2017-2018学年高中数学第一章不等关系与基本不等式22.1绝对值不等式教学案北师大

1、小对应学生用书 P11不等式的性质自主学习1.实数大小的比较2 不等式的性质如果bb.性质 1（对称性）：如果ab,那么bb，bc,那么，ac.性质 3（加法性质）：如果ab，那么a+cb+c. 尸V移项法则：如果a+bc,那么ac-b.推论（加法法则）：如果ab,cd,那么a+cb+d.性质 4（乘法性质）:如果ab,c0，那么acbc,如果ab,c0,那么acb0,cd0,那么acbd.推论 2（平方法则）：如果ab0,那么a2b2.推论 3（乘方法则）：如果ab0,那么anbn（n为正整数）.推论 4（开方法则 ）:如果那么ab0,anbn（n为正整数）.合作探究1.怎样比较两个代数式的

2、大小?提示：整式、分式一般用求差的方法来比较大小；而算式则一般用求商的方法来比较大2两个不同向不等式的两边可以分别相减或相除吗?求差法ab?ab0 ；ab?ab0,b0 时，半1?ab且cb且c d,acbd.3.若ab0，当nbn成立吗？提示：不成立，如当a= 3,b= 2,n= 1 时，思路点拨本题考查求差比较法及求商比较法在比较代数式大小中的应用，同时考查了运算及转化能力，解答此题需要用求差的方法比较，解答(2)需要用求商的方法证明.精解详析a4b4 4a3(ab)223=(ab)(a+b)(a+b) 4a(ab)223=(ab)(a+b)(a+b) 4a=(ab)(a3+ab2+ba2

3、+b3 4a3)=(ab)(ab2a) + (ba2a3) + (b3a3)222=(ab)(ab) a(a+b) a (a+b+ab)=(ab)2(3a2+ 2ab+b2)2厂b222=(a-b)( 3a+如)+3bwor(当且仅当a=b时取等号).ab w4 a(ab).a ba b证明：ab0, (ab)20,a a b1当a=b时，显然有(二)=1,b2aabb -a-bTab2a -b3a ab2当ab 0 时，b 1, 0，a ab3当ba 0 时，Ov v1,v0.4由指数函数的单调性，均有a 1.丿2_a ba+b综上可知，对任意正数a,b,都有ab（ab）.右法-规律-亦结-

4、比较大小的常用方法及步骤：1 .求差法：ab?ab0,awb?abw0.一般步骤是：作差f变形f判号f定论.变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段.2.求商法：当a0,b0 时，把比较a,b的大小转化为比较与 1 的大小关系，此即b为作商比较法.理论依据是不等式的性质：aa若a0,b0,则1?ab,wi?awb.一般步骤为：作商f变形f与 1 比较大小f定论.22421 .已知XM0,求证：(X 1)Vx+x+ 1.4证明：(x 1) (X+X+ 1)424=x 2x+ 1 xx 1=3x2v0,“2 八 242“/. (x1)Vx+x+1.ab a+b2a2+b2_a2+b2a+

5、b2ab ab=2 20,a+ba+b所以原不等式成立.法二：ab0,故a2b20.故左边0,右边0.2左边a+b2ab . I=2 = 1 + 212 .设ab0，求证:a2b2aba2+b2a+b.证明：法b2aba+b2a+b5右边a+ba+b6利用不等式的性质辨别不等式的正误例 2对于实数a,b,c判断下列命题的真假.若ab,则acbc，则ab；若ababb2;若ab|b| ；卄ab(5)右cab0,则 ca cb、I思路点拨本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力.解答此题需要依据实数的基本性质，实数的符号的运算法则以及不等式性质，然后经过合理逻辑推理即可判断.C j精解详析由于c的符

6、号未知，因而不能判断ac,bc的大小关系，故该命题是假命题.(2)由ac2bc2知CM0,而c20,ab,故该命题是真命题.aab；a0-ab,babb2，故该命题是真命题.(4)两个负实数，较小的离原点远，其绝对值反而大，故该命题是真命题.ab0?av bv0cab0A J*? 0cb0ab 0a b cacb，故该命题是真命题.右法-规律-和结-在利用不等式性质判断不等式真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地选择使用不等原不等式成立7式的性质，当否定一个结论时只需举一个反例即可；有时也可采用特殊方法比较判断.83.若abc,则下面不等式中一定成立的是()A. a|c| b|c|B. aba

7、c1 1 1 C.a-1c| b-|c| Da b c解析：选项 A 需要c丰0,选项 B 需要a0,选项 D 需要a, b,c同号.答案：C4.利用不等式的性质判断下列各命题是否成立，并简述理由.x xab? 2a2b.(2)ab,cd?acbd.a b(3)ab,cvd,cdK?-.c d1 1Wavbv0?.ab a解：成立.因为 2x 0,由性质知 2xa2xb.(2)不成立.令a= 5,b= 4,c= 3,d= 1，有acvbd.a b(3)不成立.当ab0,cv0,d 0 时显然有-v.c d(4)不成立.1利用不等式的基本性质求代数式的取值范围x例 3 已知 60vxv84,28

8、vyv33,则xy的取值范围为 _ ,y的取值范围为1x思路点拨利用不等式性质，先求一y和勺的取值范围，再求xy和y的取值范围. 精解详析xy=x+ (y), 所以需先求出一y的取值范围；x11-=xX-,所以需先求出-的取值范围.yyy1 1 1一33v-yv-28, 33vyv2860 x841ab1a a ab1 1,由avbv,可得obva.又 60vxv84, 27vxyv9v_v 33y2810片法-规律结-本题不能直接用x的取值范围去减或除y的取值范围，应严格利用不等式的基本性质去 求得取值范围；其次在有些题目中， 还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“取值范围”间的联系

