初中数学《最短路径问题》典型题型复习

1、初中数学?最短路径问题?典型题型知识点：“两点之间线段最短，“垂线段最短，“点关于线对称，“线段的 平移。“饮马问题，“造桥选址问题。考的较多的还是“饮马问题，出题背 景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折转“直，近两年出现“三折线 转“直等变式问题考查。一、两点在一条直线异侧例：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P, h 使得PA+PB最小。；解：连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。根据： 两点之间线段最短.二、两点在一条直线同侧APill例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B提供牛奶，奶站应

2、 建在什么地方，才能使从 A、B到它的距离之和最短.解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小.作点A 关于直线“街道的对称点 A '，然后连接A 'B，交“街道于点 C,那么点C就是所求的点.三、一点在两相交直线内部例：如图A是锐角/ MOF内部任意一点，在/MON勺两边OM ON 上各取一点B, C,组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于0M , ON的对称点A A ；连接A A ，分别交OM , ON于 点B、点C,那么点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够表达在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B两地在一条河的两岸，

3、现要在河上建一座桥 MN桥造在何处才能B使从A到B的路径AMNBR短？假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂 直解：1将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2连接AE交河对岸与点 M,那么点M为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得BN / EM 且 BN=EM, MN=CD, BD / CE, BD=CE,所以 A.B 两地的距：AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,假设桥的位置建在 CD处，连接AC.CD.DB.CE,那么AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在厶 ACE 中，T AC+CE >AE, / AC+CE+MN &

4、gt;AE+MN,即 AC+CD+DB >AM+MN+BN 所以桥的位置建在 CD处，AB两地的路程最短。例：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作 物，？要在河边建一个抽水站，将河水送到 A、B两地，问该站建在河 边什么地方，？可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。作法：作点B关于直线a的对称点点C,连接AC交直线a于点D，那么点D为 建抽水站的位置。证明：在直线 a上另外任取一点 E，连接AE.CE.BE.BD,点B.C关于直线 a对称，点D.E在直线 a 上， DB=DC,EB=EC, AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC在厶 ACE 中，AE+

5、EC > AC, 即 AE+EC > AD+DBD处,所以抽水站应建在河边的点例：某班举行晚会，桌子摆成两直条如图中的AO BO, AO桌面上摆满了桔子，0B桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请 你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：1作点C关于直线 OA的对称点点D,2.作点C关于直线OB的对称点点E,3连接DE分别交直线 OA.OB于点M.N， 贝U CM+MN+CN 最短例：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线作法：1作点C关于直线

6、 OA的 对称点点F,2.作点D关于直线0B的对称点点E,四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计3连接EF分别交直线 OA.OB于点G.H， 贝U CG+GH+DH最短在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优 设计方案例:一点到圆上的点的最大距离为 9，最短距离为1，那么圆的半径为多少? 5 或 4四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的 宽可求出最短路程例：如下列图，是一个圆柱体， ABCD是它的一个横截面，AB冷，BC=3 一只争 一 蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为A . 7 B

7、 .'，一 C. ,| D. 5上' ;120? n?=4，BC=3，两点之间线段最短得出结果.DCD分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据 解：将圆柱体展开，连接 A、C，根据两点之间线段最短,AC=: =5-五、在长方体正方体中，求最短路程1将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程2将前外表展开与上外表在同一平面内，求得其路程3将上外表展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了 然后进行比较大小，即可得到最短路程.例：有一长、宽、高分别是 5cm 4cm 3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长 方体的一个顶点A处沿长方体的外表爬到长方体上和 A相对的顶点B处

8、，那么 需要爬行的最短路径长为A . 5.: cm B. . cm C. 4 .儿 cm D. 3 in cmA和B点间的线段长,分析：把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短.利用勾股定理求点 即可得到蚂蚁爬行的最短距离.在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长 方体的长宽之和，利用勾股定理可求得.解：因为平面展开图不唯一,2 2 2AB = (5+4) +3 =90; AB2= ( 3+4) 2+52=74 ; AB2= ( 3+5) 2+42=80 ;故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线.1展开前面、右面，由勾股定理得2展开前面、

