数字信号处理实验报告5

1、数字信号处理实验第五次实验应用fft实现信号的频谱分析学 号：高超姓 名：12081311指导老师：黄怡、杨萌选课时间：周一 35节实验时间：2014年11月24日n-1n=0从而，x(o)=寺su("-0一斥产)=on-1x詩(i-广朋)諾tn=ox(2) = 0一. 实验目的(1) 能够熟练掌握快速离散傅里叶变换的原理及应用fft进行频谱分析的基木方法。(2) 对离散傅里叶变换的主要性质及fft在数字信号处理的重要作用有进一步的了解。二. 基本原理1.离散傅里叶变换(dft)及其主要性质dft表示离散信号的离散频谱，dft的主耍性质中有奇偶对称特性、虚实特性等。通过实 验可以加深

2、理解。实序列的dft具有偶对称的实部和奇对称的虚部，也即：x(k) = x*(n k)实序列dft的这个特性，在本实验中可以通过实指数序列及三角序列看出来。对于单一频率的三角序列来说，他的dft谱线也是单一的，这个物理意义可以从实验中得 到验证，在理论上可以推到如卞：设2兀兀(?1) = sin (其dft为n7x(k)=工 xn)ekn n=0.2n.2nn-11 (gt 晋(n-2)n _ ej2nn = _nn=0nj2x(n -2) = 0x(n»2j 念2j以上这串式中x(0)反映了无(71)的直流分量，x(l)是无)的一次谐波，又根据虚实特性 x*(/v-l) = x(l

3、),而其他分量均为零。当周期减小时显然s加的谱只应该在k = 3以及/c = n 3才有分量，实验者可以通过和上述相同的步骤加以理论证明。由于cos (等)心)和sin (年)心5)相位差中，所以它的dft只包括实部而没冇虚部，以 上性质在本次实验中可得到验证。2. 利用dft对信号进行频谱分析dft的重要应用之一是对时域连续信号的频谱进行分析，称为傅里叶分析，吋域连续信号 离散傅里叶分析的基本步骤如下图5- 1所示sqf| lpf 弘")|匚店 a/d i丽甞丽dft 一_. w(n)图5-1时域连续信号离散傅里叶分析步骤其中消混频低通滤波器lpf (预滤波器)的引入，是为了消除或

4、减少时域连续信号转换成 序列时可能出现的频谱混叠的影响。实际工作中，吋域离散信号班巧的吋宽是很长的其至是无 限长。由于dft的需要，必须把兀(n)限制在一定的时间间隔之内，即进行数据截断。数据的截 断相当于加窗处理。因此，在计算x(7l)的dftz前，用一个时域有限的窗函数w(x)加到x(7l)上 是非常有必要的。在实际应用中，消混叠低通滤波器的阻带不可能无限衰减，故有无)的频谱xc/72)周期延 拓得到的x(rs)有非零混叠，即出现混叠现象。最后是进行dft运算。加窗后的dft为加窗对频域的影响，用周期卷积表示x(評)w(rd)d8n-1u(/c)=v(ji)ennk , 0 < n

5、< n 1 m=q其中假设窗函数长厶小于或等于dft长度n。有限长序列巩町=x(n) w(7i)的dft相当于巩7i)傅里叶变换的等间隔取样。心)=心)lgn因为dft频率间隔为警，月.模拟频率0和数字频率3间的关系为a)= nrf所以离散频率点n对应的模拟频率为q =等,频率分辨率为=利用dft计算频谱，只给出频谱3"即或qk=k的频率分量，即频率的取样值，而不 可能得到连续的频谱函数。如果在两个离散的谱线z间有一个特别大的频谱分量，就无法检测出來了。为了在保持原来频谱形状不变的情况下，使频谱加密，即使频域取样点数增加，从而使原 來看不到的频谱分量变得可以看到，可以通过在信号

