

13、s“bcd = |丽x方可,所以三角形的面积是平行四边形的面积的一半.abc=abxac特别地当外、b、c三点均在面上，且坐标为人（两,儿0）, 3（兀2,儿,0）,必1>2 1儿1（£二1或t,保证面积取正值）.例4已知空间三点a （1, 2, 3） b （2, 角形的面积，2）求三角形的力边上的高.解'sbc=-abxac丽=1,3,2 ac = 2,0,-8marik1 j kabxac= 1 -32 =24/ + 12 + 62 0-8abxac =a/242 +1224-62 =6>/21,所以三角形的面积是3何.因为三角形外比的外边上的高。/即是平行形

14、四边形的外边上的高,所以chabxac乂因为 |丽| = jl2+(-3)2+22 = v14 ,_ i - abxac 6x/tr-所以 ch = = -f=- = 36 11 abv14例5已矢ab = a + b ad = a-b,其中a =2 b =1方与乙的夹角为兰, 3求平行四边形/!仞的面积.解:一 2- 2 一 jia + b +2 a b cos 71同理网| =的,设乔与而的夹角为&,_ 丽丽 _ (方+可(方一可_ 产 _ 休-甘 _ _3_ cos |ib|-|ad| - |ab|-|ad| |ib|-|ad| |ab|-|ad| - v21所以 sin &am

15、p; 二 a/1-cos2 = 12-,7所以sahci) = ab - adsin = 2v3.2. 6求体积三个不共面向量a,b.c的混合积的绝对值等于以a.kc为棱的平行六面体的 体积，即%=|（方,万0|四面体的体积等于以a.b.c为棱的平行六面体体积的六分之一，即例6已知空间四点的坐标a (0, 0, 0), b (0, 1, 0), c(0, 1, 1),d (1, 1, 1)求四而体的体积及到沏平而的距离.解由初等几何知识，四面体昇磁的体积v等于以血?，aq弭为棱的平行 六面体的体积的丄，另外设/到妙所确定平面的距离为d , d =|(4b,ac,ap|bcxbd|则 v4=-b

16、cxbd6d = .注：求点a到平面龙的距离时，取龙上三个点5 g d(1)(2)(4)求出ab.ac.ad为棱的平行六面体的体积|(ab,ac,a)|； 求出 就，丽为邻边的平行四边形的面积bcxbd； ab.ac.ad求岀点到平面的距离，吩曲岡3向量在立体几何中应用的反思3. 1对比综合法与向量法的利弊综合方法一不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行讨论其优点是 注垂培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及转化化归的数学思想缺点是 有吋解决问题时的技巧性过强，而ii没有一般规律可循，常常让我们感觉“高不 可攀”，从而“望而却步”.向量方法一以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进

17、行讨论其 优点是注重培养学牛的数形结合、转化化归的数学思想以及代数计算能力的同时 也使立体几何问题的解决过程变得数量化、程序化，易于我们学习缺点是计算 量相对较大，对于计算能力较弱的同学，很容易算错.如果在解决立体几何问题时，能够具体情况具体分析，将综合方法与向量方 法这两种方法综合运用，那样将会使得立体几何问题得到更完美的解决.3. 2向量法解决立体几何问题的步骤用向量法解决立体几何问题的方式有两种：一是直接用向量的代数式运算， 二是用向量的坐标运算一般來说，向量的坐标运算，思维量更少，运算技巧更 低，更容易掌握，因此这也是我们常用的向量方法若所给图形不容易建立空间 直角坐标系，我们也可以用

18、向量的代数式运算来解决问题，但其技巧性相对较高, 对逻辑推理能力的要求也提高了.用向量坐标运算解题步骤：(1) 建立空间直角坐标系.注意尽可能用已经存在的过同一个点的两两垂直 的三线，如果没有三线，也尽量找两线垂直，然后作出第三线和两线垂直，按右 手系建立坐标系注意所写点的坐标要与所建立的坐标系相一致.(2) 写出需要用到的点的坐标注意要仔细再仔细，此步若错，全题皆错.(3) 写出所要用到的向量坐标注意必须终点坐标减始点坐标.(4) 通过计算解决具体问题注意公式要记对，运算要仔细.3. 3向量法能解决所有立体几何问题吗这个问题的答案显然是“不” 世上不可能有一种“万能”方法能解决 所有的问题我们能做的就是在众多的方法中选择适合的方法，“择优录用” 我们可以把解决立体儿何问题的思考过程分三步走第一步，若此题用综合法很 简单，那就不必用向量法第二步，用综合法解决有困难，而图形又适合建立空 间直角坐标系，可以通过向量的坐标运算解决问题.第三步，用综合法解决有困难，而图形又不容易建立空间直角坐标系，那也 可以考虑用向量的代