9、上面，由勾股定理得3展开左面、上面，由勾股定理得所以最短路径长为cm .例：如图是一个长4m,宽3m高2m的有盖仓库，在其内壁的 A处长的 四等分有一只壁虎，B处宽的三等分有一只蚊子，那么壁虎爬到蚊子处 最短距离为A . 4.8 B. C . 5 D . 3+2V2分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知. 解：有两种展开方法： 将长方体展开成如下列图，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB= |, '= J； 将长方体展开成如下列图，连接A、B，那么AB= . '=5< .1；所以最短距离 5例：有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面 4米处

10、折断未完全折断,那么小孩至少离开大树米之外才是平安的.分析：根据题意构建直角三角形 ABC，利用勾股定理解答.解：如图，BC即为大树折断处 4m减去小孩的高1m,那么BC=4 - 1=3m ,AB=9 - 4=5m,在 Rt ABC 中，AC= I -：=!-:=4例：如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体 的木块，它的棱长和场地宽 AD平行且AD,木块的正视图是边长为0.2米的 正方形，一只蚂蚁从点 A处，到达C处需要走的最短路程是 _米.精确到0.01 米 分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答. 解：由题意可知，将木块展开，相当于是 AB+2个

11、正方形的宽,长为2+0.2 X2=2.4米；宽为1米.于是最短路径为：寸2 4 +=2.60米.例：如图，AB为O O直径，AB=2，OC为半径，OC丄AB,D 为AC三等分点，点P为OC上的动点，求AP+PD的最小值。分折：作D关于OC的对称点D '，于是有PA+PD ' >AD ', 当且仅当P运动到Po处，等号成立，易求 AD ' = 3。六、在圆锥中，可将其侧面展开求出最短路程将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案例：如图，一直圆锥的母线长为 QA=8，底面圆的半径r=2，假设一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到 A点

12、，那么蚂蚁 爬行的最短路线长是 结果保存根式小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长， 根据题意可得出：2nr=n.n.OA,/180 _那么,那么 2XnX 2= n XnX8Q，180 解得：n=90° 由勾股定理求得它的弦长 AA一、题中出现一个动点。当题中只出现一个动点时，可作定点关于动点所在直线的对称点，利用两点之ADBE间线段最短，或二角形两边之和小于第二边求出最值. 例：如图，在正方形 ABCD中，点E为AB上一定点， 且BE=10,CE=14,P 为BD上一动点，求PE+PC最小值分析：作E关于BD对称点E' E在AB上，有 PE+PC=PE

13、' +PC >E' C 易求 E' C=26二、题中出现两个动点当题中出现两个定点和两个动点时，应作两次定点关于动点所在直线的对称点利用两点之间线段最短求出最值例：如图，在直角坐标系中有四个点A(-8,3),B(-4,5)C(0 ,n),D(m,O),当四边形 ABCD 周长最 短时，求m。n分折:因AB长为定值，四边形周长最短时有BC+CD+DA 最短，作B关于y轴对称点B',A关于x轴对称点A'DA+DC+BC=DA ' +DC+B ' OB' A'(当 D,C 运动到 AB 禾口 x 车由 y 轴的交2777m

14、x点时等号成立)，易求直线A' B'解折式y= 3 + 3 ,C0(0, 3 ),D0(- 2 ,0),此时n =-23三、题中出现三个动点时。在求解时应注意两点：(1)作定点关于动点所在直线的对称点， 同时要考虑点点，点线，线线之间的最短问题E例：如图，在菱形ABCD中,AB=2, / BAD=60,E,F,P分别为AB,BC,AC上动点, 求PE+PF最小值精选分折：作E关于AC所直线的对称点E',于是有,PE+PF=PF+PEA E' F,又因为E在 AB上运动,故当EF和 AD,BC垂直时，EOF最短,易求 EOF= 3。例：如图，/ AOB=45角内有

15、一动点P , PO=10在AO B0上有两动点Q/尺求厶PQF周长的最小值。分折：作P关于OA 0B对称点P1, P2。 于是有 PQ+QR+PR=QP1+QR+RP2P2'由对称性易知 P1OP2为等腰RTA ,OP=OP仁OP2=10,P1P2=2、i ii7 p3总之，在这一类动点最值问题中，关键在于，我们善于作定 点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点。这对于我 们解决此类问题有事半功倍的作用。1、运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段 的长，是解决距离之和最小问题的根本思路，不管题目如何变化，运用时要抓 住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都 相同.注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求 根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类 最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问.2、利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的 同侧时