二次函数知识点总结及中考题型总结

1、二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结（一）二次函数知识点总结一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2.

2、 的性质：上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定

3、其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 四、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，

4、则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.六、二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，为常数，）；2. 顶点式：（，为常数，）；3. 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解

5、析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当

6、时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择

7、适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 4

8、. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是 5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况

9、.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离. 当时，图象与轴只有一个交点； 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点

10、对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.二次函数图像参考： 十一、函数的应用（二）二次函数考查重点与常见题型1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是 2

11、 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，例如：已知抛物线（a0）与x轴的两个交点的横坐标是1、3，与y轴交点的纵坐标是（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5

12、考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例1 （1）二次函数的图像如图1，则点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 （2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图2所示，则下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个 (1) (2)方下列结论：a<b<0；2a+c>O；4a+c<O；2a-b+1>O，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D4个答案：D会用待定

13、系数法求二次函数解析式例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2)答案：C例4、如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2（1）写出y与x的关系式；（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴. 例5、已知抛物线y=x2+x-（1）用配方法求它的顶点坐标

14、和对称轴（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长例6、 “已知函数的图象经过点A（c，2）， 求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，2）”，就可以列出两

15、个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。解答 （1）根据的图象经过点A（c，2），图象的对称轴是x=3，得解得所以所求二次函数解析式为图象如图所示。（2）在解析式中令y=0，得，解得所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是令x=3代入解析式，得所以抛物线的顶点坐标为所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。函数主

16、要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例1 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010 若日销售量y是销售价x的一次函数 （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？与相似三角形的综合 例：6如图，抛物线经过三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P

17、是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； 二次函数应用题典例剖析 小强在一次投篮训练中，从距地面高1.55米处的O点投出一球向篮圈中心A点投去，球的飞行路线为抛物线，当球达到离地面最大高度3.55米时，球移动的水平距离为2米现以O点为坐标原点，建立直角坐标系（如图所示），测得OA与水平方向OC的夹角为30o，A、C两点相距1.5米（1）求点A的坐标；（2）求篮球飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小强这一投能否把球从O点直接投入篮圈A点（排除篮板球），如果能的，请说明理由；如果不能，那

18、么前后移动多少米，就能使刚才那一投直接命中篮圈A点了（结果可保留根号）分析：（1）利用直角三角形的边角关系得到OC的长，可以确定点A的坐标（2）根据球到达的最大高度和移动的水平距离确定抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，然后把O（0，0）代入顶点式，求出抛物线的解析式（3）把点A的坐标代入抛物线的解析式，发现抛物线的两边不等，说明点A不在抛物线上，那么小强不能从O点把球投入把y=1.5代入抛物线求出x的值，得到小强后退的距离点拨：题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。二次函数与面积如图，已知平面

19、直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0m3，连接OA，OB，OAOB（1）求证：mn=6；（2）当SAOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使SPOF：SQOF=1：3？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由分析：（1）作BCx轴于C点，ADx轴于D点，证明CBODOA，利用线段比求出mn（2）由（1）得OA=mBO推出 OBOA=10，根据勾股定理求出mn的值然后可得A，B的坐标以及抛物线解析式（3）假

20、设存在直线l交抛物线于P、Q两点，使，作PMy轴于M点，QNy轴于N点，设P坐标为（t，t2+10），证明PMFQNF推出t值，继而可解出点P、Q的坐标（三）二次函数错例分析在解决与二次函数有关的问题时，往往由于审题不清、考虑不周而错解，为帮助大家纠正错误,正确灵活地应用二次函数的图像及性质，解决有关二次函数问题,现将常见原因所造成的错误剖析如下：例1：如果函数y=是二次函数，那么k的值一定是_错解：根据二次函数的定义，得：k23k+2=2，解得k=0或k=3；当k=0或k=3时，这个函数是二次函数正解：根据二次函数的定义，得：k23k+2=2，解得k=0或k=3；又k30，k3当k=0时，这

21、个函数是二次函数点拨：二次函数二次项系数不为0是个易错点。例2、求二次函数的顶点坐标错解：=，所以顶点坐标（2，8） 正解：得顶点坐标（1，2）点拨：同学们应记住配方到y=a(x+h)2+m形式时x+h=0得顶点横坐标，顶点纵坐标就是m。该同学配方错误，在提取公因数2的时候一次项没提出来，同时按该同学配方结果8这个整体才代表上面配方结果中的m。例3：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|ab+c|+|2a+b|，Q=|a+b+c|+|2ab|，则P、Q的大小关系为PQ错解：正解：根据图象知道：当x=1时，y0，ab+c0；当x=1时，y0，a+b+c0；对称轴在x=1的右边，两边