9、.如已知20 x+y 30,15 xy 18,要求 2x+ 3y的取值范围，不能分别求出x,y的取值范围，再求 2x+ 3y的取值范围，应把已知的“x+y”“xy”视为整51/JX, J体，即 2x+ 3y=了(x+y) -(xy)来求 2x+ 3y的取值范围，或根据线性规化知识求目标函数z= 2x+ 3y的取值范围.5.已知一 1wa+bw1,1wabw3,求 3ab的取值范围.解：设 3ab=x(a+b) +y(ab) = (x+y)a+ (xy)b.即眾y 3.答案27xy 5620 xiiy3x+y= 3,xy= i,由+X2得:x= i,11y=2.1+25+b)+2(ab)1+3X

10、2,即 13abb0,cd0,ebd；e；(2) *-ac思路点拨本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力解答本题可先比较bd2 bd, (ac)2与(bd)2的大小，进而判断一丄与宀，1_2与Jd2的大小，再ac bd acbd两边同乘以负数e,得出要证明的结论.精解详析cdd0,/ab0,acbd0. (*)11(1)由(*)式知 (bd)20,1 12一bd acee2ac bd方法-规律小结利用不等式的性质证明不等式， 一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果 能由不等式的性质直接进行推理论证， 则严格按不等式性质成立的条件论证； 否则可以先分 析需要证明的不等式的结构，再利用不

11、等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件.a c6.已知abcd0,且 =，求证：a+db+c.b d/ (ab)d= (cd)b.又abcd 0,b ab0,cd0,bd 0 且& 1,ab b-= 1,cd dabcd, 即卩a+db+c.-本节热点命题关注-本课时内容是不等式的基础， 是高考的重要考点， 主要考查比较大小问题，不等式正误的判断以及利用不等式性质确定代数式的取值范围问题.一般与函数、方程等知识交汇命题.考题印证232xX一 一（江办高考）设x,y为实数，满足 3xy 8,4 - 9,则y4的最大值是 _ .命题立意又/e ac bd又/e0,ebd证明:abcdb

12、=d，13本题主要考查不等式的性质与函数的最大值的概念的综合应用及函数方程思想、转化分类及运算求解能力.14自主尝试由题设知，实数x,y均为正实数,则条件可化为 lg 3 0,b 1 0,0 0,aba=a(b 1) 0.二aba.又abab2=ab(1 b) 0,abab2.22又aab=a(1 b) ababaab2解析：a 0, 1bab2a 1,4xy1 1w -2 w 8 一23yw27，即7的最大值是 27.2w 3，xy33一xy1522- aaba.161i2,b= 4,则ab 0,则aa=bb,答案：B二、填空题答案：D2.设ab1,cb；aloga(b-c).A.B.C.D

13、.解析：由11c ccc cab1,c0 得，ab a帘；幕函数y=xc（c0）是减函数，所以acbc，所以 logb(ac)loga(ac)loga(bc)，均正确. 答案：D3.设角ann,3满足2 V a V 3 V，则的范围是（A. n VB.nC. VD.7t且a 3 V0. - - n V a 3 V0.答案：A4.若ab0,则下列各式中恒成立的是2a+b aA 砲 bb2+ 1b2B.aV!a21 1 Ca+ab+a bD. ab解析：选取适当的特殊值，若a= 2b= 1 可知2aa 2,b知a2b 4a=2b2,由此可知选项 A 不成立.利用不等式的性质可知，当ab 0 时，a

14、b0,P= 3a32b3,Q=3a2b2ab2，则P与Q的大小关系是 _1833222222解析：P Q= 3a+ 2b- (3a b+ 2ab) = 3a(ab) + 2b(ba) = (3a 2b)(ab). 因为ab 0,所以ab0,a2b20.所以 3a23b2 2b2,即卩 3a2 2b2 0.22从而(3a 2b)(ab) 0,即 3a3+ 2b33a2b+ 2ab2,即卩PQ答案：PQ6.若a,b R,且ab,下列不等式:b b 12222一：(a+b) (b+ 1):(a 1) (b 1).a a 1其中不成立的是b b 1abbab+aab解析：a尸=a a1= k!因为ab

15、0,a(a 1)符号不确定，不成立；取(b+ 1) 0，不成立；取a= 2,b= 2，则(a 1)2= 1, (b 1)2= 9,不成立.答案：7有以下四个条件:b0a; 0ab;a0b;ab0.解析：Tb0,.b0.b22，则(a+b) = 0,1 1其中能使訐石成立的有个条件.d11avb.1 1ba.Ta0b,ii 一 0, -V 0.ab191Tav0,.v0. arx.1 1ab.答案：3&若 1a3, 4b2,则a |b|的取值范围是 _解析：T 4b2,ow|b|4,4|b|0又T1a3,. 3a |b| 0，一av0, (a+、j2a+1)(a ；.2a+1)v(a+a+1)(aa+1).1 1 110.已知abc,求证：百 +b+1 1 1证明：原不等式变形为：r+ -.ab bc ac又abc,acab0.1 1从而有 -,ab ac1 1 1 1又- 0 -+- -bc ab bc acTab0,1 1_vavb.综上知，均能使*成立.201 1 1即 +0.ab bc ca11.已知一次函数f(x) =ax+b,且一 1f( 1) 2, 2f(2) 3,求f(3)的取值范 围.解：法一：(不等式基本性质)1 a+b 2,一 22a+b3.14又f(3) = 3a+b= -( a+b) + -(2a+b),3313亍211w a+bw2,法