6、数据的末端补加一些零值点，使dft计算 周期内点数增加，但又不改变原有的记录数据的方法来实现。3 快速离散傅里叶变换(fft)快速离散傅里叶变换是计算离散傅里叶变换的一种快速算法，为了提高运算速度，卩卩丁将 dft的计算逐次分解成较小点数的dft。按吋间抽取(dit) fft算法把输入序列尢)按其n值为 偶数或是奇数分解成越來越短的序列。按频域抽取(dif) fft算法把输出序列x(/c)按其k值得奇 偶分解成越来越短的序列。三. 实验内容及实验结果1 实验内容(1)编写一个调用fft函数的通用程序，可以计算下列三种序列的离散频谱。指数序列：(n) = (0.9)nu(n)o周期为n的余弦序列

7、：v2(n) = cos (晋兀)，.ft 0 < n < /v - 1 o复合函数序列：v3 (n) = 0.9sbi (晋4- 0.6sin (箱 n)。(2)计算实指数序列珂)的n点离散频谱叫(k),记录n为不同的2的幕次方时的伙)值, 并与理论值(小5)进行分析比较。(3) 计算周期为w的余弦序列卩2(町的n点fft、2n点fft及(n + 2)点fft,记录结果并分 析说明。(4) 已知信号x(t) = 0.15 sin(2n/1t:) + sin(2ir/2t) o.lsin(211/31),其中a = 1hz, f2 = 2hz, f3 = 3hz,取样频率为32hz

8、编程实现：32点和64点fft,画出其幅度谱。比较两者间的差异，思考实际频率与离散频谱 图中横坐标k的对应关系。2 实验结果实验源代码：1).编写一个调用fft函数的通用程序，可以计算题屮三种序列的离散频谱 %计算三种序列的通用函数clear allclcn = 100;n 二 0 : nl;xnl = 0.9.an;xn2 = cos(2.*pi.*n./n);xn3 = 0.9.*sin(2.*pi.*n./n) + 0.6. *sin(2.*pi.*n./(3.*n);vn fi-1d0图5 - 2指数序列吋域谱及其离散频 谱xk1 = fft(xnl, n); magxkl = abs

9、(xkl); phaxkl = angle(xkl); subplot(l, 2,1); plot(n, xnl);xlabelcn')； ylabel('v(n)');title('vl nn 二 100');subplot(l, 2, 2);k = 0 : length(magxkl)-l; stem(k, magxkl, xlabel('k');ylabelc|v(k)r)； title(*vln n 二 100');%指数序列实验结果如图5-2所示,figure(2);xk2 = fft(xn2, n); magxk2 =

10、 abs(xk2); phaxk2 = angle(xk2); subplot(l, 2,1);plot(n, xn2); xlabel('n'); ylabefv(n)*);title(*v2 nn=100');subplot(l, 2, 2);k = 0 : length(magxk2)-l; stem(k, magxk2, xlabelck');ylabelc|v(k)r); title(*v2n n=100');10m an an ?o m图5 - 3余弦序列时域谱及其离散频 谱图5-4复合函数序列时域谱及其离散频谱%余弦序列实验结果如图5-3所

11、示,figure(3)xk3 = fft(xn3,n); magxk3 = abs(xk3); phaxk3 = angle(xk3); subplot(l, 2,1);plot(n, xn3); xlabelcn');ylabelcvfn)*)；title(*v3 nn 二 100');subplotfl, 2, 2);k = 0 : length(magxk3)-l; stem(k, magxk3, xlabel('k');ylabel(*|v(k)r); title('v3 nn 二 100');%复合函数序列实验结果如图5-4所示,2）计

12、算实指数序列巾（71）的n点离散频谱人伙），记录n为不同的2的幕次方时的伙）值, 并与理论值欧）进行分析比较%实指数序列频谱的相关计算 clear allclcn = input('序列长度 n='); n 二 0 : n-l;xnl = 0.9.an;xk1 = fft(xnl, n); magxkl = abs(xkl); phaxkl = angle(xkl);k = 0 : length(magxkl)-l; stem(kz magxkl, xlabelck');ylabelc|x(k)r)；title('指数序列j;%实验结果如下图5-5、5-6、5-