22、同乘以2a（2a>0）得2a+b0；a0，b0，2ab0；P=|ab+c|+|2a+b|= a+bc+2a+b=a+2bc，Q=|a+b+c|+|2ab|=a+b+c2a+b=a+2b+c，图像过原点 c=0 PQ= a+2bc (a+2b+c)=2(ac)=2a0PQ点拨：错解形式太多，无法全部写出。这里应注意：a决定二次函数开口方向，由图象开口向下判断出a0，由对称轴在x=1右侧、得出，两边同乘以2a得：2a+b>0，当x=1时图象在x轴下方，得出y0，即ab+c0当x=1时图象在x轴上方，得出y0，即a+b+c0，然后把P，Q化简利用作差法比较大小例4：如图是二次函数y=ax

23、2+bx+c图象的一部分，图象过点A（3，0），对称轴为x=1给出两个结论：b24ac； 5ab它们正确的个数是错解：b24ac正确，5ab看不出，所以不正确。它们正确的个数是1个。正解：图象与x轴显然应有两个交点b24ac0，即b24ac，正确；把x=1，x=3代入解析式得a+b+c=0，9a3b+c=0，两边相加整理得5ab=c0，即5ab 因此给出的两个结论都正确。点拨：窍门就在当结论出现b24ac形式时，只考虑二次函数图像与x轴交点的个数；当出现2a和b形式时只考虑的符号或者值是多少，当出现本题5a<b或3a<2c形式时，应想到由几个等式加减或其它变形而来，需要很高的创造性

24、，这是试券中填空、选择题中的把关题。例5：已知：二次函数y=x24xa，下列说法错误的是（）A、当x1时，y随x的增大而减小 B、若图象与x轴有交点，则a4 C、当a=3时，不等式x24x+a0的解集是1x3 D、若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，2），则a=3错解：选C正解：解：二次函数为y=x24xa，对称轴为x=2，图象开口向上则：A、当x1时，y随x的增大而减小，故选项正确；B、若图象与x轴有交点，即=16+4a0则a4，故选项错误；C、当a=3时，不等式x24x+a0的解集是1x3，故选项正确；D、将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=

25、（x+3）24（x+3）a+1函数过点（1，2），代入解析式得到：164×4a+1=2，解得a=3故选项正确故选B 点拨：判断C项正确关键点在理解二次函数y=x24x+3，与一元二次方程x24x+3=0的关系，x24x+3=0的根为x1=1,x2=3. 满足函数y=x24x+3<0的x是图像在(1,0) ，(3,0)之间x轴下方的部分，所以x24x+30的解集是1x3正确。例6：对于二次函数y=ax2+bx+c（a0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y=x2mx+m2（m为实数）的零点的个数是（）A、1 B、2 C、0 D、不能确定错解：D正解：由题

26、意可知：函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点=（m）24×1×（m2）=m24m+8=（m2）2+4（m2）2一定为非负数（m2）2+40二次函数y=x2mx+m2（m为实数）的零点的个数是2故选B点拨：判断二次函数y=x2mx+m2的零点的个数，也就是判断二次函数y=x2mx+m2与x轴交点的个数；根据与0的关系即可作出判断例7: 抛物线y=x24x5与x轴交于点A、B，点P在抛物线上，若PAB的面积为27，则满足条件的点P有（）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个解：抛物线y=x24x5与x轴交于点A、B两点0=x24x5，x1=1，x2=5，AB

27、=5（1）=6，PAB的面积为27，点P的纵坐标的绝对值为2×27÷6=9，当纵坐标为9时，x24x5=9，x24x14=0，0，在抛物线上有2个点；当纵坐标为9时，x24x5=9，=0，在抛物线上有1个点；满足条件的点P有3个，故选C点拨：用到的知识点为，x轴上的点的纵坐标为0；0，与抛物线有2个交点；=0，与抛物线有1个交点，0，与抛物线没有交点要注意：若PAB的面积为27。则点P的纵坐标的绝对值为9，有同学粗心写成点P的纵坐标为9出现错误。例8：某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元.市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具

28、体关系式为：w2x+240.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：（1）求y与x的关系式；（2）当x取何值时，y的值最大？（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？错解（1）因为yxwx (2x+240)2x2+240x，所以y与x的关系式为：y2x2+240x.（2）因为y2x2+240x2(x60)2+7200，所以当x60时，y的值最大.（3）当y2250时，可得方程2 (x60)2+72002250.解这个方程，得x160+15，x26015.所以当销售单价为60+15元，或60

29、15元时，可获得销售利润2250元.剖析题目中明确说明销售利润为y元，而销售单价x元/千克中含有成本为50元/千克，所以本题在求销售利润时，错误地认为销售单价就是纯利润的单价，另外，求得的销售单价有一个最高限价，走出这个最高限价的应舍去.正解（1）因为y(x50)w(x50) (2x+240)2x2+340x12000，所以y与x的关系式为：y2x2+340x12000.（2）因为y2x2+340x120002(x85)2+2450，所以当x85时，y的值最大.（3）当y2250时，可得方程2 (x85)2+24502250.解这个方程，得x175，x295.根据题意，x295不合题意应舍去.

