数学中的美与数学教学

1、数学中的美与数学教学霸州市第三中学刘锦宇当你倘佯在音乐的殿堂，聆听优美动听的乐曲时，你会体会到音乐带给你的 “美”的享受；当你漫步在文学的天地，欣赏着那“惊天地，泣鬼神”的绝妙语 句时，一定能够领悟文学带给你的“美”美的事物，总是人们乐意醉心追求 的。其实，“哪里有数学，哪里就有美”，这是古代哲学家对数学美的一个高度评 价。数学中同样存在着能够启迪智慧，陶冶情操的“美”。对于从事数学教学的教师而言，存在着这样的一个困惑，如何提高学生对数 学的感悟和对数学美的欣赏，才是有待于在教学中首要解决的问题。经过长时间 的探索，发现学生对数学的态度存在着惊人的差异，这很大程度上归因于对数学 美的领悟和鉴赏

2、。数学美是一种极其严肃、雅致和含蓄的美，学牛受到基础知识 和审美能力的限制，并不都具有理想的鉴赏能力。因此，唤醒他们对数学的美好 情感，倡导对数学美的崇尚是数学教育的任务之一。数学美的含义是丰富的，数学概念的简洁性、统一性，数学命题的概括性、 典型性，儿何图形的对称性、和谐性，数学结构的完整性、协调性以及数学创造 中的新颖性、奇异性等都是数学美的具体内容和形式，法国著名数学家彭加勒曾 精辟地把数学美的特征概括为对称性、简洁性、统一性和奇异性等，这些形式特 征的有机综合汇聚成数学美的主要特征一一和谐，它反映出了数学美的形式的多 样统一的总规律。一、展现对称美，增强数学魅力对称美是数学美的有一大特

3、点。数学的对称美分为两种：一种是数（式）的 对称性美，主要体现在数（式）的结构上，例如，加法的交换律a + b = b + a, 乘法的交换律ab = bcu。与b的位置具有对称关系，另一种是图形的对称性，图 形的对称是指组成图形的部分与部分之间、整体与整体之间的一种统一和谐关 系。例如轴对称图形和中心对称图形等，这些图形匀称美观，所以在日常生活中 用途非常广泛，许多建筑师和美术工作者常常采用一些对称图形，设计出美丽的 装饰图案。对称的建筑物，对称的图案，是随处可见的。绘画中利用对称，文学作品屮 也有对称手法。在数学中则表现在几何图形中有点对称、线对称、面对称。在几 何图形中对称的图形给人以美

4、的享受，而不对称的现象中同样存在着美，这就是 黄金分割的美，或者说黄金分割点是更深层次的对称美。如：一条线段关于它的 中点对称，这条线段若左端点的坐标为0,右端点的坐标为1,那么中点在0.5处。 又如：似乎黄金分割点（在0.618处）不是对称点，但若将左端记为a ,右端记为b ,黃金分割点记为c,则ac2 =abbc而且c关于中点的对称点d也是线 段的黄金分割点，如果再进一层看，d又是线段ac的黄金分割点；c是线 段的黄金分割点。类似地一直讨论下去，这可视为一种连环对称。如今，设 计师和艺术家们已经利用这一规律创造出了许多令人心碎的建筑和无价的艺术 珍宝。二、追求简洁美，体现数学本质数学美的简

5、洁性泛指数学理论体系在逻辑上的简单性和结构上的协调性。简 洁性对数学理论的建立提岀了更高的要求，即在对自然现象进行描述和抽象吋， 要求理论的假设性前提尽量的少，而得到的演绎结论尽量的多。正是这种简洁美 的思想指导，数学家都尽力使自己的理论具有特殊的演绎美的诱惑力。例如，全 部欧氏几何的结论，只是从少数的几条公理通过演绎得来的，这是-种简洁美的 体现。难怪牛顿赞叹：“几何学z所以堪称辉煌，就在于它是从很少的几条公理 出发，而最终却得到了如此之多的结果。”英国数学家指出：“数学中的统一性和简洁性的考虑，都是极为重要的。因 为研究数学的目的之一，就是尽可能地用简洁而基木的词汇去解释世界。”像他 所说