13、7所示指数序列图5-6巾®)的64点离散频谱(k)丨f niih门ni【initm*xxuc图5-7vi(n)的128点离散频谱人伙)实验分析：有实验图像可知，对于巾伍)的n点离散频谱仏)，n的取值不同，会导致频 谱不同：频率最大值不同，各个点的取值情况不同，但是频谱的整体的变化趋势是一致的。3).计算周期为n的余弦序列v_2 (n)的n点fft、2n点fft及(n+2)点fft,记录结果并分 析说明。%复合函数序列频谱的相关计算clear allclcn = inputc序列长度 n=*);a = 2;b = 2;n 二 0 : nl;xn2 = cos(2.*pi.*n./n);

14、xk2 = fft(xn2, n);xk3 = fft(xn2, a*n);xk4 = fft(xn2, n+b);figure;magxk2 = abs(xk2);phaxk2 = angle(xk2);k = 0 : length(magxk2)-l;stem(kz magxk2,xlabelck')；ylabelc|x(k)r)；title(周期为n的余弦序列j;%周期为n的余弦序列频谱如图5-8所示figure(2);magxk3 = abs(xk3);phaxk3 = angle(xk3);k = 0 : length(magxk3)-l;stem(k, magxk3, xl

15、abelck');ylabelc|x(k)r)；titled周期为2n的余弦序列匕图5-8v2(n)的100点离散频谱§仇)图5-9v2(n)的200点离散频谱冬伙)周期为的余弦序列n+2点fftfigure(3);magxk4 = abs(xk4);phaxk4 = angle(xk4);k = 0 : length(magxk4)-l;stem(k, magxk4,xlabel('k');ylabelc|x(k)r)；title。周期为n+2的余弦序列j;%周期为n的余弦序列频谱如图5-10所示5045403530201510406080 100图5-10

16、v2(n)的102点离散频谱l/2(/c)5lllliiiiiiiiiiiiirniimsiffcgo20%周期为2n的余弦序列频谱如图5-9所示实验分析：此处取周期n二100。当采样周期m二n时，在进行一个周期内只取被采样信号 的两个点，且两点间距一个周期n,频谱为单一的谱线，其频谱分辨率f = lhzo而对于图5 - 9和图5-10采样点分別为200和102,均大于100,因此采样周期小于原信号周期，有原信 号失真，造成频谱泄露，从而降低了频谱的分辨率。此外，由于在主频线两边形成很多旁瓣, 引起不同频率分量间的干扰4).求其32点和64点fft,画出其幅度谱。比较两者间的差异，思考实际频率

17、与离散频 谱图中横坐标k的对应关系。%复合函数序列频谱的和关计算clear all;clc;fl = 1;f2 = 2;f3 二 3;n = input c序列长度n);m = input (,序列长度 m=');x 二 0.15*sin(2*pi*fl*n/32) + sin (2*pi*f2*n/32)-0. l*sin(2*pi*f3*n/32); xk = fft (x, n);magxk = abs(xk);phaxk = angle (xk);k = 0 : length(magxk)-1;subplot (1, 2, 1);stem(k, magxk,xlabel (&#

18、39; k');ylabel (' x | k |');title (' xi (k)');yk = fft (x, m); magyk = abs(yk); phayk = angle (yk); k = 0 : length(magyk)-1; subplot (1, 2, 2); stem(k, magyk, xlabel (' k'); ylabelc x2|k|'); titlec x2(k)');x2(k)181614121086420020406080k%实验结果如图5-11所示x1(k)18).16 t14 -12 -10 -x8 6 -4 -2 0 010203040图5 - llx(t)的32点和64点离散频谱比较实验分析：因n = 32,故频率分辨率f = fs/n = lhzo由图x1&)可知，上=1,2,3所对应的频谱即为频率九=1hz, f2 = 2hz, f3 = 3hz的正弦波所对应的频