30、所以当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元.点拨利用二次函数求解实际问题时，除了要能正确求解外，还要注意使求得的结果符合实际意义.例9：不论x为何值，函数y=ax2+bx+c（a0）的值恒大于0的条件是（）A、a0，0 B、a0，0 C、a0，0 D、a0，0错解：选C正解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为正，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a0且0故选B点拨：当x取一切实数时，函数值y恒为正的条件：抛物线开口向上，且与x轴无交点；当x取一切实数时，函数值y恒为负的条件：抛物线开口向下，且与x轴无交点例10：下列命题：若a+b+c=0，则b24ac0；若ba+c，则一元二

31、次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c有两个不相等的实数根；若b24ac0，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3其中正确的是（）A、 只有 B、只有 C、只有 D、只有错解：选C正解：b24ac=（ac）24ac=（ac）20，正确；中由ba+c不能推出结论，错误；b24ac=4a2+9c2+12ac4ac=4（a+c）2+5c2，因为a0，故（a+c）2与c2不会同时为0，所以b24ac0，正确；二次函数与y轴必有一个交点，而这个交点有可能跟图象与x轴的交点重合，故正确故选B点拨：小题利用移项与变形b24ac与0的大小关系解

32、决；处理第小题时不要疏忽二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点情况例11.如图，抛物线y = x2 + 1与双曲线y = 的交点（第3题）xyAA的横坐标是1，则关于x的不等式 + x2 + 1 < 0的解集是 ( )Ax > 1 Bx < 1 C0 < x < 1 D1 < x < 0错解：抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，关于x的不等式+x2+10的解集是x > 1正解： + x2 + 1 < 0 <（x2 + 1）所求不等式的解就是：y1 = 与y2 = （x2 + 1）图像上y1<y2的x的取值范围。

33、抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，抛物线y=（x2+1）与双曲线y=的交点B的横坐标是1，(如右图所示)关于x的不等式+x2+10的解集是1x0故选D点评：本题主要考查了二次函数与不等式解答此题时，用数形结合根据图象解不等式。难点在于要找y=x2+1关于x轴对称的图像y2 = （x2 + 1）是个难点。例12：关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题：当c=0时，函数的图象经过原点；当c0，且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；函数图象最高点的纵坐标是；当b=0时，函数的图象关于y轴对称其中正确命题的个数是（）A、1个 B、2个 C、3

34、个 D、4个错解：选C正解：（1）c是二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点，所以当c=0时，函数的图象经过原点；（2）c0时，二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的正半轴，又因为函数的图象开口向下，画草图可知方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；（3）当a0时，函数图象最高点的纵坐标是；当a0时，函数图象最低点的纵坐标是；（4）当b=0时，二次函数y=ax2+bx+c变为y=ax2+c，又因为y=ax2+c的图象与y=ax2图象相同，所以当b=0时，函数的图象关于y轴对称四个都正确，故选D点拨：注意，二次函数y=ax2+bx+c的最值：当a0时，函数的最大值是；当a0时，

35、函数的最小值是数学广角工人王师傅有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点处到边MN的距离是4dm，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，王师傅想截下的矩形铁皮的周长等于8dm，你能否帮他实现？析解：由“抛物线”联想到二次函数。如图4，以MN所在的直线为x轴，点M为原点建立直角坐标系。设抛物线的顶点为P，则M（0，0），N（4，0），P（2，4）。用待定系数法求得抛物线的解析式为。设A点坐标为（x，y），则AD=BC=2x4，AB=CD=y。于是。且x的取值范围是0<x<4（x2）。若l=8，则，即。解得。而0<x<

36、;4（x2）。故l的值不可能取8，即截下的矩形周长不可能等于8dm。所以我不能帮他实现。二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数的顶点坐标是( )A.(2,11) B.（2，7） C.（2，11） D. （2，3）2. 把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. B. C. D. 3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) 4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: a,b同号;当和时,函数值相等;当时, 的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个5.已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次