6、的，只有大学毕业的专门高级人才才能进行百万数目的运算。这种不和谐的 状况源于罗马数字的复杂。一旦引进了阿拉伯数字，连小学生都能够轻松自如的 进行百万数目和十亿数目的计算。信息内容的容量依旧，但简洁而完善的符号标 记使信息处理的既快乂简。可以设想，如果能找到材料的组织和符号的合适形式 的话，那么在21世纪就完全可能把目前只有少数专家才懂的现代数学中最复杂 的部分列入中学的数学大纲。到那时，复杂的概念和相互关系将以简洁而通俗的 公式写出。由此可见，清晰简明的数学词汇既能便于人们掌握材料，简便地记下 已知事实，又能便于将掌握的材料提升为理论。简洁的叙述方式是进一步前进的 必要前提，是推动数学发展的一

7、个主要手段，也是衡量数学和谐美的一个重要标 准。三、体会协同美，知识融会贯通数学思维是人脑和数学对彖交互作用并按一般的思维规律认识数学规律的 过程。数学思维的协同美大体上可从以下两个方面表现出来。归纳和演绎的相互作用。数学中大量地需要归纳，同时也需要演绎，在许多 情况下两者互为作用的。在数学教学中，总是既用归纳又用演绎。尽管两者有各 自不同的特点，但演绎推理的人前提一一表示-般原理的全称判断要靠归纳推理 來提供。为了增强归纳推理的可靠性，不管是以一般原理作指导还是对归纳推理 的前提进行分析，都要用演绎推理。归纳和演绎在思维运行过程中这种辩证统一 正体现了两者之间是交互为用的。形式逻辑与辩证逻辑

8、的并重和统一。一方面，数学中大量存在相对稳定的状 态，我们能用形式逻辑思维的方法进行分析和研究数学对象。另一方面，也存在 显著的运动状态，如有限与无限的相互转化，代数、几何、三角各学科z间的转 化以及数学各种相关运算方法的发展与对立统一等，故能用辩证思维的方法认识 数学概念的形成和关系的不断发展变化。因此，在教学时要贯彻形式逻辑思维与 辩证逻辑思维并重和统一的原则，发展学牛的数学思维能力。以数学概念教学为 例，按形式逻辑思维规律，对于每一个数学概念的认识要前后一致，而且不容许 存在不相容。如果存在着两个互相排斥的认识，那么其中必有一真一假，概念数 学必须遵循上述逻辑规则进行。但同时也应指出，用

9、运动和发展的观点来思考， 数学概念也是随着学生学习的数学知识的结构的发展而发展的。许多对立的概念 可以统一起来（如实数和虚数同处于复数中），一个概念在不同的场合或不同的 条件下可能有不同的认识（如三角函数的概念，最初学习的是锐角的正弦、余弦、 正切和余切，被理解为直角三角形中一个锐角的对边比斜边、邻边比斜边、对边 比邻边和邻边比对边，以后发展到任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余 割），即使在小学数学的发展中也是这样。我们知道，数学的发展归根到底是数 学概念的不断发展，这种发展乂有自身的规律。人们常说的概念是在发展中形成, 而且又是在形成后不断发展的，所以一个数学概念具有确定性和灵活性两个

10、特 点。就像“乘法”这个概念在整数和分数中具有不同的数学含义一样。正如列宁 所说“所有的定义都只有条件的、相对的意义，永远也不能包括充分发展的现象 的各方面联系”。这正是辩证逻辑思维在数学中的体现，与形成逻辑思维相比更 高一级。四、寻求奇异美，发挥创造能力所谓奇异美，包含了独特、新颖、不寻常等含义。在数学中，奇异性常常是 产生新思想、新方法和新理论的起点，给数学的发展带来新的活力。奇异美在数学中到处可见，数的发展就颇具传奇色彩，有理数稍加扩展，产 生新的数就被称为“无理数s实数稍加扩展，产生新的数就被叫做“虚数”。实 数z后出现了 “超实数”，复数z后出现“超复数”，有穷数z后又出现了 “超穷 数”。综上