37、方程的两个根分别是（）. B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数的图象如图所示，则点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限7.方程的正根的个数为（ ）A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. B. C. 或 D. 或二、填空题9二次函数的对称轴是，则_。10已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_.11一个函数具有下列性质：图象过点（1，2），当0时，函数值随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只

38、写一个即可）。12抛物线的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。13. 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是 (取3.14).三、解答题：第15题图15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,).(1)求这个二次函数的解析式;(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大?16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间

39、t（秒）符合关系式 （0<t2），其中重力加速度g以10米/秒2计算这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由. 17.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上的一个动点，求使：5 ：4的点P的坐标。18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260元时，月

40、销售量为45吨该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由练习试题答案一，选择题、1A 2C 3A 4B 5D 6B 7C 8C 二、填空题、 9 10-3 11如等（

41、答案不唯一） 121 13-8 7 1415三、解答题15(1)设抛物线的解析式为,由题意可得解得 所以(2)或-5 (2)16（1）由已知得，解得当时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃后1秒离地15米（2）由题意得，可知顶点的横坐标，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升17（1）直线与坐标轴的交点A（3，0），B（0，3）则解得所以此抛物线解析式为（2）抛物线的顶点D（1，4），与轴的另一个交点C（1，0）.设P，则.化简得当0时，得 P（4，5）或P（2，5）当0时，即，此方程无解综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（2，5）18（1）=60（吨）

42、（2），化简得： （3）红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元 （4）我认为，小静说的不对 理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额来说， 当x为160元时，月销售额W最大当x为210元时，月销售额W不是最大小静说的不对 方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元； 而当x为200元时，月销售额为18000元1732518000， 当月利润最大时，月销售额W不是最大小静说的不对九年级数学二次函数综合中考题一解答题（共30小题）1如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直

43、线l，l与x轴交于点H（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，ADF的面积为S求S与m的函数关系式；S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由2如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是

44、哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）AE=EF是否总成立？请给出证明；在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=x2+x+1上，求此时点F的坐标3某市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？4已知：关于x的二次函数y=x2+ax（a0），点A（n，y1）、B

45、（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数（1）y1=y2，请说明a必为奇数；（2）设a=11，求使y1y2y3成立的所有n的值；（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由5已知抛物线y=x22x+c与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（1，0）（1）求D点的坐标；（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求E的度数；（3）如图2，已知点P（4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当PMA=E时，求点Q的坐标6

46、将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E（1）当m=3时，点B的坐标为_，点E的坐标为_；（2）随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由（3）如图，若点E的纵坐标为1，抛物线（a0且a为常数）的顶点落在ADE的内部，求a的取值范围7如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A，C，与y轴相交于点B，连接AB，BC，点A的坐标为（2，0），tanBAO=2，以线段BC为直径作M交AB与点D，过点B作直线

47、lAC，与抛物线和M的另一个交点分别是E，F（1）求该抛物线的函数表达式；（2）求点C的坐标和线段EF的长；w W w .X k b 1.c O m（3）如图2，连接CD并延长，交直线l于点N，点P，Q为射线NB上的两个动点（点P在点Q的右侧，且不与N重合），线段PQ与EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPQ的周长是否有最小值？若有，请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值；若没有，请说明理由8如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）（1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC

48、下方的抛物线上一点，求MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标9如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合（1）直接写出点A、B的坐标：A（_，_）、B（_，_）；（2）若抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是_；（3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MNx轴于点N，问是否存在点M，使AMN与ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由；（4）当x7时，在抛物线上存在点P，使ABP得面积最大，求ABP面积的最大值10已知：如图，直线y=3x

49、+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，OAB是等腰直角三角形（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若直线CDAB交抛物线于D点，求D点的坐标；X|k |B | 1 . c |O |m（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和PAB的最大面积；若没有，请说明理由11如图，顶点坐标为（2，1）的抛物线y=ax2+bx+c（a0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求ACD的面积；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF

50、，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由12如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=x2+x+4经过A、B两点（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB设直线l移动的时间为t（0t4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得PAM是直

51、角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由13如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3的顶点为M（2，1），交x轴于点A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个点为D，且直线CD和直线CA关于直线CB对称，求直线CD的解析式；（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2+PB2+PC2=35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数 w W w .x K b 1.c o M14如图，抛物线的对称轴是直线x=2，顶点A的纵坐标为1，点B（4，0）在此抛物线上（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线对称轴与x轴交点为C，点D（x，y）为抛物线上一动点，过点D作直线y=2的垂线，垂足为E用含y的代数式表示CD2，并猜想CD2与DE2之间的数量关系，请给出证明；在此抛物线上是否存在点D，使EDC=120°？如果存在，请直接写出D点坐标；如果不存在，请说明理由15如图，已知抛物线y=x2+bx+c与一